1、第11讲 函数模型及其应用A级基础练1(2020江西南昌模拟)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制订员工的奖励方案：在经济利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y(单位：万元)随经营利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该要求的是()(参考数据：1.0151004.432，lg 111.041)Ay0.04xBy1.015x1CytanDylog11(3x10)解析：选D对于函数y0.04x，当x100时，y43，不符合题意；对于函数y1.015x1，当x100时，y3.4323，不符合题意
2、；对于函数ytan，不满足在x(6，100上单调递增，不符合题意；对于函数ylog11(3x10)，满足在x(6，100上是增函数，且ylog11(310010)log11290log111 3313，画出yx与ylog11(3x10)的图象如图所示，符合题意，故选D2已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)则当该服装厂所获效益最大时，x()A20 B60C80 D40解析：选C设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)100xq(x)当0x20时，f(x)126 000，f(x)在区间(0，20上单调递增，所以当x20
3、时，f(x)有最大值120 000.当20x180时，f(x)9 000x300x，则f(x)9 000450，令f(x)0，得x80，当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有极大值，也是最大值，为240 000.故选C3某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是()A118元 B105元C106元 D108元解析：选D设进价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108.故选D4素数也叫质数，法国数学家马林梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将
4、“2n1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数已知第20个梅森素数为P24 4231，第19个梅森素数为Q24 2531，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg 20.3)()A1045 B1051C1056 D1059解析：选B由题知2170.令2170k，则lg 2170lg k，所以170lg 2lg k又lg 20.3，所以51lg k，即k1051，所以与最接近的数为1051.故选B5车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)则该人喝一瓶啤酒后至少经过多
5、长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 152.71，ln 303.40)()车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100 mL)饮酒后驾车20，80醉酒后驾车80A5 hB6 hC7 h D8 h解析：选B由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e0.5x1420，解得x5.42，取整数，故为6个小时故选B6(2020辽宁辽南协作校一模)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的时间当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐
6、减少，而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则y与x的关系可以表示为_解析：依题意可设y，当x5 730时，y，即有，解得a，故答案为y.答案：y7(2020安徽滁州定远4月模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P P0ekt，如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时解析：由题意可知，(10.1)P0 P0e5k，即0.9e5k，故5kln 0.9，又(10.19)P0P0ekt，即0.81ekt，所以kt
7、ln 0.812ln 0.910k，所以t10.答案：108为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系请你据此判断，在下列函数模型：y2ta；yalog2t；yta；ya中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是_(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为_米解析：由散点图的走势，知模型不合适曲线过点，则后三个模型的解析式分别为ylog2t；yt；y，易知拟合最好的是.将t8代入得8年后的树高为米答案：9声强级Y(单位：分贝)由公式Y10lg给出，其中I为声强(单
8、位：W/m2)(1)平常人交谈时的声强约为106W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5107W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为106W/m2时，由公式Y10lg得Y10lg10lg 10660(分贝)(2)当Y0时，由公式Y10lg得10lg0.所以1，即I1012W/m2，则常人能听到的最低声强为1012W/m2.(3)当声强为5107W/m2时，声强级Y10lg10lg(5105)5010lg 5，因为5010lg 550，所以
9、这两位同学会影响其他同学休息10某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，此时每套丛书的供货价
10、格为3032(元)，所以书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0x150.依题意，设单套丛书的利润为P，则Pxx30，120.因为0x150，所以150x0，则(150x)221020，当且仅当150x，即x140时等号成立，此时，Pmax20120100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元B级综合练11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到100 ，水温y()与时间t(min)近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y()与时间t(min)近似满足的函数关系式为y80b(a，
11、b为常数)通常这种热饮在40 时口感最佳某天室温为20 时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为()A35 min B30 minC25 min D20 min解析：选C由题意知，当0t5时，函数图象是一条线段；当t5时，函数的解析式为y80b.将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得解得a5，b20，故函数的解析式为y8020，t5.令y40，解得t25，所以最少需要的时间为25 min.故选C12(2020安徽淮北一中第五次月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”
12、等他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每1 6人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一
13、组4人的样本混合检查以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要检测的次数为()A3 B4C6 D7解析：选B先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了1次检测继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了2次检测继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了3次检测选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性则认定为此人，此时进行了4次检测所以，最终从这1
14、6人中认定那名感染者需要经过4次检测故选B13某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系yc()mt(c，m为常数)(1)mc的值为_；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少需排气_分钟解析：(1)由题意可列方程组两式相除，解得则mc12832.(2)由题意可列不等式1280.5，所以，即t8，解得t32.故至少排
15、气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态答案：(1)32(2)3214某旅游景点预计2021年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)(1)写出2021年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当x1时，f(1)p(1)37，当2x12，且xN*时，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)x(x1)(412x)3x240x，
16、经验证x1时也满足此式所以f(x)3x240x(xN*，且1x12)(2)第x(xN*)个月的旅游消费总额为g(x)当1x6，且xN*时，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5或x(舍去)当1x5时，g(x)0，当5x6时，g(x)0，所以g(x)maxg(5)3 125；当7x12，且xN*时，g(x)480x6 400是减函数，所以g(x)maxg(7)3 040.综上，2021年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元C级提升练15某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是10，100(单位：万元)现准备制定一个对科研课题组
17、的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型yf(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：()yx1；()ylog2x2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求解：(1)设奖励函数模型为yf(x)，则该函数模型满足的条件是：当x10，100时，f(x)是增函数；当x10，100时，f(x)5恒成立；当x10，100时，f(x)恒成立(2)(a)对于函数模型()yx1，它在10，100上是增函数，满足条件；但当x80时，y5，因此，当x80时，y5，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求(b)对于函数模型()ylog2x2，它在10，100上是增函数，满足条件，x100时，ymaxlog210022log255，即f(x)5恒成立满足条件，设h(x)log2x2x，则h(x)，又x10，100，所以，所以h(x)0，所以h(x)在10，100上是递减的，因此h(x)h(10)log21040，即f(x)恒成立，满足条件，故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型()ylog2x2符合公司要求
