1、专题一 函数与导数 第1课时题型 1 函数中的数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.它是数学的规律性与灵活性的有机结合.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.例 1：若函数 f(x)ax3bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值43.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x)k 有 3 个解，求实数 k 的取值范围.解：(1)求导，得 f(x)3ax2b.由题意，得f212ab0，f28a2b
2、443.解得a13，b4.函数 f(x)的解析式为 f(x)13x34x4.(2)由(1)，可得 f(x)x24(x2)(x2).令 f(x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)28343图 1-1因此，f(x)极大值f(2)283，f(x)极小值f(2)43.函数 f(x)13x34x4 的图象大致如图 1-1.方程 f(x)k 的解的个数即为函数 yk 与 yf(x)图象的交点个数，实数 k 的取值范围为43k0).x(，2a)2a(2a,0)0(0，a)a(a，)f(x)000f(x)极小值极大值
3、极小值解：(1)f(x)x3ax22a2xx(x2a)(xa).令f(x)0，得x12a，x20，x3a.当 a0 时，列表如下：f(x)的单调递增区间为(2a,0)和(a，)，f(x)的单调递减区间为(，2a)和(0，a).(2)由(1)，得 f(x)极小值f(2a)53a41如图 D18(1)或 a41，则当 x1a，1 时，f(x)0.f(x)在 x1 处取得极小值.若 a1，则当 x(0,1)时，ax1x10.1 不是 f(x)的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1，).x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值方法二，f(x)(ax1)(x1)ex.当 a0 时，令 f(x)0
4、 得 x1.f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：f(x)在 x1 处取得极大值，不合题意.当 a0 时，令 f(x)0 得 x11a，x21.)当 x1x2，即 a1 时，f(x)(x1)2ex0，f(x)在 R 上单调递增，f(x)无极值，不合题意.)当 x1x2，即 0a1 时，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，1)11，1a1a1a，f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在 x1 处取得极大值，不合题意.)当x11时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：f(x)在 x1 处取得极小值，即 a1 满足题意.x，1a1a1a，11(1，)f(x)00f(x)极大
5、值极小值f(x)在 x1 处取得极大值，不合题意.综上所述，a 的取值范围为(1，).当 a0 时，令 f(x)0 得 x11a，x21.f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x，1a1a1a，11(1，)f(x)00f(x)极小值极大值【跟踪训练】2.已知函数 f(x)1ln xa2x2ax(aR).(1)当 a0 时，讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 a0 且 x(0,1)，求证：fxex x21x1.(1)解：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x2a2xa2a2x2ax1x2ax1ax1x，若 a0 时，则 f(x)0 时，当 x1a时，f(x)0；当 x1a时，f(
6、x)1a时，f(x)0.故在0，1a 上，f(x)单调递减；在1a，上，f(x)单调递增.(2)证明：若 a0 且 x(0,1)，欲证fxex x21x1，只需证1ln xexx21x1，即证 x(1ln x)0.故函数 g(x)在(0,1)上单调递增.g(x)g(1)1.设函数h(x)(1xx3)ex，则h(x)(2x3x2x3)ex.设函数p(x)2x3x2x3，则p(x)16x3x2.当x(0,1)时，p(0)p(1)8p(0)2，当x(x0，1)时，p(x0)p(1)0，当 x(x1,1)时，p(x)h(0)1.x(1lnx)(1xx3)ex，x(0,1).即fxex x21x1，x(
7、0,1).3.已知函数 f(x)x2ax1ex，其中 aR.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若实数 x0 为函数 f(x)的极小值点，且 f(x0)0 时，1a0，解得 x1，函数 f(x)在区间(，1a)，(1，)上单调递增.由 f(x)0，解得 1ax1，函数 f(x)在区间(1a,1)上单调递减；当 a0 时，10，解得 x1a，函数 f(x)在区间(，1)，(1a，)上单调递增.由 f(x)0，解得 1x0 时，函数 f(x)在区间(，1a)，(1，)上单调递增，在区间(1a,1)上单调递减；当 a0 时，由函数 f(x)在区间(，1a)，(1，)上单调递增，在区间(1a,1)上单调递减，可知 x01，f(x0)f(1)2ae 4e3，解得 a4e22，又 a0，a 的取值范围为(0，).当 a0 时，函数 f(x)在区间(，1)，(1a，)上单调递增，在区间(1,1a)上单调递减，可知 x01a，f(x0)f(1a)2ae1a 4e3，整理得(2a)ea4e20.令函数 h(a)(2a)ea4e2(a0)，则 h(a)(1a)ea.a0.函数 h(a)在区间(，0)上单调递增.又h(2)0，2a0.综上所述，实数 a 的取值范围是(2,0)(0，).
