1、云南省昆明一中 2021 届高三数学诊断性考试试题 文（含解析）本试卷共 4 页，22 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|03Axx，若 1AB，则集合 B 可以是（）A.0,1 B.1,2 C.0,1,2 D.1,2,3 【答案】A【解析】【分析】直接利用交集运算即得解.【详解】集合03Axx，0,1B 满足条件.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2.若复数 z 满足i1 iz （i 是虚数单位），则 z 的共轭复数是（）A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】解：由1z ii ，得21(
3、1)()1iiiziii，1zi ，故选：B 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题 3.设3535a 353()5a，353log 2b，3532c，则 a，b，c 的大小关系是（）A.abc B.acb C.bac D.bca【答案】C【解析】【分析】根据指数对数函数的单调性，确定 a，b，c 的范围，进而比较大小即可.【详解】由题可得305331550a，33553loglog 102b，30533122c.所以bac.故选：C【点睛】本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.4.cos300=（）A.12 B.1-2 C.32 D.3-2
4、【答案】A【解析】由题意结合诱导公式有：1cos300cos 36060cos602.本题选择 A 选项.5.已知正项等比数列 na中，432aaa，若1237aaa，则8a （）A.32 B.48 C.64 D.128【答案】D【解析】【分析】设公比为q，根据等比数列通项公式由条件列方程求解即可.【详解】由432aaa得221a qq，所以11a ，又因为1237aaa，得217qq，所以2q=，782128a.故选：D【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查学生的运算求解能力.6.函数2ln2()|xf xxx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由定义可判断函数()f
5、 x 是奇函数，且11()2ln024f，故可采用排除法选出正确答案.【详解】函数 f x 的定义域为|0 x x，又 2222 ln()|lnxxxfxf xxxx，所以函数()f x 是奇函数，故排除 A，C；又因为11()2ln024f，故排除 D.故选：B【点睛】本题考查函数图象的判断与应用，考查函数的特殊值的计算，是中档题.已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.7.已知双曲线2221(0)yxbb的离心率为 3，则b （）A.2 B.3 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由双曲线中离心率公式和
6、222cab，即可求解.【详解】由双曲线2221(0)yxbb可知1a ，因为2213cbeaa，所以2b.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线离心率问题，解题的关键是熟练掌握离心率公式，属于基础题.8.已知非零向量a，b 满足|abab，则 a 与b 的夹角为（）A.30 B.45 C.60 D.90 【答案】D【解析】分析】ab与 ab分别为平行四边形的两条对角线，对角线相等，则 ab.【详解】因为 ab与 ab分别为平行四边形的两条对角线，|abab，对角线相等，所以ab 故选：D.【点睛】本题考查向量和差运算的平行四边形法则，属于基础题.9.如图所示的程序框图，是为计1111112344
7、950S ，则在空白判断框中应填入的是（）A.50i B.51i？C.50i？D.51i？【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，确定,N T，由框图的作用，即可得出结果.【详 解】由 程 序 框 图 可 得，SNT中 的1111354 9N，111124650T，则空白判断框应填50?i，故选：A.【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，属于基础题型.10.函数2()sin(0,)2cos xf xxx 的最大值为（）A.1 B.54 C.32 D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意，将原式整理，得到215()cos24f xx，进而可求出结果.【详解】因22215()sincoscosco
8、s1cos24f xxxxxx ，由0,2x 得cos0,1x，所以当1cos2x 时，max5()4f x，故选：B.【点睛】本题主要考查求含三角函数的二次式的最值，属于基础题型.11.已知抛物线2:2(0)C xpx p的焦点为 F，准线为l，点 M 是抛物线C 上一点，MHl 于 H.若4MH，60HFM，则抛物线C 的方程为（）A.216yx B.28yx C.24yx D.22yx【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到4MFMH，推出MHF为正三角形，求出4HF，记准线l 与 x 轴交于点Q，根据sinpQFHFQHF即可求出结果.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距
9、离，所以4MFMH，又60HFM，所以MHF为正三角形，所以4HF，记准线l 与 x 轴交于点Q，则30QHF，所以osin4sin302pQFHFQHF，所以该抛物线方程为：24yx.故选：C.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，熟记抛物线的定义，以及抛物线方程的标准形式即可，属于基础题.12.已知函数()ln1xf xxexx，若对任意(0,)x，使 f xa，则 a 的最大值为（）A.0 B.2e C.1 D.1e 【答案】A【解析】【分析】将函数()f x 的解析式化为ln()(ln)1x xf xexx，再构造函数1xyex ，利用导数可知，当0 x 时，函数1xyex 取得最小值
10、0，所以当ln0 xx时，()f x 的最小值为 0，所以0a，所以 a 的最大值为 0.【详解】ln()ln1ln1xxxf xxexxeexx ln(ln)1x xexx，令1xyex ，则1xye ，由0y，得10 xe ，得0 x，由0y，得10 xe ，得0 x，所以1xyex 在(,0)上递减，在(0,)上递增，所以当0 x 时，0min0 10ye ，即10 xyex，所以ln(=(ln)10 x xf xexx ），当ln0 xx时取“”，所以()f x 的最小值为 0，所以0a，所以 a 的最大值为 0.故选：A.【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了利用导数求函数的最值，考
11、查了利用导数处理不等式恒成立问题，解题关键是将ln xx看做一个整体构造函数，再利用导数处理.属于中档题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.曲线2ln1yxx 在点1,2 处的切线方程为_【答案】3-1yx【解析】【分析】先对原函数求导，再令 x=1 解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程【详解】解：令 21ln1,2,12 13fxxxfxxfx ，3k，切线方程231,31yxyx 故填：3-1yx 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程 14.若变量 x，y 满足约束条件22390 xyxyx，则2zxy的最小值是_.【答案】6 【解析】【
12、分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】满足约束条件22390 xyxyx 可行域如图所示，目标函数2zxy对应直线22xzy ，当 z 最小时，纵截距 2z 最小，所以平移直线2xy 过点 0,3B时，纵截距最小，此时min6z .故答案为：6 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
13、（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，若 E、F、G 分别是 AB、AD、11BC 的中点，则该正方体的过 E、F、G 的截面面积为_.【答案】3 34【解析】【分析】先根据题意找出截面为正六边形，进而求得正六边形的面积即可.【详解】由图可知，截面为一个的正六边形，正六边形的边长为22112+=222，所以截面的面积为1223 36(sin)22234.故答案为：3 34【点睛】本题主要考查空间几何体截面问题，解题时要准确找出截面形状.16.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线32222:4Cxyx y被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.
14、给出下列四个结论：曲线 C 关于直线 yx 对称；存在一个以原点为中心、边长为 1 的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）；存在一个以原点为中心、半径为 1 的圆，使得曲线 C在此圆面内（含边界）；曲线 C 上存在一个点 M，使得点 M 到两坐标轴的距离之积等于 1.其中，正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据曲线的方程进行分析、求解、判断【详解】在曲线 C 上任取一点 P（x，y），关于 yx 对称的点为 Q(,)xy，显然也满足方程322224xyx y，故正确；显然曲线关于 yx 对称，令 yx，代入曲线 C 的方程，解得2222xy ，显然点22,22不在一个以原
15、点为中心，边长为 1 的正方形内，所以存在一个以原点为中心、边长为 1 的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界），错误；由2222222244()()2xyx yxy，所以22 322 2()()xyxy，即：221xy，当2212xy取等号，此时，点22()22P，在曲线上，而1PO，所以正确，因为22122xyxy，所以错误，故答案为：【点睛】本题主要考查曲线与方程的应用，不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某地六月份 30 天的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：C）22 Ct 2
16、2 C28 Ct 28 C32 Ct 32 Ct 天数 7 11 Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和 Z 数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于 32的频率为 0.8.（1）求 Y，Z 的值；（2）把日最高气温高于 32称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有 2 天“旺销”，“非高温天气”有 6 天“不旺销”，根据已知条件完成下面 22列联表，并据此是否有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由.高温天气 非高温天气 合计 旺销 不旺销 合计 附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd 2
17、P Kk 0.050 0.010 0.0010 旺销 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）6Z，6Y；（2）填表见解析；没有；答案见解析.【解析】【分析】（1）根据六月份的日最高气温不高于 32的频率为 0.8，得到日最高气温高于o32 C 的频率为10.8=0.2，由30 0.2Z求解.（2）根据列联表，利用22()()()()()n adbckab cd ac bd求得2k，对照临界表下结论.【详解】（1）由已知得：日最高气温高于o32 C 的频率为10.8=0.2，所以300.26Z，30(7 11 6)6Y.（2）高温天气 非高温天气 合计 旺销 2 18 20 不旺销
18、 4 6 10 合计 6 24 30 22()()()()()n adbckab cd ac bd 230(264 18)62420 10 3.75 因为3.753.841，所以没有95 的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关.【点睛】本题主要考查统计表的应用以及独立性检验，属于基础题.18.已知 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，2b，2242cac.（1）求 A 的值；（2）从2 3sinaB，4B两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值.【答案】（1）23A；（2）选择见解析；62sin4C.【解析】【分析】（1）由余弦定理结合已知即得解；（2）选
19、择2 3sinaB，利用正弦定理求出4B，再利用sinsin()CAB即得解；选择4B，利用sinsin()CAB即得解.【详解】（1）由2242cac 得：22222421cos22 242bcacacAbccc，又因为0A，所以23A.（2）选择作为已知条件.在 ABC 中，由2 3sinaB，以及正弦定理 sinsinabAB，得2 3sin22sinsin 3BB，解得21sin2B，由23A，得 B 为锐角，所以4B，因为在 ABC 中，ABC，所以 sinsin()sincoscossinCABABAB 22sincoscossin3434，所以62sin4C.选择作为已知条件，因
20、为在 ABC 中，ABC，所以sinsin()sincoscossinCABABAB 22sincoscossin3434，所以62sin4C.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.设数列 na满足11a ，*12()nnnana N.（1）求数列 na的通项公式；（2）设2lognnba，求数列23100bbb的值.【答案】（1）(1)22n nna；（2）166650.【解析】【分析】（1）利用累乘法即可求数列 na的通项公式；（2）求出数列 nb的通项公式，利用分组求和法求出23100bbb.【详解】（1）因为
21、121121()nnnnnaaaaaaaa（2n），所以(1)122(222)12n nnnna（2n），当1n 时，11a ，所以数列 na的通项公式为(1)22n nna；（2）因为222(1)11log2222nnn nnnbann（2n），所以2222310011(23100)(23100)22bbb 22222 10099111231001222 1100 101 201100981166650264【点睛】本题考查数列的通项公式和数列的前n 项和的计算，考查了累乘法和分组求和法，考查学生的运算求解能力.20.如图，直三棱柱111ABCABC中，12ABACAA，2 2BC，D，E
22、分别是 BC，1CC 的中点.（1）证明：1B D 平面 ADE；（2）求三棱锥1DAB E的高.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定定理，直接证明即可得出结论成立；（2）设三棱锥1DAB E的高为h，根据11D AB EBADEVV，由题中数据，结合棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）由已知得：12BBBDDCCE，所以1Rt B BDRt DCE，所以1BB DCDE，所以o190B DE，所以1B DDE，又因为 ABAC，D 是 BC 的中点，所以 ADBC，因为直三棱柱111ABCABC中，侧棱和底面垂直，所以1BB 平面 AB
23、C；因此1BBAD，又1BBBCB，1,BB BC 平面11BCC B；所以 AD 平面11BCC B，所以1ADB D，而 ADDED，,AD DE 平面 ADE，所以1B D 平面 ADE；（2）设三棱锥1DAB E的高为h，因为12ABACAA，2 2BC，由题意可得122ADBC，223DEDCCE，21126BBBDBD，因此11623222ADESAD DE，所以11113BADEADEVSB D，由12 2AB，5AE，13B E，得：18591cos22 2510B AE，所以13sin10B AE，所以1132 253210AB ES，由11D AB EBADEVV，得：11
24、13AB ESh，所以1h.【点睛】本题主要考查证明线面垂直，考查等体积法求三棱锥的高，属于常考题型.21.已知函数 ln1f xxx.（1）求函数 f x 的单调区间；（2）证明：当1a 时，23ln0axxx.【答案】（1）f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数的导数1()xfxx，根据导函数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）中函数的单调性，证得 ln(1)xx，再由223ln3(1)axxxaxxx，令2()3(1)g xaxxx，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数 ln1f xxx 的定义
25、域为(0,)，且11()1xfxxx，所以1x 时，()0fx；01x 时，()0fx，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.（2）由（1）得：()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以()(1)0f xf，即：ln1xx，所以 ln(1)xx.由于223ln3(1)axxxaxxx，令22()3(1)21g xaxxxaxx211()1a xaa，因为1a，所以110a，所以()0g x，即：23ln0axxx.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，
26、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，作出证明；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 22.已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点(2,0)P，离心率为22.（1）求椭圆 E 的方程；（2）设直线:1l yk x与椭圆 E 交于 A，B 两点，若 OAB 的面积为 23，求直线 l 的方程.【答案】（1）2212xy；（2）10 xy 或10 xy.【解析】【分析】（1）由题干条件可知：2a，22ca，结合222abc即可求出b 的值，从而求出椭圆方程；（2）直线与椭圆联立可求出12xx，12x x，又1212OABSyy，可求出1243yy，
27、根据直线方程可知12yy221212()2 4(1)(1)k xxkkxx，从而解出k 的值.【详解】解：（1）设椭圆 E 的方程为：22221xyab(0)ab，由已知：222222acaabc 得：22a，21b ，所以，椭圆 E 的方程为：2212xy.（2）设11()A xy，22()B xy，(1,0)N 由22(1)12yk xxy，得2222(1 2)4220kxk xk 所以2122412kxxk ，21222212kx xk，而12121122OABSONyyyy，由已知23OABS得1243yy，1221212()4yyyyyy 221212()2 4(1)(1)k xxkkxx 222 2244(12)12kkkk，所以222 224416(12)129kkkk，化简得：4220kk，所以1k ，所以直线l 的方程为：10 xy 或10 xy.【点睛】本题考查根据椭圆的性质去椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积，考查韦达定理的应用，同时考查了学生的转化能力与计算能力，属于中档题.