1、高中学生学科素质训练系列试题 高三上学期数学单元测试（9）原人教版 直线、平面、简单几何体（第九章）注意事项：1本试题分为第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2答第卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。3第卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。1空间两条直线a、b与直线l都成异面直线，则a、b的位置
2、关系是（ ）A平行或相交B异面或平行 C异面或相交D平行或异面或相交2如果P是等边ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC=，三角形边长为1，那么PA与 底面ABC所成的角是（ ）A30B45 C60D903已知某长方体的体积为8 cm3,它的全面积是32 cm2,并且长、宽、高成等比数列，那么所 有棱长之和是（ ）A28 cmB32 cm C36 cmD40 cm4已知轴截面（过对称轴的截面）为正方形的圆柱侧面积与球的表面积相同，那么圆柱的 体积与球的体积之比为（ ）A11 B1 C23D325点M是二面角EF的棱EF上一点，MN在平面内且与EF成45的角，MN与 平面成30的角，则二面角E
3、F的平面角的大小为（ ）A30 B45 C60D906下列命题中成立的是（ ）A直线a平行于平面，则a平行于内任意一条直线B.直线a与平面相交，则a不平行于内的任意一条直线C直线a不垂直于平面，则a不垂直于内任意一条直线D直线a不垂直于，则过a的平面不可能垂直于平面7经过空间一点作直线，使它与两条异面直线都成60角，则这样的直线有（ ）A2条或3条B2条或4条 C3条或4条D2条或3条或4条8以长方体的8个顶点中的任意3点为顶点的三角形中，锐角三角形的个数共有（ ）A4 B6 C8D249一个球受热膨胀，表面积增加21%，那么球的半径增加（ ）20081103AB CD10正四棱锥的侧棱长为a
4、,底面周长为4a,则这个棱锥侧面积是（ ）A5a2 Ba2 Ca2 D.（+1）a211如图，两异面线段AB、CD分别在两平行平面、内，、间的距离为h,若三棱锥ABCD是侧棱与底棱均相等的正三棱锥，则其体积为（ ）ABh3 C D12在四边形ABCD中，ABC=BCD=CDA=90，且AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD一定是（ ）A空间四边形B正方形 C一般矩形D空间四边形或正方形第卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。13在ABC中，C=90，点P在ABC所在平面外，点P到三个顶点的距离相等，点P到的距离为40 cm,直角边AC=18 cm,则
5、点P到直角边BC的距离等于_.14空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，PR=3，AC=4，BD=2，那么AC与BD所成角的度数是_.分析：求异面直线所成角一般是由“平移法”实现的.15一个正四棱柱的对角线长9 cm,全面积为144 cm2,则该棱柱的体积等于_.分析：长方体对角线性质及其全面积与体积公式的应用.16地球北纬45圈有A、B两地分别在东经70处和东经160处，若地球的半径为R，则AB两地的球面距离是_.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=
6、，则BE1与DF1所成角的余弦值是多少？18（本小题满分12分）如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，BAC=30,BC=1,AA1=,M是CC1的中点.求证：AB1A1M.19（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a,B=90,BCD=135,沿对角线AC将此四边形折成直二面角. （1）求证：AB平面BCD; （2）求点C到ABD的距离.20（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1平面A1B1C1，异面直线AB1与C1B互相垂直. （1）求证：AB1
7、C1D1； （2）求证：AB1面A1CD； （3）若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.21（本小题满分12分）如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1=2，AA1=AD=1，求: （1）点D1到直线AC的距离; （2）直线AB与面A1DC的距离; （3）异面直线A1D与B1C1的距离.22（本小题满分12分）如图所示，在斜边为AB的RtABC中，过A作PA平面ABC，AMPB于点M，ANPC于点N. （1）求证：BC面PAC； （2）求证：PB面AMN; （3）若PA=AB=4，设BPC=，试用tan表示AMN的面积，当tan取何值时，AMN的面积最大？最大面积是多少？2
8、0081103参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1D解：如图所示，设CC1所在直线为l,则当A1D1与AD所在 直线分别为直线a、b时，a、b平行;当A1D1、AB所在直线分 别为直线a、b时，a、b异面;当A1D1、A1B1所在直线分别为直 线a、b时，a、b相交.2A解：过P作PO面ABC，则O是ABC的中心，连结AO，则PAO就是PA与底面 ABC所成的角. AB=1，AO=,又PA=，cosPAO=. PAO=30.同理可得PB、PC与底所成的角为30.3B解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则有 解得4（a+b+c）=4（3+2+3-）=32 （cm
9、）.4D解：设圆柱的底面半径为r,则由题意得，圆柱高为2r,设球半径为R，有 S圆柱侧=2r2r=4r2, S球=4R2.4r2=4R2.r=R. 又V圆柱=r22r=2r3, V球=R3=r3.=.5B解：过N作NO于O点，作NPEF于点P，连结OP，则OPEF，NPO是二 面角EF的平面角. NMP=45，NPMP，OPMP，且NMO=30, 设MP=NP=1，则MN=，NO=,sinNPO=.NPO=45.6B解：对于A：如图，B1B,AC1，但B1B与AC1异面. 对于C：如图，AC1不垂直于平面B1C，但AC1BC. 对于D：AC1不垂直于平面ABC，但过AC1的平面A1C垂 直于平
10、面ABC.7D解：过平面内一点，分别作两条异面直线的平行线，讨论 过该点和两直线所成角为60的直线有几条即可. 如图，当AOB小于60时，满足条件的直线有2条，且在 AOB的平分面上. 当AOB=60时，这样的直线有3条，分别在AOB的平分 面上有2条，AOD内有1条. 当AOB大于60小于90时，AOB及AOD的平分面上各有2条，故共有4条. 综上，这样的直线为2条或3条或4条.8C解：因为长方体三个面的对角线构成的三角形为正三角形，而8个顶点中，每一个顶点 处对应一个锐角三角形，共8个.9D解：设因膨胀半径由r变为R,则4r2（1+21%）=4R2. R=r=r（1+）.半径增加.10B解
11、：正四棱锥的底面周长为4a,正四棱锥的底面边长为a. 又正四棱锥的侧棱长为a,正四棱锥的侧面积为4a2=a2.11C解：AB,CD,且,AB与CD间的距离为h.取CD的中点E，连结AE、BE，则CD面AEB.过E作EFAB，则EF=h.设正四面体棱长为a,则在AEF中，h2=（a）2-（）2,得h=a,即a=h,过A作AOBE，则AO面BCD，在RtAOE中，求得AO=a,VABCD=a2a=.12B解：依题意得A、C不符合条件.若对于D，满足条件，则易构造一三棱锥ABCD，且ABC=BCD=CDA，及AB=BC=CD，得ABC与BCD是全等的等腰直角三角形，设直角边为1，取BD的中点E，连结
12、AE、CE.则cosAEC=-1.AEC=180,A、B、C、D共面.综上，只有B符合条件.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1341 cm解：如图，PA=PB=PC，且ABC为直角三角形，点P在底面的射影是底面直角三角形斜边的中点.取AB的中点O，连结PO，则PO面ABC，过O作OHBC于点H，则OHAC，OH=AC=9.连结PH，则PHBC.PH即为所求距离.PH=41.1490解：分别取BC、AD的中点Q、H，则由题意得PQAC,PHBD,QPH为AC与BD所成的角.PQ=2，PH=.又QH=PR,cosQPH=0.QPH=90.15112 cm3或108 cm3解：设
13、此正四棱柱的底面边长为a,高为c,则有解得a=6,c=3或a=4,c=7.棱柱的体积为112 cm3或108 cm3.16R解：A、B两地在北纬45圈上，在OO1B中，BOO1=45，即OO1=O1B=R.又AO1=O1B=R，AO1B=90,AB=R.AOB为正三角形.AOB=.球面距离为R.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17解：在平面AB1内过E1作E1EDF1，则E为AB的中点，BE1E就是BE1与DF1所成的角. 3分设正方体棱长为1，则由题设可得BE=，BE1=EE1=.6分cosBE1E=.10分18解：连结AC1，=， =，4分RtACC1RtMC1A1.AC1C=MA
14、1C1.A1MAC1. 7分ABCA1B1C1为直三棱柱.CC1B1C1.又B1C1A1C1,B1C1平面AC1.AB1A1M. 12分19分析：将（1）变为（2）的过程中B=90,DCA=90保持不变，依据题设证出结论即可. （1）证明：ABBC, 2分在ABC中，B=90，AB=BC=a,ABC为等腰直角三角形.ACB=45.BCD=135,ACD=90.DCAC.（见图（1）平面DAC平面ABC,DC平面ABC.又AB平面ABC,DCAB.又ABBC，BCDC=C,AB平面BCD. （2）解:由VCABD=VDABC, 7分设点C到平面ABD的距离为h,则hSABD=CDSABC.SAB
15、D=a2,SABC=a2,h=a.点C到平面ABD的距离为a. 12分20（1）证明：A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，C1D1A1B1于点D1.平面A1ABB1平面A1B1C1，C1D1平面A1B1BA，AB1平面A1ABB1.AB1C1D1. 4分 （2）证明：连结D1D，D是AB的中点,DD1CC1.C1D1CD.由（1）可得CDAB1，C1D1平面A1ABB1，C1BAB1，BD1AB1.A1DD1B,AB1A1D.AB1平面A1CD. 8分 （3）解：结合（2）中的AB1平面A1CD，O是垂足，连结CO,OCA为直线AC与平面A1CD所成的角.AB1=3，AC=A1C1=2，
16、AO=1.sinOCA=.OCA=30.AC与平面A1CD所成的角为30. 12分21解：（1）在面AC中，过D作DEAC，垂足为E，DD1面AC.D1EAC.D1E就是D1到AC的距离.DEAC=ADDC.DE=.D1E=.4分 （2）ABCD,AB面A1DC.A到平面A1DC的距离就是AB到面A1DC的距离.若AD1与A1D交于点O，AOA1D.面AA1D面A1DC,AO面A1DC.AO=.直线AB与面A1DC的距离为.8分 （3）A1B1A1D，A1B1B1C1,A1B1是异面直线A1D和B1C1的公垂线段.A1B1=2，A1D与B1C1之间的距离为2. 12分22（1）证明：PA平面A
17、BC，BC平面ABC,PABC.又AB为斜边.BCAC，PAAC=A.BC平面PAC. 4分 （2）证明：BC平面PAC，AN平面PAC,BCAN.又ANPC，且BCPC=C，AN面PBC.又PB平面PBC,ANPB.又PBAM，AMAN=A,PB平面AMN. 8分 （3）解：在RtPAB中，PA=AB=4，PB=4.AMPB.AM=PB=2.PM=BM=2.又PB面AMN，MN平面AMN,PBMN.MN=PMtan=2tan.AN平面PBC，MN平面PBC,ANMN.AN=,SAMN=ANMN=2tan=4.当tan2=,即tan=时，SAMN有最大值为，当tan=时，SAMN面积最大，最大值.12分高考资源网w w 高 考 资源 网
