1、浙江高考总复习-三角函数题型梳理 三角函数基础知识点 1已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且2AC.（1）若2 33ac，求cos B 的大小；（2）若1b ，3c ，求sin A.2在 ABC中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知24sin4sinsin222ABAB（1）求角C 的大小；（2）已知4b，ABC的面积为 6，求边长c 的值.3已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455，）（）求 sin（+）的值；（）若角 满足 sin（+）=513，求 cos 的值4已知(0,)3 且满足：4 3sinsin()35
2、.(1)求cos(2)3 的值；(2)已知函数 sin cos()cos sin()66f xxx，若方程 f xa在区间0,2 内有两个不同的解，求实数a 的取值范围.解三角形-正余弦定理 5已知函数 4411cossin cossin22f xxxxx（1）求 f x 的最小正周期及单调减区间；（2）在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若222Af ，BC 边上的中线2AD，求22bc的最大值6在 ABC中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知2 cosbcaB（1）证明：2AB；（2）若 ABC的面积24aS，求角 A 的大小7在三角形中，A、B、C 分
3、别对应的边为 a，b，c，且满足关系式为：3tantantantan tan3ABCAB（1）求C 的的大小；（2）若 c=2，求22ab的取值范围8在锐角 ABC 中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，且2 sinbAa.(1)求角 B 的大小；(2)求coscoscosABC的取值范围.9在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c(1)若 1+2cosAcosB2sinAsinB，求角 C；(2)若 2221tan1 tanbAcaA，求角 C10在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且3cossinsincos2bACaBCb(1)求角 B
4、的大小；(2)若 ABC 为锐角三角形，3b，求ac 的取值范围11在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足2coscosacBbC（1）求角 B 的大小；（2）设232sincos2ACyC，求 y 的最大值此时C 的大小12在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinsinsinbBaAcA（1）求证：2BA；（2）若 ABC 是锐角三角形，求 sinsinAC 的取值范围13在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 sin30bAa（I）求角 B 的大小；（II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围14在
5、ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，222cosabbcB.（1）证明：sinsin 2ABB；（2）求角 B 的取值范围.15在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且sinsincosBA CC.（1）求角 A 的大小；（2）当2 3c 时，求22ab的取值范围.16在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 ABC 的面积为 S且满足2223()4Sabc（1）求角 C 的大小；（2）求sinsinAB的最大值17记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsinsinaAbaBcC(1)求角 C；(2)求
6、abc的取值范围18在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知3b，coscos2 cosaCcAbB（）求角 B 的大小；（）求 sinaC 的最大值19 ABC 的周长为 2 1，且sinsin2sinABC（1）求边 AB 的长；（2）若 ABC 的面积为 1 sin6C，求角C 的度数 解三角形-与周长有关题型 20已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 coscos2 cosbA aBcA（1）求 A；（2）若2a，ABC 的面积为 3，求 ABC 的周长21在 ABC 中，cos(3sin)sincosBabCbBC（1）求 B；（2）若2
7、ca，ABC 的面积为 2 33，求 ABC 的周长22在 ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 sinsinsinsinaAbCbBcC(1)求 A；(2)若2 3,aB与C 的角平分线交于点 D，求BCD周长的取值范围23在锐角 ABC 中，向量(,3)mab与(cos,sin)nAB平行.(1)求角 A；(2)若 a=2，求 ABC 周长的取值范围.24在锐角 ABC 中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，且满足 3 sincosbAaBa.(1)求角 B 的值；(2)若2b，求 ABC 周长的取值范围.解三角形-与面积有关题型 25在 ABC中，内角 A
8、，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知4A，22ba=122c.（1）求 tanC 的值；（2）若 ABC的面积为 3，求 b 的值.26在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且sinsinsin3abABC cb.（1）求角 A；（2）若 ABC 的面积23ABCS，求 a 的取值范围.27已知向量(2cos,3cossin),sin,sin6mxxx nxx，函数()f xm n(1)求函数 0yf xx的单调递增区间；(2)在锐角 ABC 中内角,A B C 的对边分别为,a b c，若 1f A ，3a，求 ABC 面积的取值范围28已知 ABC 中，asinA=
9、bsinB.(1)证明：a=b；(2)若 c=1，acosA=sinC，求 ABC 的面积.29在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知(coscos)()cosaBCbcA.（1）求角 A 的大小；（2）若2,2acb，求 ABC 的面积.30设 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 在单位圆上，且其横坐标为45，直角坐标系原点为 O.(1)设 是以 OA 为始边，OB 为终边的角，求tan 的值；(2)若 P 在单位圆上，且位于第一象限，点 B 在第二象限，求APB的面积 S 的最大值.31已知函数()4cos sin33fxxx骣琪=-+琪桫（）求函数 f
10、 x 在区间,4 2 上的值域（）在 ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别是 a，b，c，若角 C 为锐角，3f C，且2c，求 ABC 面积的最大值32已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，函数 sin 2cos2f xaxbx，且函数 f x 在6x 处取得最大值 4.（1）求函数 f x 的单调递增区间；（2）若 ABC 的面积为 3，求c.33已知向量22 3sin,cosaxx，cos,6bx，设函数 f xa b.（1）求函数 f x 的最大值;（2）在锐角 ABC 中，三个角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 0,7f Bb，3sin2s
11、in0AC，求 ABC 的面积.34在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a 且22sin3sin()1.2ABAB（1）求角 C 的大小；（2）若3a，c=1，求 ABC 的面积.35已知a、b、c 分别为 ABC 三个内角 A、B、C 的对边，2a，且 coscos2bA aBb，cos3 sinaCaCbc.（1）求角 A 的大小；（2）求 ABC 的面积.36 ABC 三个内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，且23B，6b(1)若2 3 cosbcC，求 C；(2)求 ABC 的面积 S 的取值范围37 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A 为
12、锐角，22sincos2caBCab.（1）求 A；（2）若34bc，且 BC 边上的高为2 3，求 ABC 的面积.三角函数-平移题型 38已知函数 sin6f xxm，将 yf x的图象横坐标变为原来的 12，纵坐标不变，再向左平移 6 个单位后得到 g x 的图象，且 yg x在区间,4 3 内的最大值为32.（1）求m 的值；（2）在锐角 ABC 中，若322Cg ，求 tantanAB的取值范围.39已知函数 4sin sin36f xxx，Rx，且将函数 f x 的图象向左平移02个单位长度得到函数 g x 的图象.（1）若函数 g x 是奇函数，求 的值；（2）若1cos3，当
13、x时函数 g x 取得最大值，求12f 的值.40已知函数()2sin(3)|2f xx 的图象与 y 轴的交点坐标为(0，1)（1）求 的值；（2）将 f x 图象向左平移 6 个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 g x 的图象，求函数2()()2()h xf xgx 的最大值.41已知将函数 yf x图像上各点的横坐标缩短至原来的一半，再向左平移 12 个单位，得到2sin 23yx 的图像（）求函数 f x 的解析式；（）求函数 22g xfxf x 的值域 求三角函数解析式及性质 42已知函数sin0yx是 0,3 上的增函数，且图象关于直线2x对
14、称（1）求 的值；（2）当0,2x 时，若2sinsincos14xxx，求 x 43已知R，设函数 2cossincosf xxxx(1)若 f(x)是偶函数，求 的取值集合；(2)若方程 0f xfxf有实数解，求sincos 的取值范围44已知函数 sin0,2f xx 的部分图象如图所示.（1）求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 在区间,4 4 上的值域.45已知函数 22sincos2 3sin30f xxxx，f x 图象两相邻对称轴之间的距离为 2（1）求实数 的值；（2）将函数 yf x图象上的所有点向左平移 12 个单位得到函数 yg x的图象，求函数 yg x，
15、,2 6x 的最值以及相应 x 的值46已知函数()2sin()1(0)6f xxa 图象上最高点的纵坐标为 2，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求a 和 的值；（2）求函数()f x 在0，上的单调递减区间.47已知函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图象如图所示（1）求函数 f x 的解析式；（2）将函数 yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数 g x，当0,2x 时，求函数 h xf xg x的值域48已知函数()sin()(0,0,|)2f xAAx的部分图象如图所示，其中点2(,2)3A是图象上的最高点，且11(,0)3B(1)求函数 f x 的单调递增区间；(2)
16、求cosOAB的值49已知函数2()(2sin)sin(2)f xaxx为偶函数，且12f ，其中(0,)aR,.(1)求 a，的值；(2)若4,(0,)45f ，求26f的值.50已知函数2()2sincos3 1 2sin(0)222xxxf x的最小正周期是.(1)求 f（x）的对称中心和单调递增区间；(2)将 f（x）的图象向右平移 3 个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求若536x，|g（x）m|2 恒成立，求 m 的取值范围.51已知函数 sin0,0,2f xAxA 在一个周期内的图象如图所示.（1）求 f x 的解
17、析式；（2）将函数 yf x的图象向右平移 6 个单位长度后，得到函数 yg x的图象，求 g x 在0,上的单调递增区间.三角函数恒等变换及性质 52已知函数 22sincos 23f xxx（）求 f x 的最小正周期；（）求 f x 在 0,2 上的单调递增区间53已知函数()3sincosf xxx.（）求函数()f x 的单调递增区间；（）若85(),566f，求sin 的值.54已知函数()6(sincos)2(sincos)f xxxxx.(1)求 f（x）的最小正周期和在0,2 的单调递增区间；(2)已知0,()2 32f，先化简后计算求值：222sin()cos()sin23
18、1 cossin()sin2255已知函数 22f xsin xcos x2 3sin xcosx xR（I）求2f3的值（II）求 f x 的最小正周期及单调递增区间.56已知函数 21sincos2132f xxx.（1）求 f x 的单调递增区间；（2）若 yg x的图象是由 yf x的图象向右平移 6 个单位长度得到的，则当,2 2 x 时，求满足 54g x 的实数 x 的集合.57已知13()sincossin 23234f xxxx（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若11226212afxfx对任意的,4 3x 恒成立，求 a 的取值范围58已知函数 2sinsincos
19、633f xxxx.（1）求函数 f x 的单调递增区间；（2）若函数 1242g xfx，0,且3tan4，求函数 g x 在区间 0,2上的取值范围.59已知函数 f(x)=23sincos 21223xx，xR.（1）求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）若 x0,2，求函数 f(x)的的值域.60已知函数 4sin cos16f xxx（1）求 f x 图象的对称中心；（2）若 2,63x ，g xf xm有两个零点，求m 的取值范围61设函数()sin,f xx xR.（1）已知0,2),函数()f x 是偶函数，求 的值；（2）求函数22()()124yf xf x的值
20、域.62已知函数 22cos2 3sincosf xxxx（1）求3f 的值；（2）若1125f，0,3 ，求cos 的值63已知函数 21 2cos2 3sin cosf xxxx xR（1）求23f 的值；（2）求 f x 的最小正周期及单调递增区间64已知函数 2sin3sin cosf xxxx.（1）求函数 yf x的对称中心；（2）若1322410f，求sin 2.65设函数()sin3cos()f xxx xR.(1)求函数24yfx的最小正周期；(2)求函数()2yf x fx 在 0,2 上的最小值.66已知函数()cossinsin3f xxxx（1）求()yf x图象的对
21、称轴；（2）当0,2x 时，求()yf x的值域67设函数2()2sinsin(2).6f xxx（1）当0,2x时，求()f x 的值域；（2）若函数()f x 的图象向右平移 6 个单位后得到()g x 的图象，且存在0,02x，使02()3g x，求0cos2x 的值68函数 2233sincossincos22222xxxxf x.（1）求函数 yf x的对称中心；（2）将函数 f x 的图象向左平移 个单位得到函数 g x 的图象，其中0,2 且3tan4，求函数 g x 在 0,2 上的取值范围.69已知函数 2 3sin coscos2Rf xxxx x.（1）求 f x 的单调
22、递增区间；（2）设0,3，且 65f ，求sin 2 的值.70设函数 sincos(R)f xxx x.（1）求函数22yfx的最小正周期；（2）求函数()4yf x fx 在 0,2 上的最大值.参考答案：1（1）5 39；（2）2 23.【解析】【分析】(1)由正弦定理求出 cosC，进而求得 sinC、sinA 及 cosA，再利用和角公式即可得解；(2)由(1)结合余弦定理求得 a，进而求得 cosC 及 sinC 即可得解.【详解】（1）ABC 中，由正弦定理可得，sinsin22cossinsinaACCcCC，所以3cos3C，6sin3C，2 2sin2sincos3ACC，
23、221coscossin3ACC，所以coscos()BAC coscossinsinACAC 132 265 333339；（2）由（1）可知，2cosaCc，所以2 cos6cosacCC，由余弦定理可知，222cos2abcCab282aa，于是2862 32aaaa，则3cos3C，6sin3C，所以sin2sincosACC632 22333.2（1）4；（2）10.【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式把24sin4sinsin222ABAB降次，再用两个角的和的余弦公式求cos()AB，由三角形三内角和定理可求得cosC，从而求得角C；（2）根据三角形的面积公式求出边a，再由余
24、弦定理求 E 边.【详解】试题分析：（1）由已知得21 cos()4sinsin22ABAB，化简得 2coscos2sinsin2ABAB，故2cos()2AB，所以34AB，因为 ABC，所以4C=.（2）因为1sin2SabC，由6ABCS，4b，4C=，所以3 2a，由余弦定理得2222coscababC，所以10c.【点睛】本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题.3（）45；（）5665或1665.【解析】【分析】分析：（）先根据三角函数定义得sin，再根据诱导公式得结果，（）先根据三角函数定义得cos，再根据同角三角函数关系得cos，最后根据，利用两角差
25、的余弦公式求结果.【详解】详解：（）由角 的终边过点34,55P得4sin5 ，所以4sinsin5.（）由角 的终边过点34,55P得3cos5 ，由5sin13得12cos13.由得coscoscossinsin，所以56cos65 或16cos65.点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.4(1)725；(2)4,1)5.【解析】【分析】(
26、1)把给定等式化简，再利用二倍角的余弦公式即可得解；(2)把函数 f x 化简变形，再讨论这个函数的性质即可得解.【详解】(1)由4 3sinsin35得，334 34sincossin()22565，则2247cos 2cos2()1 2sin()1 2()366525 ；(2)因(0,)3，令(,)66 2，则3cos()65，sin coscos sinsin()f xxxx，02x时，2x，2x，即2x时，m1axf x，02x，f x 是递增的，函数值从4sin5 增到 1，22x，f x 是递减的，函数值从 1 减到3sin()cos25，方程 f xa在区间0,2 内有两个不同的
27、解，即 f x 图象与直线 y=a 的两个不同的公共点，则 451a，所以实数a 的取值范围是 4,1)5.【点睛】关键点睛：涉及含参数的正(余)弦三角方程的根的个数问题，分析函数的图象性质是解题的关键.5（1）最小正周期为；单调减区间为,3,88kkkZ；（2）8 22【解析】【分析】（1）先运用平方差公式化简，然后再用辅助角公式，就可以求最小正周期及单调减区间；（2）先求出34A，再根据向量及基本不等式即可求出最大值.【详解】（1）函数 44441111cossin cossincossinsin22222f xxxxxxxx2222221111cossincossinsin2cossin
28、sin22222xxxxxxxx12cos2sin 2cos 2224xxx所以最小正周期为T，当2224kxk，kZ，解得388kxk，kZ所以单调减区间为,3,88kkkZ.（2）22cos2242AfA，cos14A，34A，2ABACAD，2232cos4 24bcbc ，2228bcbc，22228222bcbcbc，222182bc，22168 2222bc，当且仅当bc时，取等号所以22max()8(22)bc.6（1）证明见解析；（2）2A或4A.【解析】【详解】试题分析：（1）由正弦定理得sinsin2sincosBCAB，进而得sinsinBAB，根据三角形内角和定理即可得
29、结论；（2）由24aS 得21sin24aabC，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得sincosCB，进而得讨论得结果.试题解析：（1）由正弦定理得sinsin2sincosBCAB，故2sincossinsinsinsincoscossinABBABBABAB，于是sinsinBAB又,0,A B，故0AB，所以BAB或 BA B，因此 A（舍去）或2AB，所以2AB（2）由24aS 得21sin24aabC，故有1sinsinsin2sincos2BCBBB，因sin0B，得sincosCB又,0,B C，所以2CB当2BC时，2A；当2CB时，4A综上，2A或4A考点：1、正弦定理及正
30、弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.7（1）C=30；（2）（4，16+8 3【解析】【分析】(1)根据诱导公式和两角和的正切公式可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，结合题意即可得出C=30；(2)结合余弦定理和基本不等式即可.【详解】（1）tan（A+B）=tan（)AB=-tanCtan（A+B）=tantan1 tan tanABAB-tanC=tantan1 tan tanABABtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC又有3 tan tan3AB=tan tan tanABC,tanC=33，0C故C=30;（2）2222c
31、oscababC，2c，4=222cosababC=223abab222232abab22ab16+8 3当且仅当 a=b 时取等号又因为22ab4所以综上22ab取值范围是（4,16+8 3 8(1)6(2)2 3-30,8【解析】【分析】（1）运用正弦定理化简题中边角关系，从而求解出角 B 的值，再根据锐角三角形确定 B 的取值；（2）将题中的式子化简为角 A 的的正弦函数的形式，再根据角 A 的范围确定函数的取值范围.【详解】【小问 1 详解】解：2 sinbAa，2sinsinsinBAA，1sin=26BB 或5=6B，又ABC 是锐角三角形，=6B；【小问 2 详解】解：由（1）可
32、知=6B ，335331coscoscos=coscoscoscoscoscossin226222ABCACAAAAA233133133cossincos=1+cos2sin2sin 2222422438AAAAAA，ABC 是锐角三角形，02532062AAA，3sin 2,132A，332 3-3sin 20,4388A，即2 3-3coscoscos0,8ABC.9(1)3C(2)34C【解析】【分析】（1）根据两角和的余弦公式求出 C 的余弦值，求出 C 的值即可；（2）结合余弦定理求出 C 的正切值，求出 C 的值即可(1)若 1+2cosAcosB2sinAsinB，则 cosAc
33、osBsinAsinB12，即故1cos()2AB，即1cos()coscos2ABCC ,所以1cos2C，由0C，故3C(2)若 2221tan1 tanbAcaA，显然2A，所以2222222coscostantan2coscostancababCaCAAbcabcAcAC，又由 tanA0 得到 tanC1，0C，故34C10(1)3B或 23；(2)3 3,6【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，即可求出cos B 以及 B 的值；（2）利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换得到6sin()6acA，再根据正弦函数的性质求出ac 的取值范围(1)解：在 ABC 中，由3coss
34、insincos2bACaBCb，利用正弦定理可得3sincossinsinsincossin2BACABCB，因为sin0B，所以3cossinsincossin()sin2ACACACB，又(0,)B，所以3B或 23；(2)解：若 ABC 为锐角三角形，由（1）知3B，且3b，由正弦定理得32 3sins3insin2acbACB，所以2 3(sinsin)acAC；因为23A C，所以2332 3sinsin()2 3(sincos)6sin()3226acAAAAA，又 ABC 为锐角三角形，则02A，且02C ，又23CA，则 62A，所以2363A；所以3sin()126A；所以
35、3 36ac，即3 3,6ac ；11（1）3B；（2）3C，max2y【解析】【分析】（1）因为2coscosacBbC，所以2sinsincossincosACBBC，从而得到1cos2B，3B.（2）根据3B，得到23AC，代入函数232sincos2ACyC得到sin 216C，再求最值即可.【详解】（1）因为2coscosacBbC，所以2sinsincossincosACBBC，2sincossincossincosABBCCB，2sincossinsinABBCA，又因为sin0A，所以1cos2B.又因为0B，所以3B.（2）因为3B，所以23A C，即23AC，故232sin
36、cos1 cos2cos223ACyCCC 13311 cos2cos2sin 2sin 2cos21sin 2122226CCCCCC .203C，7666C，当 262C时，即3C时，y 取得最大值为 212（1）证明见解析；（2）1,12【解析】【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到2 cosacaB，再利用正弦定理将边化角得到sinsin2sincosACAB，即可得到sinsin()ABA，从而得证；（2）由（1）可知3CA，再根据三角形为锐角三角形，得到角 A 的取值范围，则2sin1sin34sinACA，即可求出 sinsinAC 的取值范围；【详解】解：（1）由
37、 sinsinsinbBaAcA得22baac由余弦定理2222cosbacacB，代入22baac得22cosaccacB，则2 cosacaB由正弦定理得sinsin2sincosACAB所以sinsin()2sincosAABAB，得sinsin()ABA由220baac知ba，故 BA，所以 ABA或()ABA（舍去）所以2BA（2）由（1）可知3CA，由0,02,03222AAA得 64A，所以12sin22A，sinsinsinsinsinsin3sin(2)sincos2cossin2AAAACAAAAAAA32sin13sin4sin34sinAAAA因为 12sin22A，所
38、以211sin42A，214sin2A，2134sin2A，所以2111234sin A，即1s2in1sin,AC【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.13（I）3B；（II）31 3,22【解析】【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角 B 的大小；（II）方法二：结合()的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角 A 的三角函数式，然
39、后由三角形为锐角三角形确定角 A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得coscoscosABC的取值范围.【详解】（I）方法一：余弦定理由 2 sin3bAa，得222233sin24aaAbb，即22231cos4aAb结合余弦定222cos2bcaAbc，2222223124bcaabcb，即224442222222242223b cbcab cb ac aa c,即444222222220abca ca bb c,即44422222222222abca ca bb ca c,即22222acbac,ABC 为锐角三角形，2220acb，222acbac，所以2221cos22acb
40、Bac，又 B 为 ABC 的一个内角，故3B方法二【最优解】：正弦定理边化角由 2 sin3bAa，结合正弦定理可得：32sinsin3sin,sin2BAABABC 为锐角三角形，故3B.（II）方法一：余弦定理基本不等式因为3B，并利用余弦定理整理得222bacac，即223()acacb结合22acac，得2acb由临界状态（不妨取2A）可知3acb而 ABC 为锐角三角形，所以3acb由余弦定理得2222221coscoscos222bcaabcABCbcab，222bacac，代入化简得1coscoscos12acABCb故coscoscosABC的取值范围是31 3,22方法二【
41、最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12coscoscoscoscos23ABCAA131coscossin222AAA311sincos222AA1sin62A.由203202AA 可得：62A，2363A，则3sin,132A，131 3sin,2232A.即coscoscosABC的取值范围是31 3,22.【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222acbac，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接
42、使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.14（1）证明见解析；（2）2 30,434.【解析】【分析】（1）由222cosabbcB，结合2222cosabcbcA，即可得到 2 cos2 coscbAbB，再利用正弦定理，化简即可；（2）由 ABC，得0,AB，然后分 B 是锐角，B 是直角和 B 是钝角三种情况求出 B 的范围【详解】（1）由余弦定理得2222cosabcbcA，代入并化简得2 cos2 coscbAbB，由正弦定理得sin2sincos2sincos2sincossin2CBABBBAB，由ABC 得sinsinCAB，得sinsincoscossin2sincossi
43、n2CABABBAB整理得sincoscossinsin2ABABB即sinsin 2ABB.（2）由 ABC，得(0,)AB，当 B 是锐角时，3AB，解得0,4B.当 B 是直角时，不合题意；当 B 是钝角时，32AB，解得2 3,34B.故角 B 的取值范围是2 30,434.15（1）6A；（2）12 20,.【解析】【分析】(1)利用三角形三内角和定理消去一个角，再用和差角的正弦展开即可得解；(2)先利用正弦定理及同角公式求出 b 的范围，再用余弦定理建立关于 b 的函数即可得解.【详解】（1）ABC 中，由sinsincosBACC 得sinsincosACACC，化简2sinco
44、scosACC，而 ABC 为锐角三角形，即cos0C，得1sin2A，又02A，故6A；（2）由正弦定理得 sinsinbcBC，得132 3(cossin)sin2 3sin()3223sinsinsintanCCcBACbCCCC又025062CC ，即 32C，tan3C，故有3 b，由余弦定理得22222cos612abcbcAbb，所以22223152612212,2022abbbb.【点睛】思路点睛：求三角形边长的范围，可以利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解.16（1）3；（2）34.【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得22231()si
45、n42SabcabC，可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C 的值；（2）由已知sinsinAB11sin(2)264A，再利用三角函数求最大值.【详解】（1）解：由题意可知 13sin2cos24abCabC 所以 tan3C 因为0C，所以3C；（2）解：由已知sinsinAB sinsin()ACA2sinsin()3AA3131111sin(cossin)sin 2cos2sin(2)22444264AAAAAA 因为270,23666AA,所以262A即3A时，sinsinAB取最大值 34.所以sinsinAB的最大值是 34 【点睛】方法点睛：求三角函数sin()yA
46、x在区间上的最值，一般利用不等式的性质结合三角函数的图象和性质逐步求解.17(1)3C(2)1,2【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.(2)由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.(1)由已知及正弦定理得222ababc，即222abcab，由余弦定理得2221cos22abcCab，可得3C(2)根据正弦定理得sinsin2sinsinsin3abABABcC2 sinsin33AA233sincos223AA2sin6A，又203A，则5666A故12sin26A，则 abc的取值范围是1,2 18（）3B；（）32.【解析】【分析】（）根据 coscos2 cosa
47、CcAbB，利用正弦定理转化，利用sinsinACB代换，得 B的值;（）由正弦定理可得：32sinsinsin32acbACB，因此2sinaA，1sin2Cc若将角转化为边，即利用余弦定理则为证法一，222acac，以及13sin22aCac；若将边转化为角，即利用函数单调性则为证法二，1sinsin 262aCA,因为203A，即可得出 sinaC 的范围.【详解】（）因为 coscos2 cosaCcAbB，由正弦定理得：sincoscossin2sincosACACBB即sin2sincosACBB，也即sin2sincosBBB因为0B，所以sin0B，因此1cos2B，得3B（）
48、由正弦定理可得：32sinsinsin32acbACB，因此2sinaA，1sin2Cc法一：由余弦定理2222cosbacacB得：223acac因为222acac，所以2232acacacacac所以13sin22aCac即 sinaC 的最大值为 32，当且仅当ac时等号取到.法二：2sin2sinsin2sinsin3aCACAA2312sincossin3sincossin22AAAAAA31cos23111sin2sin2cos2sin 22222262AAAAA因为203A，所以72666A，13sin 2622A因此，sinaC 的最大值为 32，当且仅当262A，即3A 时等
49、号取到.【点睛】注意式子的特点选择正弦或余弦定理进行转化，特别是sinsinACB的利用，求最值问题可以转化为边利用基本不等式，也可以转化为角利用函数的单调性.19（1）1；（2）60.【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边结合周长可得 AB；（2）由三角形面积得13BC AC，然后结合（1）的结论利用余弦定理可求得cosC，得C角【详解】（1）因为三角形周长为 2 1，所以2 1ABBCAC，因为sinsin2sinABC，所以由正弦定理可得2BCACAB，由联立，解得1AB （2）由 ABC 的面积 11sinsin26BC ACCC得13BC AC，由（1）2ACBC，由余弦定理，得2
50、2222221()213cos22223ACBCABACBCAC BCABCAC BCAC BC，0180C ，60C 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，解题关键是利用正弦定理化角为边20（1）3A；（2）6【解析】【分析】（1）根据 coscos2 cosbAaBcA，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到sin2sincosABCA，又 ABC，由sin2sincosCCA求解；（2）根据3A，ABC 的面积为 3，由面积公式得到4bc，再结合余弦定理求得bc即可.【详解】（1）因为 coscos2 cosbAaBcA所以sincossincos2sincosBAABCA
51、，所以sin2sincosABCA，因为 ABC，所以sin2sincosCCA，因为sin0C，所以1cos2A 因为0A，所以3A（2）因为3A，ABC 的面积为 3，所以1sin323ABCSbc，解得4bc，由余弦定理2222cosabcbcA，得22243bcbcbcbc，所以4bc，所以6abc 所以 ABC 的周长为 6【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都
52、不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制21（1）3B；（2）22 3.【解析】【分析】（1）由已知三角函数的等量关系，结合两角和正弦公式得 3 cossinaBbA，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求 B；（2）由三角形面积公式求出 a、c，再根据余弦定理求b，即可求 ABC 的周长【详解】（1）由cos(3sin)sincosBa bCbBC，得 3 coscossinsincosaBbBCbBC，3 cossincoscossinaBbBCbBC，即 3 cossin()aBbBC，3 cossinaBbA由正弦定理，得 3sinco
53、ssinsinABBA，又sin0A，3cossinBB，即 tan3B，0B，3B（2）由2,caABC的面积为 2 33，得1132 3sin22223ABCSacBaa，解得2 33a，即4 323ca由余弦定理2222cosbacacB，可得2222 34 32 34 312433332b，解得2b ABC 的周长为2 34 3222 333abc【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小.（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长.22(1)3(2)(4 3,42 3【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理
54、可求出角 A;（2）设DBC则3DCB，利用正弦定理表示出BCD的周长，利用三角函数求出范围.(1)由正弦定理可得：222abcbc；整理得：222122bcabc，由余弦定理可得：1cos2A，因为0,A，所以3A；(2)由题意可得：23BDC，则BCD的外接圆直径2 32R42sin 3，设DBC则3DCB，则BCD的周长4sin4sin2 34sin2 333l，0,(4 3,42 33l 23(1)3；(2)(2 32,6.【解析】【分析】(1)利用向量共线的坐标表示结合锐角三角形条件计算作答.(2)由(1)结合正弦定理用角 B 表示边 b，c，借助三角函数的性质计算作答.(1)因向量
55、(,3)mab与(cos,sin)nAB平行，则 sin3 cosaBbA，由正弦定理得：sinsin3sincosABBA，而 ABC 是锐角三角形，即sin0B，从而有sin3cosAA,即 tan3A，又02A，所以3A.(2)在锐角 ABC 中，由正弦定理得：2sinsinsinsin 3bcaBCA，即44sin,sin33bB cC，而23CB，且022032BB ，解得 62B，则42433sinsin()(sincos)4sin()322633bcBBBBB，而2363B，即3sin(126B ，则有2 34bc，即2 326abc，所以 ABC 周长的取值范围是(2 32,6
56、.24(1)3(2)(22 3,6【解析】【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换可得解；（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案.(1)由正弦定理可得：3sinsinsincossinBAABA，因为 A 为三角形内角，所以sin0A，所以 3sincos1BB，可得：2sin16B，即1sin62B，因为(0,)B，可得5,666B ，可得66B，所以可得3B(2)由正弦定理得，4 32sinsinsin3abcRABC所以4 34 32(sinsin)sinsin333acACAA4 331sincossin2cos2 3sin4si
57、n3226AAAAAA，因为022032AA ，所以 62A从而2363A，所以3sin126A，所以2 34ac，故周长的取值范围是(22 3,625（1）2；（2）3b.【解析】【详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212bac及正弦定理得2211sinsin22BC，2cos2sinBC，又由4A，即34BC，得 cos2sin22sincosBCCC，解得 tan2C；（2）由 tan2C，(0,)C得2 5s
58、in5C，5cos5C，又sinsin()sin()4BACC，3 10sin10B，由正弦定理得2 23cb，又4A，1sin32 bcA，6 2bc，故3b.考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.26（1）30；（2）2a【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边可得2223bcabc，再利用余弦定理即可求出；（2）由面积公式可得84 3bc ，再利用基本不等式即可求出.【详解】（1）由已知结合正弦定理可得3ababc cb，即2223bcabc，则由余弦定理可得22233cos222bcbcAbcbca，0,180A，30A；（2）11sin2324ABCSbcAbc，则84 3bc ，由
59、2223234abcbcbcbc，当且仅当bc时等号成立，2a.27(1)0,6 和2,3(2)3 3 3,24【解析】【分析】（1）根据已知条件写出 f x 表达式并化简，结合正弦型函数的单调性以及 x 的范围即可求解；（2）由已知条件得到3A，结合正弦定理得到2sin 216bcB，根据 B 的范围得到bc的范围，根据三角形面积公式得到34ABCSbc即可得到 ABC 面积的取值范围.(1)由题意得，()2cossin2sincos2sin 2666f xxxxxx，令222262kxkkZ，得36kxkk Z；又因为0 x，所以当0k 时，06x；当1k 时，23x.所以在0 x 时函数
60、 yf x的单调递增区间是 0,6 和 2,3 (2)由()2sin 216f AA可知1sin 262A，因为02A，所以72666A，所以5266A，则3A.由正弦定理得32sinsinsinsin 3abcABC，即2sinbB，2sincC，则2134sinsin4sinsin4sinsincos322bcBCBBBBB22 3sincos2sin3sin 21 cos22sin 216BBBBBB，又因为在锐角三角形 ABC 中，由0202BC ，即022032BB ，得 62B，所以52666B，所以 1sin 2126B，则12sin 226B故bc 的取值范围为2,3，所以13
61、3 3 3sin,2424ABCSbcAbc.所以 ABC 面积的取值范围为3 3 3,24.28(1)证明见详解 1(2)1324或 1324【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可得证；（2）利用正弦定理求出C，利用余弦定理求出2a，利用三角形的面积公式可得解.(1)证明：在三角形 ABC 中，根据正弦定理 sinsinabAB又sinsinaAbB22ab，即ab，得证(2)解：由上式可知ab，AB 根据正弦定理 sinsinacAC又1c sinsinsin(2)sin2ACAAasin2sincosAAAa，即1cos2AaacosAsinC1sin2C故6C或56C根据余弦定理有22
62、2222cos22cos1ababCaaCc3cos2C 或3cos2C 代入上面式子可得223a 或223a 所以当6C时，2111113sinsin(23)222224ABCSabCaC当56C时，2111113sinsin(23)222224ABCSabCaC29（1）3A；（2）32.【解析】【分析】（1）由正弦定理的边角关系，结合已知三角恒等式可得sin()sin()ABCA，根据三角形的内角性质即可求角 A.（2）由余弦定理及已知条件求bc，再应用三角形面积公式求 ABC 的面积.【详解】（1）由正弦定理，得sin(coscos)(sinsin)cosABCBCA，sincosco
63、ssinsincoscossinABABCACA，即sin()sin()ABCA，ABCA或()ABCA，又0,A B C且 ABC，2ABC，即得3A.（2）由余弦定理知：2222cos4abcbcA，由2cb 知：2222bcbc，综上，得2bc，13sin22ABCSbcA.30(1)34(2)3 10310【解析】【分析】（1）求出点 B 的纵坐标，然后可得答案；（2）设 是以 OA 为始边，OB 为终边的角，是以 OA 为始边，OP 为终边的角，然后1 sinsinsin2AOPBOPAOBSSSS和三角函数的知识可求出答案.(1)因为点 B 在单位圆上，且其横坐标为45，所以其纵坐
64、标为35所以3tan4 (2)设 是以 OA 为始边，OB 为终边的角，是以 OA 为始边，OP 为终边的角，则43cos,sin55，2,22kk1 sinsinsin2AOPBOPAOBSSSS13431 9333 103sincossinsincossin25552 55101010，其中1tan3 所以当sin1 时，maxS3 1031031（）1,2；（）3【解析】【分析】（）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数()f x 在区间 4，2 上的值域；（）先求出C，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得 ABC 面积的最大值【详解】解：（）()4co
65、s sin()33f xxx4cossin coscos sin333xxx134cossincos322xxx22sin cos2 3cos3xxxsin23cos22sin(2)3xxx，由 42x剟，有22633x剟，所以 1sin 2123x函数()f x 的值域为1,2（）由 3f C，有3sin(2)32C，C 为锐角，233C，3C2c，由余弦定理得：224abab，22 2abab，224abab ab 13sin324ABCSabCab，当ab，即 ABC 为正三角形时，ABC 的面积有最大值 3 32（1）,36kk，kZ；（2）2.【解析】【分析】(1)由辅助角公式可得
66、22 sin 2afxxb其中 tanba，由已知条件可得224ab以及tan 6ba，从而可求出,a b，进而可确定函数的解析式，令2 22+262kxk即可求出函数的单调递增区间.(2)由已知条件结合面积公式可求出6C，代入余弦定理即可求出c.【详解】（1）22sin2cos2sin 2f xaxbxabx，其中 tanba.因为函数 f x 在6x 处取得最大值 4，所以224ab，且3tantan 63ba，所以2 3a，2b，所以 4sin 26f xx.令2 22+262kxk，kZ，解得36kxk，kZ，即函数 f x 的单调递增区间为,36kk，kZ.（2）因为2 3a，2b，
67、且 ABC 的面积为 3，所以1sin2 3sin32ABCSabCC，解得1sin2C.因为02C，所以6C.由余弦定理可知，22232cos12422 3242cababC ，得2c.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是由辅助角公式将函数解析式进行合并整理变形，从而求出,a b.33（1）max()2 33f x；（2）3 32.【解析】【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得2()2 3sin 233f xx，进而可得()f x 的最大值；（2）由锐角 ABC，推出22333B，再结合 f（B）0，求得3B，由正弦定理知32ac，再利用余弦定理求出2a，3c
68、，最后由三角形面积公式得解【详解】（1）因为22 3sin,cosaxx，cos,6bx，所以函数 f xa b22 3sin cos6cos3sin 23cos23xxxxx 22 3sin 233x当2sin 213x时，max()2 33f x（2）ABC 为锐角三角形，02B.25233B又()0f B 23sin 232B 24233B3B3sin2sin032ACac2221cos22acbBac即222971432aaa2,3ac 133 32 3222ABCS 34（1）6；（2）32或34.【解析】【分析】（1）由22sin3sin()12ABAB，根据三角形的内角和定义和余
69、弦的倍角公式，化简求得cos3sinCC，即可求得C 的大小；（2）由正弦定理求得3sin2A，得到2B或6B，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）因为22sin3sin()12ABAB，在 ABC 中，ABC，即 ABC，所以sin()sinABC，所以22sin3sin12CC ，可得22cos3sin12CC，所以1 cos3sin1CC，即cos3sinCC，所以3tan3C，因为(0,)C，所以6C.（2）由正弦定理可得 sinsinacAC，因为3,1ac，所以3sin2A，因为ac且(0,)A，所以3A或23A，所以2B或6B，当2B时，13=sin22ABCSacB；当6B时
70、，13=sin24ABCSacB.【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.35（1）3A；（2）2 33ABCS.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换可求得1sin62A，结合0,A可求得角 A 的值；（2）利用正弦定理可得出2cb，利用余弦定理可求得2b 的值，再利用三角形的面积可求得结果.【详解】（1）因为 cos3 sinaCaCbc，由正弦定理可得sincos3sinsinsi
71、nsinACACBC，即sincos3sinsinsinsinsincossincossinACACA CCACCAC，可得 3sinsinsincossinACCAC，0,A，则sin0A，所以，3sincos1AA，即2sin16A，即1sin62A，0,A，则5666A，故66A，因此，3A；（2）因为 coscos2bAaBb，由正弦定理可得sincossincos2sinBAABB，即sin2sinCB，所以，2cb，因为2a，由余弦定理可得222222242cos423abcbcAbbbb，则243b，因此，1432 3sin2323ABCSbcA.【点睛】方法点睛：在解三角形的问
72、题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.36(1)12(2)30,2【解析】【分析】(1)根据正弦定理由2 3 cosbcC即可求出 C；(2)方法一：由余弦定理结合基本不等式
73、即可求解；方法二：正弦定理边化角，利用三角函数最值求解即可.(1)由2 3 cosbcC，得sin2 3sincos3sin2BCCC，23B，313sin 2sin 222CC，又0,3C，220,3C，26C，解得12C(2)(方法一)2,63Bb，2222cos6acacBb，化简得226acac又22 2acac，36ac，即2ac，当且仅当2ac时，等号成立ABC 的面积133sin242SacBac，当且仅当2ac时，等号成立，故30,2S，即 ABC 的面积 S 的取值范围为30,2(方法二)2,63Bb，由正弦定理得：2 62 2sinsinsin3acbACB，2 2sin,
74、2 2sinaA cC，ABC 的面积1sin2SacB122 2 sin2 2 sinsin23AC2 3sinsin3AA3sin(3cossin)AAA2333sincos3sinsin 21 cos222AAAAA33sin 262A又0,3A，52,666A，30,2S，即 ABC 的面积 S 的取值范围为30,237（1）6；（2）7 3【解析】【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得 A；（2）由余弦定理用c 表示a，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c，从而可计算出面积【详解】（1）由22sincos2caBCab得222sin2cosabBabCc
75、a，由余弦定理得222222sinabBcabca，所以2 sinaBb，由正弦定理得2sinsinsinABB，B 是三角形内角，sin0B，所以1sin2A，又 A 为锐角，所以6A（2）由（1）22222332cos2cos1646abcbcAccc c 2716 c，74ac，所以11sin2 322ABCSbcAa，即2131172 324224cc，4 7c，3214bc，111sin21 4 77 3222ABCSbcA【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从
76、而求解这是一种解题技巧38（1）0m；（2）42 3,.【解析】【分析】（1）利用图象变换求出函数 g x 的解析式，由,4 3x 求出26x，利用正弦函数的基本性质求出 maxg x，结合已知条件可求得实数m 的值；（2）利用 ABC 为锐角三角形求出角 A 的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出2tantan2sin 233ABA，求出23A的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得 tantanAB的取值范围.【详解】（1）将函数 sin6f xxm的图象横坐标变为原来的 12，纵坐标不变，再向左平移 6个单位后得到 g x 的图象，则 sin 2sin 2666g xxmxm，
77、,4 3x，252,636x，当2263x，即4x时，g x 最大值 max33+22g xm，所以，0m；（2）3sin262CgC，0,2C，则2663C，所以，63C，所以，6C，sinsinsinsincossincostantan5coscoscoscoscoscos6ABABABBAABABABAA2sin2231sin 23cos232sin 23cossincos322CAAAAAA，ABC 是锐角三角形，由025062ABA ，解得 32A，所以，22333A，3sin 2123A，则2tantan42 323AB.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的
78、类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.39（1）6；（2）4 27 39.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式将 f x 的表达式化简得到 2sin 23f xx利用图象平移变换法则得到 2sin 223g xx 利用奇函数的条件求得 的值；（2）根据正弦函数的最大值性质求得512k，Zk，得到2sin 2123f ，根据1cos3，利用同角三角函数关系，倍角公式，两角和差公式计算即得.【详解】解：（1）由题得 2314sinsincos32sin cos2 3sin3sin222f
79、xxxxxxxx3cos22sin 23xx，将 f x 的图象向左平移 个单位长度得到函数 g x 的图象，则 2sin 223g xx，若函数 g x 是奇函数，则sin 203.因为02，所以22333，从而203，解得6；（2）由题知sin 2213，则222 32k，Zk，从而512k，Zk，因此2sin 22 2sin 212233ffkk，因为1cos3，且02，所以2 2sin3，因此2 214 2sin22339，17cos22199 ，所以14 2374 27 3sin 23292918，所以4 27 3129f.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图象与性质，属
80、中档题，关键是熟练掌握三角函数的恒等变形公式，掌握图象的平移变换法则，掌握三角函数的奇偶性和最值.40（1）6；（2）42 3.【解析】【分析】（1）根据题意，得到(0)2sin1f，即可求解；（2）由（1）知()2sin 36f xx，根据三角函数的图象变换，求得3()2cos26xg x，进而化简函数()2 3sin 343h xx，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()2sin(3)f xx，可得(0)2sin1f，即1sin2，因为|2，所以6.（2）由（1）可知，函数()2sin 36f xx，将 f x 图象向左平移 6 个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变
81、为原来的 2 倍，纵坐标不变，可得13()2sin 32cos26626xg xx，所以2 3()2sin 32 4cos626xh xx 3sin33cos342 3sin 343xxx ，当sin 313x 时，函数 h x 取得最大值，最大值为42 3.41（）cosf xx；（）3,32【解析】【分析】（）根据三角函数的平移变换以及伸缩变换求出函数 f x 的解析式；（）由倍角公式得出 2132cos122g xx，结合cos1,1x 求出函数 g x 的值域【详解】（）由题意，将2sin 23yx 的图像向右平移 12 个单位，得到cos2yx的图像将cos2yx图像上各点的横坐标伸
82、长到原来的 2 倍，得到cosyx的图像所以 f x 的解析式是 cosf xx（）221322cos22cos2cos2cos12cos122 g xfxf xxxxxx因为cos1,1x，所以 g x 的值域是3,32 42（1）1 ；（2）38x【解析】【分析】（1）根据单调性及对称性可求参数;（2）运用正弦的两角差，以及余弦的二倍角公式，再通过解方程即可.【详解】（1）由题知sin0yx是 0,3 上的增函数，032x，所以302又图象关于直线2x对称，22kwppp=+，k Z，21k ，k Z 所以1 （2）由（1）知1 ，2sinsincos2sinsincos44xxxxxx2
83、 sincossincos2cos21xxxxx ，2cos22x ，又0,2x，所以38x43(1)|=,Z24kk ；(2)1515,33.【解析】【分析】(1)用二倍角的正弦公式变形函数式，再利用偶函数的定义结合和差角的正弦化简即可求解作答.(2)由(1)及已知，利用三角恒等变换公式化简变形，求出sin 2 的范围，再把sincos 用sin 2 表示出求解作答.(1)因函数21()cossin(22)2f xxx是偶函数，即Rx，()()f xfx成立，则2211cossin(22)cossin(22)22xxxx，化简整理得：sin2 cos20 x，而sin 2x 不恒为 0，于是
84、得cos20，解得2,Z2kk，即=,Z24kk，所以 的取值集合|=,Z24kk(2)由(1)及已知得：22111cossin(22)cossin(22)1sin2222xxxx，即212coscos2 sin21sin22xx，化简整理得：2(sin21)cos2sin2x，显然sin 21 ，则sin2cos22(sin21)x，依题意，原方程有实数解等价于sin 2112(sin 21)，解得21sin 23，25)1 sin20,3(sincos ，解得1515sincos33，所以sincos的取值范围是1515,33.44（1）sin 23f xx；（2）1,12.【解析】【分析
85、】（1）由最大值求得 A，由周期求得，代入一个点的坐标求得，得解析式；（2）求出x的范围，然后由正弦函数的性质得出值域【详解】解：(1)根据函数 sin(0,)2f xx的部分图象，可得 3 2134123，求得2，最小正周期22T，再根据五点法作图可得 2 3，;3函数()f x 的解析式为()sin(2)3f xx(2)?,4 4x ，52,366x 1sin 2,132x ，函数 f x 在区间,4 4 上的值域1,1245（1）1；（2）最大值为 1，2x 或6x，最小值为 2，6x 【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化函数为()2sin(2)3f xx，再由给定条件即可得解；(2
86、)由(1)的结论结合所给变换求出函数()g x 的解析式，再由指定区间求出相位的范围并进行分析即可作答.【详解】（1）2()2sincos2 3sin3f xxxx3cos22sin(2)s3in2 xxx，依题意，2 222 ，解得1 ，所以实数 的值为 1；（2）由（1）知()2sin(2)3f xx，于是得()2sin2()2sin(2)1236g xxx，当,2 6x 时，72666x，从而得11sin(2)62x，22sin(2)16x ，()max=1，此时sin(2 6)=12,=2或6x，()min=2，此时sin(2 6)=1，即2 6=2，6x ，所以=()的最大值为 1，
87、此时2x 或6x，=()的最小值为-2，此时6x .46（1）=1，2；（2）单调递减区间为6，23.【解析】【分析】（1）由最高点坐标求得a，由周期求得；（2）利用正弦函数的单调性求减区间【详解】解：（1）函数()2sin()1(0)6f xxa 图象上最高点的纵坐标为 2，1+=0，=1.且图象上相邻两个最高点的距离为2=，=2，()=2sin(2+6).（2）对于()=2sin(2+6)，令2+2 2+6 2+32，求得+6 +23，故函数的单调减区间为+6，+23，kZ，再结合 0，可得函数()f x 在0，上的单调递减区间为6，23.47（1）()=2sin(2+3)；（2）3,23
88、【解析】（1）由图象先求周期可得2，再利用过(3,0)可以求出=3，利用与 y 轴的交点坐标可以求=2，从而可得函数 f x 的解析式；（2）先根据图象的平移变换求出 g x 解析式，可得 h xf xg x解析式，利用辅助角公式化简，再利结合正弦函数图象即可求值域.【详解】由图知：=2(56 3)=，所以=2=2，又因为2 3+=+2()，且2，令0k，得：=3，由(0)=sin3=3，得=2，所以()=2sin(2+3)，（2）()=(6)=2sin2(6)+3=2sin2，所以()=()+()=2sin(2+3)+2sin2=2sin2cos3+2cos2sin3+2sin2=3sin2
89、+3cos2=23sin(2+6)，因为0,2x，所以2+6 6,76 ，所以sin(2+6)12,1，所以23sin(2+6)3,23，【点睛】本题主要考查了由部分图象求函数解析式，以及求三角函数指定区间的值域，属于中档题.48(1)单调递增区间为4 43，4+23，Z(2)3130130【解析】【分析】（1）先由图象求出函数的解析式，再用整体代入法求函数的单调增区间；（2）求出三角形的三边长，利用余弦定理即可求出cosOAB的值.(1)解：由图知34 =113 23=3 =4，所以=2，又(23，2)是图像上的最高点，所以 A=2，且2sin(2 23+)=2，又|2，所以=6，因此，()
90、=2sin(2 +6)，其单调区间满足2 2 2+6 2+2，Z，得4 43 4+23，Z所以()f x 的单调递增区间为4 43，4+23，Z(2)解：(23,2)，11(,0)3B|=(23 113)2+(2 0)2=13，|=(0 113)2+(0 0)2=113，|=(23 0)2+(2 0)2=2103cos=|2+|2|22|=(2103)2+(13)2(113)222103 13=3130130 cos的值为3130130.49(1)=1，=2(2)57243100【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义可得cos=0，从而可得=2，再由12f ，代入可求a.（2）由（1）可得co
91、s=35，再由二倍角公式可得cos2=725，再由同角三角函数的基本关系可得sin=45,sin2=2425，再利用两角和的余弦公式即可求解.(1)解：由已知得()=(+2sin2)sin(2+)=(+2sin2)sin(2+)对 xR 恒成立，+2sin2不恒为 0，sin(2+)=sin(2+)，sin2cos=0恒成立，cos=0，又 (0,)，所以=2，()=(+2sin2)cos2，而(2)=(+2)(1)=1，所以=1.(2)由（1）知()=(1+2sin2)cos2=cos22=1+cos42，由(4)=1+cos2=45，得cos=35，所以，cos2=2cos2 1=725，
92、sin=45,sin2=2425，而(2+6)=1+cos(2+23)2=12 12 cos2cos23+12 sin2sin23，=12 12 (725)(12)+12 2425 32=57 24310050(1)对称中心为(6+2,0)，单调递增区间为512+,12+()(2)0m2【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及化一公式可得到函数解析式，再由正弦型函数的性质可得到函数的对称中心和单调区间；（2）通过平移伸缩得到函数解析式为()=2sin(3)，函数值域为0 （）2，|()|2 等价于 m2g（x）m+2，所以 2 2，解不等式即可得到答案.(1)()=2sin2 cos 2+3(
93、1 2sin2 2)=sin+3cos=2sin(+3)因为最小正周期为，故=2=2=2，()=2sin(2+3)，令2+3=，解得：=6+k2,(Z)，所以对称中心为(6+2,0)，令2+2 2+3 2+2，解得：512+12+()，所以单调递增区间为：512+,12+().(2)将 f（x）的图象向右平移3个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到()=2sin(3)，当536x时，0 3 2，所以0 （）2，若|()|2恒成立，则 m2g（x）m+2，所以 2 2，解得：0m2.51（1）()=2sin(2+6)；（2）0,3、56,.【解析】【分析】（1
94、）由图象可得出函数 f x 的最小正周期的值，可求出，再将点(512,0)代入函数解析式，结合 的取值范围可求得 的值，由(0)=1可求得 A 的值，综合可得出函数 f x 的解析式；（2）利用函数图象变换求得()=2sin(2 6)，求出函数 g x 在上的单调递增区间，再与定义域取交集可得结果.【详解】（1）由图可得函数 f x 的最小正周期为=2 (1112 512)=，所以，=2=2，(512)=2sin(56+)=0，则sin(+56)=0，2 2，则3 +56 43，+56=，则6，所以，()=sin(2+6)，因为(0)=sin6=12 =1，所以，=2，所以，()=2sin(2
95、+6)；（2）由题意可得()=2sin 2(6)+6=2sin(2 6)，令2+2 2 6 2+2，kZ，得6+3+，kZ，记=6+,3+()，则 0,=0,3 56,.因此，函数 g x 在0,上的增区间是0,3、56,.【点睛】方法点睛：根据三角函数()=sin(+)+或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求 A、:=()max()min2，=()max+()min2；（2）求出函数的最小正周期，进而得出=2；（3）取特殊点代入函数可求得 的值.52（）；（）(0，3)【解析】【分析】（）先化简()=1+sin(2 6)，再利用公式=2|可求最小正周期；（）解不等式2 2 2 6 2+2，
96、k Z，可求 f x 在 0,2 上的单调递增区间【详解】解：（）因为cos2=1 2sin2所以 22sincos 23f xxx=1 cos2+12 cos2+32 sin2=1+sin(2 6)故 f x 的最小正周期为（）由2 2 2 6 2+2，k Z，得 6 +3，k Z 故 f x 在 0,2 上的单调递增区间为(0，3)53（）23+2,3+2，k Z；（）43+310.【解析】【分析】（1）先用辅助角公式变形函数为()=2sin(+6)，再把+6带入函数单调递增区间，分离出 x 即可得解；（2）由()=85，即sin(+6)=45，根据 的范围求出cos(+6)=35，带入s
97、in=sin(+6)6)即可得解.【详解】（）()=3sin+cos=2sin(+6)令2+2 +6 2+2，k Z得23+2 3+2，k Z，()的单调增区间为23+2,3+2，k Z；（）()=85，即sin(+6)=45，6,56，+6 3,，又sin(+6)=45 0，所以sin=35，cos=45，则0 4，则0 2 2，+2 0)或=cos(+)+(0)的形式；（2）将x看成一个整体；（3）借助正弦函数=sin或余弦函数cosyx的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.59（1）T，调递减区间是512+,12+()；（2）值域是12,1+32.【
98、解析】【分析】（1）根据倍角公式、两角和与差的余弦公式和辅助角公式，把()f x 化为()=12 sin(2+3)，即求最小正周期及单调递减区间；（2）由0,2x 求出2+3的范围，再求sin(2+3)的范围，即求函数()f x 的值域【详解】（1）()=sin2(+12)32 cos(2 3)=1cos(2+6)2 32 cos(2 3)=12 12(32 cos2 12 sin2)32(12 cos2+32 sin2)=12 (32 cos2+12 sin2)=12 sin(2+3).最小正周期22T.由2+2 2+3 2+2,解得512+12+,，()f x 的单调递减区间是512+,1
99、2+().（2）0,2x，2+3 3,43，sin(2+3)32,1，()f x 的值域是12,1+32.60（1）点(2 12,0)(Z)；（2）1,2)【解析】【分析】（1）先求出 f x 的解析式，再求对称中心；（2）研究 g xf xm的单调性，根据有两个零点列不等式组，求出m 的取值范围【详解】解：（1）()=4sincos(+6)+1=4sin(32 cos 12 sin)+1=3sin2+cos2=2sin(2+6)令2+6=(Z)，得=2 12(Z)，所以 f x 图象的对称中心为点(2 12,0)(Z)（2）()=2sin(2+6)，所以 g xf xm在 6,6上单调递增，
100、在6,23 上单调递减因为 g xf xm在 2,63x 上有两个零点，所以 (6)0,(6)0,(23)0,，得1 2，所以m 的取值范围是1,2)【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于=sin或cosyx的性质解题.61（1）2,32；（2）1 32,1+32.【解析】【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定 的值；(2)首先整理函数的解析式为=sin(+)+的形式，然后确定其值域即可.【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：(+)=sin(+)，函数为偶函数，则当=0时，0+=+2()，即=+2()，结合 0,2)可取=0,1，相应的 值为2,3
101、2.(2)由函数的解析式可得：=sin2(+12)+sin2(+4)=1 cos(2+6)2+1 cos(2+2)2=1 12 cos(2+6)+cos(2+2)=1 12(32 cos2 12 sin2 sin2)=1 12(32 cos2 32 sin2)=1+32 sin(2 6).据此可得函数的值域为：1 32,1+32.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.62（1）2；（2）cos=43+310【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数为()=1+2sin(2+6)求解；
102、（2）由1125f，0,3 得到sin(+6)=35，cos(+6)=45，再由cos=cos(+6 6)，利用两角差的余弦公式求解.【详解】（1）因为()=2cos2+23sincos，=1+cos2+3sin2，=1+2sin(2+6)，所以(3)=1+2sin(23+6)=1+2sin56=1+1=2（2）由1125f，0,3 得sin(+6)=35，cos(+6)=45，所以cos=cos(+6 6)，=cos(+6)cos6+sin(+6)sin6=43+310.63(1)-1;(2)最小正周期是,单调递增区间为6+,3+().【解析】【分析】(1)由辅助角公式和二倍角公式可得()=
103、2sin(2 6)，进而可求出23f.(2)由解析式可求出最小正周期，令2+2 2 6 2+2,即可求出增区间.【详解】解：(1)()=cos2+3sin2=2(12 cos2+32 sin2)=2sin(2 6)，则(23)=2sin(2 23 6)=1(2)最小正周期22T，令2+2 2 6 2+2,，解得6+3+,，即增区间为6+,3+().64（1）对称中心是(12+12,12)()；（2）725.【解析】【分析】（1）化简可得()=sin(2 6)+12，令2 6=可求对称中心；（2）由已知sin(4)=45，再二倍角公式可求.【详解】解：（1）由二倍角公式得()=32 sin2 1
104、2 cos2+12，故()=sin(2 6)+12，令2 6=，k Z，解得=12 +12，k Z，所以函数 yf x的对称中心是(12+12,12)().（2）由1322410f，可得sin(4)+12=1310，可得sin(4)=45，故sin2=cos(2 2)=1 2sin2(4)=725.65(1)(2)2【解析】【分析】（1）首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，利用函数的定义域求出函数的值域，即可得解(1)解：函数()=sin 3cos=2sin(3)，所以=(+4)2=4sin2(12)=4 1cos
105、2(12)2=2 2cos(2 6)故函数的最小正周期22T；(2)解：由于()=sin 3cos，所以(+2)=sin(+2)3cos(+2)=cos+3sin，所以=()(+2)=(sin 3cos)(cos+3sin)=sincos 3cos2+3sin2 3sincos=(3cos2+sin2)=2sin(2+3)即=2sin(2+3)；由于0,2x，所以2+3 3,43，所以sin(2+3)32,1，故 2,3，当2+3=2，即=12时，函数()2yf x fx 取得最小值为 2 66（1）=512+2()；（2）32,234【解析】【分析】(1)把函数()f x 式化为含一个角的一
106、个函数的一次形式即可得解；(2)由给定区间求出(1)中函数的相位的范围即可得解.【详解】（1）()=cos (sin 12 sin 32 cos)=12 sincos 32 cos2=14 sin2 34 cos2 34=12 sin(2 3)34，由2 3=2+()，得()yf x图象对称轴：=512+2()；（2）由0,2x，得2 3 3,23，()f x 对2 3 3,2递增，对2 3 2,23 递减，所以 32 sin(2 3)1，32 12 sin(2 3)34 234，故函数由()yf x的值域为 32,234 67（1）0,32；（2）26+16【解析】【分析】（1）化简函数解析
107、式，利用正弦型函数的图象与性质求值域；（2）根据图象变换求出()g x，利用同角三角函数的基本关系，角的变换、和差的余弦公式求解.【详解】（1）()=1 cos2 (32 sin2 12 cos2)=1 sin(2+6)0,2 2+6 6,76 sin(2+6)12,1()的值域为0,32（2）()=(6)=1 sin(2 6)(0)=1 sin(20 6)=23 sin(20 6)=13又0 2,0 20 6 76,6，cos(20 6)=23 2 cos20=cos(20 6)+6=cos(20 6)cos6 sin(20 6)sin 6=26+16=223 32 13 12=26+166
108、8（1）(6,0)()；（2）123310,3.【解析】【分析】（1）化简函数()=3sin(+6)，令+6=,，即可求得函数 f x 的对称中心；（2）由三角函数的图象变换，得到()=3sin(+6)，根据题设条件，求得+6 +6,23+，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数 2233sincossincos22222xxxxf x=32 sin+32 cos=3sin(+6)，令+6=,，解得=6,，所以函数 f x 的对称中心为(6,0)().（2）由题意，将函数 f x 的图象向左平移 个单位得到()=3sin(+6)，因为0,2，且3tan4，可得sin=35，c
109、os=45，且 (6,4)，又因为0,2x，所以+6 +6,23+，当+6=2时，函数 g x 取得最大值，最大值为max()=3，当+6=23+时，g x 取得最小值，最小值为min()=3sin(23+)=123310，所以()123310,3.69（1）6,+3()；（2）4+3310.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()=2sin(2 6)，解不等式2 2 2 6 2+2()可得函数 f x 的单调递增区间；（2）由已知条件求出sin(2 6)=35，由0,3 结合同角三角函数的平方关系可求得cos(2 6)的值，再利用两角和的正弦公式可求得sin 2 的值.【详
110、解】（1）因为()=23sincos cos2=3sin2 cos2=2sin(2 6)，由2 2 2 6 2+2()，解得 6 +3()，因此，函数 f x 的单调递增区间为 6,+3()；（2）()=2sin(2 6)=65，可得sin(2 6)=35，因为0,3，则6 2 6 2，所以，cos(2 6)=1 sin2(2 6)=45，因此，sin2=sin(2 6)+6=32 sin(2 6)+12 cos(2 6)=4+3310.70（1）；（2）1+22.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得=1 sin2，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得=sin(2 4)+22，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()=sin+cos=2sin(+4)，则=(+2)2=2sin(+34)2=2sin2(+34)=1 cos(2+32)=1 sin2，所以该函数的最小正周期22T;（2）由题意，=()(4)=2sin(+4)2sin=2sin(+4)sin=2sin (22 sin+22 cos)=2sin2+2sincos=2 1cos22+22 sin2=22 sin2 22 cos2+22=sin(2 4)+22，由 0,2可得2 4 4,34，所以当2 4=2即38x时，函数取最大值1+22.
