1、2015年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将答案填涂在答题卡上!）1复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）AiB1C1D02设集合A=x|x2，若m=lnee（e为自然对数底），则（）AABmACmADAx|xm3某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A7B6C5D44在等差数列an中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A9B10C11D125“a3”是“函数f（x）=ax+3在（1，2）上存在零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分
2、也不必要条件6已知向量=（3，2），=（x，y1）且，若x，y均为正数，则+的最小值是（）ABC8D247在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A和B和C和D和8已知F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）AeB1eCeD1e二填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在答题纸上!）9公共汽车在8：00到8：20内随机地
3、到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为10已知变量x，y满足约束条件，则z=2x4y的最大值为11如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于m12如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点已知ABAC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为13已知，点C在AOB内，AOC=45，设，则=14已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分解答应写
4、出文字说明、证明过程或演算步骤）15随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图其中甲班有一个数据被污损（）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率16已知函数（其中0）的周期为（）求的值；（）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象求函数g（x）在上的单调区间17如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=P
5、D=，E，F分别是棱AD，PC的中点（）证明EF平面PAB；（）若二面角PADB为60，（i）证明平面PBC平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值18已知各项均为正数的数列an满足an+2+2=4an+1an（nN*），且a1=1，a2=4（）证明：数列是等差数列；（）设bn=的前项n和为Sn，求证：Sn119如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3（）求椭圆的方程；（）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围20已知函数f（x）=lnx+，g（x）=x2m
6、，其中mR，e=2.71828为自然对数的底数（）当m=1时，求函数f（x）的极小值；（）对x，1，是否存在m（，1），使得f（x）g（x）+1成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（）设F（x）=f（x）g（x），当m（，1）时，若函数F（x）存在a，b，c三个零点，且abc，求证：0ab1c2015年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将答案填涂在答题卡上!）1复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）AiB1C1D0【考点】复数代数形式的混合运算【专题】计
7、算题【分析】两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方【解答】解：由于，所以虚部为1，故选 B【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题2设集合A=x|x2，若m=lnee（e为自然对数底），则（）AABmACmADAx|xm【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A【解答】解：m=elne=e，mA，故选：C【点评】本题考查了集合和运算的关系的判断，是一道基础题3某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A7B6C5D4【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值
8、，当S=2059时，不满足条件S100，退出循环，输出k的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S100，S=1，k=1满足条件S100，S=1+2=3，k=2满足条件S100，S=3+8=11，k=3满足条件S100，S=11+2048=2059，k=4不满足条件S100，退出循环，输出k的值为4故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查4在等差数列an中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A9B10C11D12【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】设出此等差数列的公
9、差为d，利用等差数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于a1与d的方程组，求出方程组的解得到a1与d的值，然后再利用等差数列的通项公式化简所求的式子，将a1与d的值代入即可求出值【解答】解：设等差数列an的公差为d，a2+a3=（a1+d）+（a1+2d）=2a1+3d=4，a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=6，得：4d=2，解得：d=，把d=代入，解得：a1=，则a9+a10=（a1+8d）+（a1+9d）=2a1+17d=2+17=11故选C【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键5“a3”是“函数f（x）=ax+3
10、在（1，2）上存在零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据a3判断出：f（1）=a+30、f（2）=2a+30，得到充分性成立；再由函数的零点存在性定理列出不等式求出a的范围，可得到必要性不成立【解答】解：充分性：当a3时，f（1）=a+30、f（2）=2a+30，所以函数f（x）=ax+3在（1，2）上存在零点”，成立；因为函数f（x）=ax+3在（1，2）上存在零点，所以f（1）f（2）0，则（a+3）（2a+3）0，即（a3）（2a+3）0，解得a3或a，不成立，综上可得，“a3”是
11、“函数f（x）=ax+3在（1，2）上存在零点”是充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充要条件的判断，以及函数的零点存在性定理的应用，属于中档题6已知向量=（3，2），=（x，y1）且，若x，y均为正数，则+的最小值是（）ABC8D24【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：，2x3（y1）=0，化为2x+3y=3，+=8，当且仅当2x=3y=时取等号+的最小值是8故选：C【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式，属于中档题7在如图
12、所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A和B和C和D和【考点】简单空间图形的三视图【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为，故选：D【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题8已知F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于
13、直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）AeB1eCeD1e【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用对称性，可得MF1=F1F2=2c，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，得到x的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b2a20，再由a，b，c的关系，及离心率公式，即可得到范围【解答】解：设点F2（c，0），由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，由对称性可得，MF1=F1F2=2c，则MO=c，MF1F2=60，PF1F2=30，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，可得，（3b
14、2a2）x22ca2xa2c23a2b2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b2a20，即有3b2=3c23a2a2，即ca，则有e=故选A【点评】本题考查双曲线的性质和方程，考查对称性的运用，考查直线方程和双曲线方程，联立消去y，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题和易错题二填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在答题纸上!）9公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为【考点】几何概型【专题】概率与统计【分析】由已知中公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，我们可以分别求出所有基本事件对应的时
15、间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长度，代入几何概型公式可得答案【解答】解：公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L=20某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A则LA=5故P（A）=；故答案为【点评】本题考查的知识点是几何概型，几何概型分长度类，面积类，角度类，体积类，解答的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量10已知变量x，y满足约束条件，则z=2x4y的最大值为32【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由z=2x4y得z=2x+2y，设m=x+2y，作出不等式组对应的平面
16、区域，利用m的几何意义，即可得到结论【解答】解：z=2x4y得z=2x+2y，设m=x+2y，得y=x+m，平移直线y=x+m由图象可知当直线y=x+m经过点A时，直线y=x+m的截距最大，由，解得，即A（3，1），此时m最大为m=3+2=5，此时z最大为z=2x+2y=25=32，故答案为：32【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行以及指数函数的运算法则，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法11如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于120（1）m【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；解三角形【分析】由
17、题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，由图可知，DAB=15，tan15=tan（4530）=2在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2）=12060在RtADC中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60BC=DCDB=60（12060）=120（1）（m）河流的宽度BC等于120（1）m故答案为：120（1）【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题12如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与
18、圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点已知ABAC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为【考点】直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段【专题】计算题【分析】利用切割线定理求出PB，推出BC，求出圆的半径，得到圆的面积【解答】解：由题意可知PB经过圆的圆心，所以BC 是圆的直径，由切割线定理的可得PCPB=PA2，所以PB=4，BC=3，所以圆的半径为：，所以圆O的面积为：故答案为：【点评】本题考查切割线定理与圆的面积的求法与应用，考查计算能力13已知，点C在AOB内，AOC=45，设，则=【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】计算题【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，建
19、立平面直角坐标系，便于计算【解答】如图所示，建立直角坐标系则=（1，0），=（0，），=m +n =（m， n），tan45=1=故选B【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量14已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（0，2）【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，分别作出函数f（x）和y=a|x|的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x
20、|的图象，当a=0时，两个函数的交点有3个，不满足条件，当a0时，两个函数的交点最多有2个，不满足条件，当a时，当x0时，两个函数一定有2个交点，要使两个函数有4个交点，则只需要当x0时，两个函数有2个交点即可，当a2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，要使y=a|x|与f（x）有4个交点，则0a2，故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量
21、出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图其中甲班有一个数据被污损（）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【专题】概率与统计【分析】（）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率【解答】
22、解：（）设污损处的数据，甲班同学身高平均数为170cm，=（158+162+163+168+168+170+171+179+a+182）=170 解得a=179 所以污损处是9（）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：181，173，181，176，181，178，181，179，179，173，179，176，179，178，178，173，178，176，176，173共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，P（A）=【点评】本题考查的知识点是茎叶图，列举出计算基本事件及事件发生的概率，难度不大，属于基础题16已知函数
23、（其中0）的周期为（）求的值；（）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象求函数g（x）在上的单调区间【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为 2sin（2x+）+，再根据它的周期为=，求得 的值（）根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（4x）令2k4x2k+，kz，求得x的范围，再根据x，可得函数的增区间【解答】解：（）函数=sin2x+2=2sin2x+cos2x=2sin（2
24、x+），（其中0）的周期为=，=1（）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2sin2（x）+=2sin（2x）的图象再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）=2sin（4x）的图象令2k4x2k+，kz，求得x+再根据x，可得函数的增区间为【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性和周期性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题17如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点（）证明EF平面PAB；（）若二面角PADB为60，（i）证明平面PBC
25、平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（）要证明EF平面PAB，可以先证明平面EFH平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（）（i）要证明平面PBC平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系BDAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值【解答】解：（）证明：连结AC，ACBD=H，底
26、面ABCD是平行四边形，H为BD中点，E是棱AD的中点在ABD中，EHAB，又AB平面PAB，EH平面PAD，EH平面PAB同理可证，FH平面PAB又EHFH=H，平面EFH平面PAB，EF平面EFH，EF平面PAB；（）（i）如图，连结PE，BEBA=BD=，AD=2，PA=PD=，BE=1，PE=2又E为AD的中点，BEAD，PEAD，PEB即为二面角PADB的平面角，即PEB=60，PB=PBD中，BD2+PB2=PD2，PBBD，同理PBBA，PB平面ABD，PB平面PBC，平面PAB平面ABCD；（ii）由（i）知，PBBD，PBBA，BA=BD=，AD=2，BDBA，BD，BA，B
27、P两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系BDAP，则有A（0，0），B（0，0，0），C（，0），D（，0，0），P（0，0，），=（，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），E，F分别是棱AD，PC的中点，E（，0），F（，），=（0，），=，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理18已知各项均为正数的数列an满足an+2+2=4an+1an（nN*），且a1=1，a2=4（）证明：数列是等
28、差数列；（）设bn=的前项n和为Sn，求证：Sn1【考点】数列递推式；等差关系的确定【专题】等差数列与等比数列【分析】（）通过已知条件，利用配方法推出等差数列的等差中项形式，判断数列是等差数列（）求出数列an的通项公式，然后利用裂项法求解Sn，即可推出所证明的不等式【解答】解：（）且an0，是首项为，公差为的等差数列 （）由（）得，=【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的求和以及数列是等差数列的判定，考查计算能力以及转化思想的应用19如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3（）求
29、椭圆的方程；（）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3求出a、b，即可求椭圆的方程；（）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值【解答】解：（）由题意知，则，所以c=1所以椭圆的方程为（）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的
30、斜率不存在，由题意知； 当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x1），则直线CD的方程为将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，所以 同理， 所以=，当且仅当k=1时取等号 综合与可知，【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目20已知函数f（x）=lnx+，g（x）=x2m，其中mR，e=2.71828为自然对数的底数（）当m=1时，求函数f（x）的极小值；（）对x，1，是否存在m（，1），使得f（x）g（x）+1成立？若
31、存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（）设F（x）=f（x）g（x），当m（，1）时，若函数F（x）存在a，b，c三个零点，且abc，求证：0ab1c【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；证明题；导数的综合应用【分析】（）m=1时，f（x）=lnx+，x0；从而求导可得f（x）=；从而由导数求极小值；（ II）令h（x）=f（x）g（x）1=lnx+x+2m1，x，1，m（，1），则h（x）0对x，1恒成立，求导h（x）=1=，x，1，从而可判断h（x）在，1上单减从而化为最值问题（ III）化简F（x）=f（x）g（x
32、）=（lnx+）（x2m），易知x=2m为函数F（x）的一个零点，从而函数F（x）的最大的零点c1，再讨论f（x）lnx+的零点情况即可【解答】解：（）m=1时，f（x）=lnx+，x0；f（x）=；由f（x）0，解得x；由f（x）0，解得0x；f（x）在（0，）上单调递减，（，+）上单调递增f极小值（x）=f（）=ln+1=1ln2（ II）令h（x）=f（x）g（x）1=lnx+x+2m1，x，1，m（，1），由题意，h（x）0对x，1恒成立，h（x）=1=，x，1，m（，1），在二次函数y=2x2+2xm中，=48m0，y=2x2+2xm0恒成立；h（x）0对x，1恒成立，h（x）在，1
33、上单减hmin（x）=h（1）=m20，即m故存在m（，1），使f（x）g（x）+1对x，1恒成立（ III）证明：F（x）=f（x）g（x）=（lnx+）（x2m），易知x=2m为函数F（x）的一个零点，m，2m1，因此据题意知，函数F（x）的最大的零点c1，下面讨论f（x）lnx+的零点情况，f（x）=；易知函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增由题知f（x）必有两个零点，f极小值（x）=f（）=ln+10，解得0m，m，即me（，2）f（1）=ln1+=0，f（）=1+0又f（e10）=e101000e10ab1c0ab1c【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时利用了构造函数的方法，属于难题
