1、吉林省长春市北京师范大学长春附属学校2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题考试时间：90分钟 满分：120分 2021年4月2日一、单选题1如果，的方差为2，则的方差为（ ）A2B4C8D162下列关于命题的说法中正确的是（ ） 对于命题P：，使得，则，均有 “”是“”的充分不必要条件 命题“若，则”的逆否命题是“若，则” 若为假命题，则均为假命题A B C D 3为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K20.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A有99%的人认为该栏目优秀B有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C在
2、犯错误的概率不超过0.01的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关系D没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系附：P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.8284下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是()A某学校有学生1320人，为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B从全班30名学生中，任意选取5名进行家访C为了准备省政协会议，某政协委员计划从1135个村庄中抽取50个进行收入调查D为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计510名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数
3、用茎叶图表示（如图），设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）ABCD6执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）ABCD67一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）A12层B13层C14层D15层8在极坐标系中，点到直线的距离为（ ）A5B1C2D39对具有线性相关关系的变量和，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为，则这条回归直线
4、的方程为（ ）245683040605070A=6.5x+17B=6.5x+18C=6.5x+27.5D=6.5x+17.5 10我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是（ ）A2.25吨B2.24吨C2.06吨D2.04吨11已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，则球O的表面积为（ ）ABCD12双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我
5、国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD二、填空题13若实数满足约束条件，则的最大值是_14秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当时的值为_.15如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_16在三角形ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c
6、，且，则三角形ABC面积的最大值为_三、解答题17设命题实数满足，；命题实数满足.（1）若，均为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18为响应习近平总书记在党的十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局筹划共投入4千万元，对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如图所示频率分布直方图，由于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收益增加值的平均数为多少万元(以各组的区
7、间中点值代表该组的取值)；（2）若旅游局投入不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：投入的治理经费x(单位：千万元)1234567收益的增加值y(单位：万元)232779将第（1）问结果填入表格后，数据显示x与y之间存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅游局还谋划使全市旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计在此目标下，旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？(答案精确到0.01).参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为19如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且.（1）证明:平面;（2）（文科）求三棱锥的体积。（
8、理科）求二面角余弦值的大小.20已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为为坐标原点，（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值参考答案1C【分析】设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，利用方差的定义，进行整体代换即可.【详解】设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，则原数据的方差为，新数据的方差为故选：C.2A【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可判断；运用充分必要条件的定义，即可判断；由原命题若则的逆否命题为若非则非，即可判断；由为假命题，可得，中至少一个为假命题，即可判断【详解】对于命题，使得，则均有，故正确；由“”可推得“”，反之由“”可能推出，则“
9、”是“”的充分不必要条件，故正确；命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故正确；若为假命题，则，至少有一个为假命题，故错误则正确的命题的有故选：A3D4B5D【分析】根据茎叶图的数据，分别求出的值即可.【详解】根据茎叶图得：，中位数，众数.所以.故选：D【点睛】本题主要考查茎叶图，同时考查了平均数，中位数和众数的求法，属于简单题.6B【详解】第一次循环，；第二次循环，；以此类推得第七次循环，；结束循环输出，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，
10、明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7A【分析】利用已知条件将每一层有的塔的数目设为，依题意可知，成等差数列，利用等差数列通项公式以及前项和公式即可得出结论.【详解】设该数列为，依题意可知，成等差数列，且公差为2，设塔群共有层，则，解得，所以该塔共有12层，故选：A8C【分析】将点的极坐标化为直角坐标，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式可得结果.【详解】设点的直角坐标为，则，所以，由得，即，将代入得，即直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离为.所以在极坐标系中，点到直线的距离为.故选：C【点睛】关键点点睛：将极坐标化为直角坐标是解题关键.9D【分析】先求得样本中心
11、，然后由回归直线方程过样本中心求解.【详解】因为,所以样本中心为：，设回归直线方程为,又直线过样本中心，解得,所以这条回归直线方程为故选：D10D【分析】利用中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的求解即可.【详解】由频率分布直方图可知，月用水量在的频率为.同理，在，等组的频率分布为，.由，解得，设中位数为吨.因为前5组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以.由，解得.故选：D【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面
12、积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.11A【分析】根据平面BCD，得到，再由，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.【详解】因为平面BCD，所以，在中，.如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为，故选：A.12C【分析】连接，已知条件为，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率【详解】易知共线，共线，如图，设，则，由得，又，所以，则，所以，由得，因为，故解得，则，在中，即，所以故选：C【点睛】关
13、键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出的关系，解题方法是利用双曲线的性质及已知条件得出的性质，从而在这个三角形中把结合双曲线定义用表示，然后再用勾股定理求得出的关系式133【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得，直线向下平移时，纵截距减小，增大，所以平移直线，当直线过点时，故答案为：3【点睛】方法点睛：本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，作出目标函数对应的直线，函数方程变形观察与直线截距的关系可得最值在哪个点取得，从而求得结论14【分析】根据秦九韶算法的计算过程可得时的值.【详解】根据秦九韶算法
14、可知：，.故答案为：24.15【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，再利用运算律转化求即可.【详解】，, ,，故答案为：.16 17（1）；（2）.【分析】解一元二次不等式求出，均为真命题时的取值范围.（1）将代入，根据交集运算求解即可；（2）根据题意，是的充分不必要条件，只需，解不等式即可求解.【详解】解：由题意得，当为真命题时，；当为真命题时，（1）若时，若，均为真命题，则解得，所以的取值范围为.（2）若是的充分不必要条件，则得，所以实数的取值范围为.【点睛】根据充分、必要条件求参数范围的方法：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合
15、之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解；（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.18（1）(万元)；（2）旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费.【分析】（1）根据小长方形面积总和为1可列式求得组距，然后列出式子可求出平均数；（2）根据公式分别求出，即可根据公式求出回归方程，将代入可求.【详解】（1）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1可得，解得各小组依次是0，2)，2，4)，4，6)，6，8
16、)，8，10)，10，12，其中点分别是1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为，故估计全市家庭年均用气量为(万元（2）空白栏中填5.由题意可知，根据公式可求得，所以回归直线方程为，当时，解得，即旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费.19（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接，分别证得和，利用线面垂直的判定，即可求解.（2）利用等积法，即可求解.【详解】（1）如图所示，连接，由是边长为的正方形，因为是的中点，可得的中点，在中，因为分别是的中点，可得，又因为，所以，又由，且，所以平面.（2）如图所示，取中点，连接，因为是边长为的等边三角形，所以且，由（1）知平面平面，所以
17、平面，可得，连接，则，所以，又，又，所以,设点到平面的距离为，则，即，解得.20（1）；（2）（3）【分析】（1）利用题意定义可求出，再根据离心率可得答案；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可表示出的面积，再利用函数的性质可得答案.【详解】（1）设椭圆半焦距为由题意可知，由离心率有，所以椭圆方程为，（2）设直线，联立方程组，消去得，设，有，由，所以的面积，函数，令，则，因为，所以，。所以在上单调递增，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为【点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示出三角形的面积，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
