1、第12课 特征值与特征向量一、考纲要求1. 掌握二阶段矩阵的特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2. 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义3会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.二、知识梳理【回顾要求】一、阅读苏教版教材选修4-2中第6673页，完成以下任务： 1特征值与特征向量的定义：设矩阵A，如果_，那么称为是矩阵A的一个特征值，而称为_的一个特征向量2如果向量是属于特征值的一个特征向量，那么属于特征值的特征向量有_个，它的一般形式是_ _,(k且k0)3特征多项式：设A = 是一个二阶矩阵，_ _ 称为A的特征多项式4设是二阶矩阵A的特征多项式的两个不相等
2、的实数根，分别为对应的特征向量（两者不共线）， 则当任一非零向量，则=_二、在书本上做以下题目：第73页练习的第1题、第3题【要点解析】1.从几何观点分析，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上，0时方向不变；0时方向相反；=0时特征向量就被变换成零向量2.对于一个二阶矩阵A，不是对任意的一个非零向量都存在一个实数使.3.若向量是属于的特征向量，则也是属于的特征向量，即特征向量不唯一，但均为共线向量4.若特征多项式无解，则矩阵无特征值三、诊断性练习1教学处理：课前由学生自主完成2道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误将知
3、识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1. 已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值 【分析与点评】强调矩阵的特征值与特征向量的求解方法【教学过程处理】：由学生来说明解题的方法与步骤归纳得到定义法或者是特征多项式的方法题2. 已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A 【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评问题1：二阶矩阵特征值，特征向量的定义是什么？ 问题2.由特征值、特征向量的定义得到什么关系式？问题3：二阶矩阵与列矩阵的
4、乘法公式是什么？【点评】矩阵常与变换相结合在一起，一个是代数形式，一个是几何形式两者相辅相成，切不可不加联系来解题【变式】：求矩阵的逆矩阵问题1.求逆矩阵的方法有哪些？一是定义法待定系数，二是使有课本上的公式问题2. 本题的逆矩阵对应的逆变换是一个什么样的变换？能说出变换前的向量坐标与变换后的向量坐标吗？再思考，逆变换的特征值与特征向量与矩阵的特征值与特征向量有什么关系？问题3.求逆矩阵的过程可以与求的过程一样的四、范例导析例1已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求矩阵以及它的另一个特征值【教学处理】可让学生板演，教师点评【引导分析与精讲建议】问题1：能通过特征值、特征向量的定义求出的
5、值吗？问题2：矩阵确定了，其特征值、特征向量是否确定？问题3：求矩阵的特征值及其对应的特征向量两种方法用哪种？为什么？【说明】1 利用特征多项式求解特征值与特征向量的方法与步骤2 向量的特征值与特征向量方便计算在矩阵多次变换下的结果例2：已知a，b，矩阵所对应的变换TA将直线变换为自身（1）求实数a，b的值； （2）A的特征值与特征向量（3）计算【教学处理】要求学生独立思考并解题，学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评【引导分析与精讲建议】问题1： 本题中将直线变换为自身的是什么变换？问题2： 如何求特征值与对应的特征向量？问题3：对于二阶矩阵A，它的特征值分别为，其对应的特征
6、向量分别为，若当非零向量，则=_【说明】 1、熟练掌握特征值、特征向量的定义及求已知矩阵的特征值、特征向量；2、理解特征值、特征向量的意义和作用向量的特征值与特征向量方便计算在矩阵多次变换下的结果【变式】 怎么求 例3：已知矩阵 有特征值及其对应的一个特征向量（1） 求矩阵；（2） 求曲线在作用下的新曲线方程；【教学处理】要求学生独立思考并解题，学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评【引导分析与精讲建议】问题1.由特征值、特征向量的定义得到什么关系式？问题2.二阶矩阵与列矩阵的乘法公式是什么？问题3.要求新曲线方程其本质是求什么？问题4.新曲线上点坐标与原曲线上点坐标有什么关系？此种求解方法实际上就是解析几何求轨迹的什么方法？五、解题反思 1三道例题围绕着矩阵的特征值特征向量展开求特征值特征向量方法是定义法与利用特征多项式的方法利用特征值和特征向量求矩阵用待定系数的方法利用特征值与特征向量可以方便计算矩阵的多次变换结果2 注意几何变换，矩阵以及矩阵的特征值与特征向量三者之间的关系，知道其中的一方面就能求出其他两个方面
