1、第6课 函数的解析式一、教学目标1进一步理解函数的概念，理解构成函数的“三要素”；2掌握函数的三种表示方法，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法；4理解简单的分段函数及其运用。二、知识梳理 回顾要求1.阅读必修一第3334页并完成以下任务:（1）函数的表示方法有哪些？回顾例题1并比较三种表示方法的优劣。（2）你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？（3）如何求分段函数的值域或最值？2. 函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？ （1）换元法求解时需注意什么？ （2）怎样的条件求函数的类型可以通过待
2、定系数法求解？ （3）你知道配凑法和赋值法吗？3.回顾课本34页例题2，3, 思考如何求分段函数的解析式？4.在教材上的空白处做以下题目:第35页练习第1,3题.要点解析1. 用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析式研究函数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况、观察得出函数的一些性质。2. 准确理解分段函数定义，分段函数是一个函数，在定义域内不同部分上，有不同的解析式。处理分段函数有关问题时，要时刻注意定义域内的不同区间上的自变量的不同取值所对应的不同的解析式。对于分段函数的最值
3、，可以分段求出函数在各个不同区间上的最值，最后进行大小比较，因为分段函数是一个函数。另外也可以利用函数图象得出函数的最值或值域。3. 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。4在求函数解析式中，（1）换元法一定要注意新设变量“t”的范围. （2）若已知函数类型,如一元二次函数、反比例函数等,都可以通过设出函数的解析式,然后用待定系数法，通过列方程（组）求出系数.（3）配凑法或赋值法是依据题目特征,能够由一般到特殊或由特殊到一般,从而求出解析式.热身1、下列两个命题是否正确？的图象是一条直线
4、； 的图象是抛物线【答案】全错【教学建议】本题主要是考察函数的解析式与图象的关系。通过这两个判断题，可以帮助学生加深对函数定义域和对应法则的理解与重视，并了解函数的几种表示方法可以相互转化但注意并不是所有的函数几种表示方法都可以相互转化，如狄俐克雷函数热身2、（海里）约合,根据这一关系，写出米数关于海里数的函数解析式【答案】【教学建议】本题选自课本35页练习第1题，主要考察学生对解析式表示函数的理解与运用，函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的的取值范围，同时也要注意变量的实际意义，教学时，可
5、让学生回答，并强调定义域不可少热身3、已知函数，若，则实数的值是 【答案】或【教学建议】本题考察分段函数，分段函数是指函数在定义域的不同子集上的对应法则不同（用几个不同式子来表示）的函数，注意分段函数是一个函数，处理原则是分段处理，如作图、求值域、求函数值等本题求函数值就应分段求解三、诊断练习1、教学处理：求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视本节主要帮助学生在深刻理解函数概念的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力课前由学生自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误2、诊断练习点评题
6、1：，则 ； ； ； 【答案】，【分析与点评】已知的解析式，求的值或解析式时，把的解析式中的用替代即可教学时，应该使学生通过，计算过程，理解函数的意义，这里有两种计算方法，可以先算，再算，也可以代入计算另外，求时，不能等于，学生容易忽视，而本题中，为引起学生高度重视可以将改为，并提问：等于多少？（答案：无意义）题2已知函数 ，则 【答案】【分析与点评】本题考察分段函数，分段函数的处理原则是分段处理，如作图、求值域、求函数值等本题应从里向外分别求出各函数值，一层一层去括号，。题3若，则 【答案】.【分析与点评】本题是求函数值，可通过整体代换（配凑法）或换元法求出函数解析式便可求值。本题还可以直接
7、令代入即得。题4等腰三角形的周长是，底边长是一腰长的函数，则 【答案】.【分析与点评】本题是实际应用型问题，求函数解析式须根据题意建立与的关系：，然后将方程改写为，特别强调的是必须根据实际意义写出自变量的范围，由和得。题5设二次函数的最大值是13，求的解析式【分析与点评】已知函数是二次函数，设法有三种，一般式、两根式、顶点式，根据具体题目选择恰当的设法可简化计算本题可设函数的解析式为，又代入可求得参数【答案】3、要点归纳（1）强化对函数概念本质的理解构成函数的三要素是定义域，值域，对应法则，又由于函数的值域由函数的定义域和对应法则共同决定，所以只要函数的定义域和对应法则相同即为同一函数，与自变
8、量所用的字母无关（2）掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法：待定系数法、换元法、整体代换（配凑法）、构造方程组等，求解函数的解析式一定要注明函数的定义域，函数的定义域是函数解析式的一部分四、范例导析例1：（1）已知是一次函数，且满足，求（2）已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)0，f(x1)f(x)x1，求【答案】（1）（2）【教学处理】本题与诊断练习5相呼应，可对照起来求解，要求学生在诊断练习5的基础上独立思考并解题，请学生板演（可连同变式），老师巡视指导了解学情，再结合板演情况进行点评【分析与点评】本题是已知函数类型，求函数解析式，主要复习的是待定系数法，所选的一次,二次函数也是学生
9、熟悉的内容，相对比较基本，应让学生分析解答。【引导分析与精讲建议】1、已知函数的类型（如一次函数，二次函数，反比例函数等），常用待定系数法求函数的解析式根据函数的类型设出函数的解析式，然后根据条件求出待定系数通过这种类型题目的训练与讲解，可以加深学生对待定系数法求函数的解析式的理解和运用2、第（1）问可设函数的解析式为第（2）问已知函数是二次函数，可设函数的解析式为【变式】设是一次函数，且，求【答案】（1）或【注意】设函数的解析式为后得要套死公式例2：（1）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.（2）设是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式【答案】（1）f（x）=2x-； （2）
10、，.【教学处理】本题的关键在于引导学生先从条件式的结构上进行联想，思考和之间的特殊关系，从中找到解决问题的方法，进而掌握这一类问题【引导分析与精讲建议】可提出问题：对于有特殊结构的方程（自变量互为倒数、互为相反数,函数奇偶性等）求函数的解析式如何入手？常用构造方程组方法求函数解析式，即抓住等式特征对等式进行赋值，以变量换变量又得到一个方程，联立得到方程组，通过解方程组求出解析式。第（1）小题可用换原方程中的x,得到新方程2f（）+f（x）=3，与原方程联立成方程组求出；第（2）小题可根据函数的奇偶性用替换方程中的，可得方程，此方程与原方程联立可用方程组方法求得和的解析式【变式1】设定义在R上的
11、函数f(x) 对任意实数x, y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y), 且满足f(1)=1, 求f(x)的表达式.【答案】【变式2】若，求【解析】令，得；令，得，联立方程消去，得例题3：如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA是抛物线的一部分,试写出f(x)的函数表达式.【审题指导】准确理解分段函数定义，思考如何求分段函数的解析式？分段函数是一个函数，在定义域内不同部分上，有不同的解析式。处理分段函数有关问题时，要时刻注意定义域所对应的解析式。可以分段求出函数在各段的最值，最后进行大小比较，因为分段函数是一个函数。另外也可以利用函数图象得出函数的最值或值域。PABxy（变式）如图
12、放置的边长为1的正三角形PAB沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是yf(x)，求f(x)在区间2,1上的解析式？【审题指导】：“沿x轴滚动”的含义是什么？在滚动过程中，点P, A, B又是怎样的一个轨迹？为什么又给出了一个区间2,1？ 建议教学时，让学生尝试画出点A的轨迹，从中发现需要分段！【略解】：当x1时，点A(x，y)到原点距离为1，所以x2y21(y0)，所以y；当2x时，点A(x，y)到点(1,0)的距离为1，所以(x1)2y21(y0)，所以y. 所以，函数f(x)在区间2,1上的解析式为：y六、解题反思1、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间
13、的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的的取值范围，同时也要注意变量的实际意义如基础知识回顾与梳理第4题，2、求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、整体代换（配凑法）、构造方程组等如果已知函数解析式的类型时，可用待定系数法，如范例导析例2；已知复合函数的表达式求时，可用换元法，这时要注意新元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用配凑法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出，如例3第（2）题；另注意轨迹法在求对称曲线解析式中的运用3、数形结合是中学阶段非常重要的数学思想，函数图象是函数表示方法的一种，它是从“形”的方面刻画函数的变化规律，在解题过程中，要注意函数图象在研究问题中的辅助作用如课本33页练习第13题：已知函数的解析式为，它的定义域为，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数
