1、第27课 三角函数的图象与性质（1）一、教学目标1了解三角函数的周期性，理解三角函数、的周期为及的周期为；2能画出，的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值、对称性等) 二、基础知识回顾与梳理1、下列判断是否正确？ 的周期是；的周期是；的周期是【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解三角函数周期性的概念（1）可以提出两个问题：，的周期是什么？加了绝对值之后，函数的图象有什么变化？（2）做完一二两题之后，学生可能会有一个感觉：加了绝对值之后，周期就要减半。引导学生画第三题的图形去判断这个结论是否正确2、下列判断是否正确？（1）的单调
2、增区间为；(2) 的单调增区间为；（3）的单调增区间为【教学建议】本题主要是求三角函数单调性通过这一组判断题，可以帮助学生注意在求解三角函数单调性时的几个易错点。求三角函数单调性时一般是将看成一个整体放入正弦函数、余弦函数、正切函数的单调区间中其中要注意的正负，如果是负的，需要如何处理，可以利用复合函数单调性来解释原因，还要注意正切函数的单调区间只能是开区间3、关于函数的图象，下面说法正确的是_（1）关于x轴对称 （2）关于原点对称 （3）关于点对称 （4）关于直线对称【教学建议】本题可以从代数和几何两种方法入手先引导学生利用五点作图法画图，从图象观察答案。然后引导学生四个选项所反映的代数式分
3、别是什么？三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成3道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1：关于正弦函数有下列说法；（1）关于原点对称；（2）关于y轴对称；（3）关于直线对称；（4）关于对称；（5）在上是周期函数；（6）在第一象限是单调增函数，其中正确的是_【分析与点评】要求学生画出的图象，画图的时候注意五个特殊点的选取，然后从图象上观察各个选项的对错题2：函数的一个单调增区间是 答案为：【分析与点评】由函数（即
4、三个“一”）立即可得题3：若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_【分析与点评】本题实质就是求|sina-cosa|的最大值，要求学生具备将三角函数式转化为形式的意识与能力题4：下列函数中，最小正周期为的奇函数有 （填序号）答案为：.【分析与点评】要求学生准确理解题意，奇函数和周期是是判断的依据，对函数式要做适当的变形。【备用】方程cosx的解的个数是_5【分析与点评】本题培养考察数形结合的能力，只有的取值在-1到+1之间时方程才有解，研究cosx在-7到7之间的图像与的交点个数，故在画图时要结合计算才行3、要点归纳（1）研究三
5、角函数的性质，一般通过三角变换将表达式化为的形式，再进行研究（2）要重视图象在解题中的作用，相关的结论要熟记，比如周期、单调性、奇偶性、对称性（3）三角函数线作为解题利器不能淡忘四、范例导析例1、(1)求下列函数的定义域； （2）求下列函数的值域； 【教学处理】首先要求学生列出三角不等式，然后利用三角函数值的范围截取图像，再根据图像得出x的范围，即所求的定义域【引导分析与精讲建议】分析：求定义域即列出使解析式有意义的不等式（组），再通过图象或三角函数线求解问题1：如何从余弦函数和正切函数的图象观察出不等式的解集？问题2：对于，两段图象如何合并？用三角函数线如何求解？哪种方法简单？问题3： 如何
6、从一个周期的图像观察得出R上的三角不等式的解集例2 求函数y= sin2x+2sinx cosx+3 cos2x的最小值、最大值并写出函数y 取最值时的x的集合【教学处理】要求学生先降次，再引入辅助角，化为型如y=sin（x+）的只含一个角“”、一个三角函数“正弦”、一次方的形式，即三个“一”，利用函数即可求解建议由学生自主完成，交流结果解 y= sin 2x + 2cos2x + 1 = sin 2x + cos 2x + 2 = sin（2x +）+ 2当sin（2x +）= -1时， 有ymin = 2 -此时有2x + = 2k-， 即 x = k- (kZ) 当sin（2x +）=
7、1时，有ymax = 2 +.此时有 2x + = 2k+,即 x = k+ (kZ) 故函数y取最小值2-时x 的集合是xx = k-，kZ y取最大值2 +时x 的集合是xx = k+，kZ 【引导分析与精讲建议】型的最值：f(x)max=， f(x)min=求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin()” 的形式，将异名三角式化归成同名三角式当x的范围受限制时（例如0x），其值域还得进一步对自变量的取值范围要仔细地考察【变式题】求：函数的最小正周期；函数的单调增区间解：函数的最小正周期是；当即 ()时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是()例3 ： 已知
8、函数. （1）求的单调递增区间； （2）若是第二象限的角，求.【教学处理】建议由学生板演或投影学生作业，重视学生过程的严谨规范。【引导分析与精讲建议】第(1)问：由，这样的不等式的变形过程学生不一定习惯，计算容易失误。 第（2）问：对于等式的两边如何变形，要留有时间进行必要的互动。而对于 要防止学生轻易约去当。【评注】求函数的单调区间是从到的运算，就是求的范围使得在能够单调范围内.【变式】：设函数的最大值为1，试确定的值.【点评】：的最值问题向哪个方向转化？（余弦函数与二次函数的复合）。换元后即转化为二次函数“动轴定区间”问题，数形结合求解五、解题反思1、由三角函数构成的函数定义域的求法，一般先列出是函数式有意义的自变量所满足的条件，然后利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象进行求解2、三角函数求值域时要熟悉几种常见形式，主要有：（1） 形如的形式;（2） 含sinx,cosx,tanx的复合函数形式（3）易元变换，整体思想求解含sinx+cosx,sinxcosx形式，比如求函数3、注意两个方面：求值域不可忽略定义域，脱离定义域，研究函数是无意义的换元要注意变量的取值范围4、掌握三种方法：（1）配角法（）；（2）置换法（根据复合函数法则，置换求解对称中心，对称轴，单调区间）；（3）图象法（根据三角函数线或三角函数的图象求解函数性质）
