1、第二讲平面向量的数量积及应用1.2021安徽省四校联考已知单位向量a,b满足|2a+b|=|2a-b|,则(3a-b)(a+b)=()A.1B.2C.3D.42.2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考已知a=(1,2),b=(1,-7),c=2a+b,则c在a方向上的投影为()A.-355B.-3210C.3210D.3553.2021四省八校联考对于任意一条直线,把与该直线平行的非零向量称为该直线的一个方向向量.若向量a=(1,x),b=(-2,1-x)均为直线l的方向向量,则cos=()A.1B.22C.0D.-14.2021洛阳市统考已知向量a,b均为非零向量,且|a|=|b|=|a-
2、b|,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.565.2020广东六校二联设平面向量a=(-2,1),b=(,2),若a与b的夹角为锐角,则的取值范围是()A.(-12,2)(2,+)B.(-,-4)(-4,1)C.(1,+)D.(-,1)6.2020威海市模拟多选题已知向量a=(1,-1),b=(2,x),设a与b的夹角为,则()A.若ab,则x=-2B.若x=1,则|b-a|=5C.若x=-1,则 a与b的夹角为60D.若a+2b与a垂直,则x=37.多选题设同一平面上的三点A,B,C不共线,且AB与AC的夹角为钝角,则()A.|AB+AC|BC|B.|AB-BC|BC2D.|AB|2
3、+|AC|2|AB+AC|28.2021大同市调研测试设向量a=(x,1),b=(-1,2),ab,则|a-2b|=.9.2021南昌市高三测试已知向量OAAB,|OA|=2,则OAOB=.10.2021晋南高中联考已知向量a,b满足:|a|=|b|=1,ab.若2a+b与xa+b的夹角为45,则实数x=.11.2021云南省部分学校统一检测已知|AB|=3, |AC|=1,AB|AB|+AC|AC|=(2,-1),则ABBC=()A.212B.-152C.-32D.9212.2021安徽省示范高中联考已知ABC中,AB=4,AC=43,BC=8,动点P自点C出发沿线段CB运动,到达点B时停止
4、,动点Q自点B出发沿线段BC运动,到达点C时停止,且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出发,且一个点停止运动时,另一个点也停止运动,则该过程中APAQ的最大值是()A.72B.4C.492D.2313.2020河北九校第二次联考已知两个不相等的非零向量a,b,满足|a|=1,且a与b-a的夹角为60,则|b|的取值范围是()A.(0,32)B.32,1)C.32,+)D.(1,+)14.2020长春市第四次质量监测已知在ABC中,AB=(0,1),|AC|=7,ABBC=1,则ABC的面积为()A.12B.22C.32D.7215.2020唐山市模拟已知e1,e2是两个单位向量,R时,|e
5、1+e2|的最小值为32,则|e1+e2|=()A.1B.3C.1或3D.216.已知锐角ABC外接圆的半径为1,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=4,则BABC的取值范围是.17.角度创新已知O为ABC的外接圆圆心,且AOAB =2AOAC,则|AB|AC|的值为 ()A.12B.22C.2D.218.2020开封市高三模拟已知单位向量a,b满足|a+b|1,则a与b夹角的取值范围是()A.0,3)B.0,23)C.(3,D.(23,19.双空题已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若ab=12,则(a+b)(2b-c)的最小值是,最大值是.答 案第二讲平面向量的数
6、量积及应用1.B|2a+b|=|2a-b|,(2a+b)2=(2a-b)2,4a2+b2+4ab=4a2+b2-4ab,可得ab=0,(3a-b)(a+b)=3a2-b2+2ab=2,故选B.2.A因为a=(1,2),b=(1,-7),所以c=2a+b=(3,-3),则c在a方向上的投影为|c|cos=ca|a|=-35=-355.故选A.3.D由题意,知ab,所以1(1-x)=x(-2),解得x=-1,所以a=(1,-1),b=(-2,2),所以cos=ab|a|b|=1(-2)+(-1)212+(-1)2(-2)2+22=-1,故选D.4.B解法一因为|a|=|a-b|,所以|a|2=|a
7、-b|2,即|a|2=|a|2-2ab+|b|2,化简得|b|2-2ab=0,设a与b的夹角为,则|b|2-2|a|b|cos =0,因为|a|=|b|0,所以cos =12,又0,所以=3,故选B.解法二由向量减法的三角形法则及|a|=|b|=|a-b|知,|a|,|b|,|a-b|构成等边三角形的三条边长,所以向量a与b的夹角为3,故选B.5.B解法一因为a与b的夹角为锐角,所以cos(0,1).又a=(-2,1),b=(,2),所以cos=ab|a|b|=-2+252+4(0,1),整理得-2+20,2+8+160,所以0,a,b不共线.又a=(-2,1),b=(,2),所以-2+20,
8、-221,所以1,-4,所以的取值范围为(-,-4)(-4,1).故选B.6.ABD由ab可得x=-2,故A正确;若x=1,则b=(2,1),|b-a|=|(2,1)-(1,-1)|=12+22=5,故B正确;当x=-1时,cos=ab|a|b|=2+125=3101012,故C错误;a+2b=(5,-1+2x),由5+(-1)(-1+2x)=0,解得x=3,故D正确.7.AD因为AB与AC的夹角为钝角,所以ABAC0,所以|AB+AC|2-|BC|2=|AB+AC|2-|AC-AB|2=4ABAC0,所以|AB+AC|-|BC|0,故|AB-BC|AC|,所以B选项错误;因为ABAC0,所以
9、ABAC0,所以|AB|2+|AC|2|AB+AC|2,所以D选项正确.故选AD.8.5因为ab,所以ab=-x+2=0,x=2,所以a-2b=(2,1)-2(-1,2)=(4,-3),则|a-2b|=5.9.4解法一因为OAAB,所以OAAB=0,所以OAOB=OA(OA+AB)=OA2+OAAB=22+0=4.解法二因为OAAB,所以OB在OA方向上的投影为|OA|,所以OAOB=|OA|2=4.10.-22+3解法一因为2a+b与xa+b的夹角为45,所以cos 45=(2a+b)(xa+b)|2a+b|xa+b|=2x+13(x2+1)=22,即x2+42x-1=0,解得x=-223.
10、因为2x+10,所以x-22,所以x=-22-3应舍去,所以x=-22+3.解法二因为a,b为单位向量,且ab,所以不妨令a=(1,0),b=(0,1),则2a+b=(2,1),xa+b=(x,1),所以cos45=(2a+b)(xa+b)|2a+b|xa+b|=2x+13(x2+1)=22,即x2+42x-1=0,解得x=-223.因为2x+10,所以x-22,所以x=-22-3应舍去,所以x=-22+3.11.B由|AB|=3,|AC|=1,AB|AB|+AC|AC|=(2,-1),得(AB|AB|+AC|AC|)2=2+2ABAC31=3,所以ABAC=32,所以ABBC=AB(AC-A
11、B)=ABAC-AB2=32-9=-152.故选B.12.C解法一因为AB=4,AC=43,BC=8,所以AB2+AC2=BC2,所以ABC是直角三角形,且A=90,C=30,B=60.如图D 6-2-4,分别以AC,AB所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,设|CP|=t,则|BQ|=2t,且02t8,即0t4,图D 6-2-4则A(0,0),Q(3t,4-t),P(43-32t,12t),AQ=(3t,4-t),AP=(43-32t,12t),所以APAQ=3t(43-32t)+12t(4-t)=-2t2+14t(0t4),当t=72时,APAQ取得最大值,最大值为492,故选C.解法二因
12、为AB=4,AC=43,BC=8,所以AB2+AC2=BC2,所以ABC是直角三角形,且A=90,C=30,B=60.设CP=t,则BQ=2t,且02t8,即0t4,BQ与AC的夹角为30,CP与AB的夹角为60,所以APAQ=(AC+CP)(AB+BQ)=ACAB+ACBQ+CPAB+CPBQ=432tcos 30+4tcos 60-2t2=-2t2+14t(0t4),当t=72时,APAQ取得最大值,最大值为492,故选C.13.D如图D 6-2-5所示,设OA=a,AB=b-a,则OB=b.因为a与b-a的夹角为60,所以BAC=60,则OAB=120,则B为射线AD上的动点(不包括点A
13、),又|a|=1,即|OA|=1,所以由图可知,|b|1,故选D.图D 6-2-514.C因为AB=(0,1),所以|AB|=1,因为ABBC=-BABC=-(|BA|BC|cos B)=-|BC|cos B=1,所以cos B=-1|BC|.由余弦定理,得cos B=12+|BC|2-(7)221|BC|=-1|BC|,解得|BC|=2,所以cos B=-12,所以sin B=32,所以SABC=12|AB|BC|sin B=32.15.C设向量e1,e2的夹角为,则e1e2=cos ,因为|e1+e2|=1+2+2cos=(+cos)2+1-cos2,且当=-cos 时,|e1+e2|mi
14、n=1-cos2=32,解得cos =12,|e1+e2|=2+2cos,则|e1+e2|的值为1或3,故选C.16.(2,1+2asinA=csinC=2,a=2sin A,c=2sin C=2sin(34-A),BABC=22ac=222sin A2sin(34-A)=2sin A(cos A+sin A)=2sin Acos A+2sin2A=sin 2A-cos 2A+1=2sin(2A-4)+1.0A2,034-A2,4A2,42A-434,故221两边同时平方得a2+2ab+b21,化简得2+2cos 1,即cos -12,又0,所以01成立;当0时,如图D 6-2-7所示,令OA
15、=a,OB=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则OC=a+b,AOB=,因为a,b均为单位向量,所以平行四边形OACB是边长为1的菱形,则AOC=2,取OC的中点D,连接AD,则ADOC,所以cosAOC=cos 2=ODOA=|a+b|2|a|=|a+b|2,因为|a+b|1,所以cos 212,又(0,所以2(0,2,所以023,即 023.综上可知,023,故选B.图D 6-2-719.3-33+3由|a|=|b|=1,ab=12,可得=3,令OA=a,OB=b,以OA的方向为x轴的正方向建立如图D 6-2-8所示的平面直角坐标系,则a=OA=(1,0),b=OB=(12,32).设c=OC=(cos ,sin )(02),则(a+b)(2b-c)=2ab-ac+2b2-bc=3-(cos +12cos +32sin )=3-3sin(+3).因为-1sin(+3)1,所以(a+b)(2b-c)的最小值和最大值分别为3-3,3+3.图D 6-2-8
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