1、第十讲 导数的应用教学目标 掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法教学重点及相应策略导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.教学难点及相应策略 导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题. 熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三. 掌握典型例题的典型方法.教学方法建议 在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 3 ）道（ 3 ）道（ 10 ）道B类（ 5 ）道（ 3 ）道（ 10 ）道C类（ 3 ）道（ 3
2、 ）道（ 10 ）道知识梳理1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正一般地，当函数 在点处连续时，判断 是极大（小）值的方法是：（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值（2）如果在附近的左侧 ，右侧，那么 是极小值注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单
3、调性方法归纳：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.【例1】（B类）（2011朝阳期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为. （）求函数的解析式； （）求函数的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.【解析】（）由的图象经过，知， 所以.所以. 由在处的切线方程是，知，即，. 所以 即 解得. 故所求的解析式是. （）因为， 令，即，解得 ，. 当或时，
4、当时， 故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数. 【例2】（A类）若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.【解题思路】利用函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】又在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即在 1,1时恒成立. 故的取值范围为【例3】（B类）已知函数,设（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.【解析】（I），由，在上单调递增. 由，在上单调递减.的单调递减区间为，单调递增
5、区间为.（II），恒成立当时，取得最大值.，amin=.【课堂练习】1.（B类）（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文） 已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直. （）求实数的值；（）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间上单调递增，即为函数的递增区间的子集.【解析】（）的图象经过点 ， 由已知条件知 即 解得：（）由（）知，令则或 函数在区间上单调递增 或 即或2（B类）设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为 （1）若方程的表达式； （2）若的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区
6、间-1,3上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】（1）根据导数的几何意义知由已知-2、4是方程的两个实根由韦达定理， （2）在区间1，3上是单调递减函数，所以在1，3区间上恒有其中点（2，3）距离原点最近， 所以当有最小值13 3.（A类）已知函数 ，当 时，讨论函数 的单调性.【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论【解析】，（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数（2）当时，为增函数；为减函数；为增函数 知识点二: 导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数 .(2)求方
7、程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值. （2）求出端点函数值. （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.【例4】（A类）若函数在处取得极值,则 .【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.【解析】因为可导,且,所以,解得.经验证当时, 函数在处取得极大值
8、.【注】 若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.【例5】（B类）（2011北京文18）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值.【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论.【解析】（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以.【例6】（B类）设是函数的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）由已知得： （2）变化时.的变化情况如表：（0，1）1（1，2）20+
9、0极小值极大值故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值.【课堂练习】4.（A类）（2011江西理19）设.若在上存在单调递增区间，求的取值范围.【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.【解析】在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可.由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.5.（B类）（2011陕西文21）设，（1）求的单调区间和最小值； （2）讨论与的大小关系；【解题思路】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函
10、数的正负；（3）对任意0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题【解】（1）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间.当（1，+）时，0，是增函数，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即6.（C类）（2011全国文20）已知函数()证明：曲线（）若,求的取值范围.【解题思路】在某点处取得极值可得.【解析】() ，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得.所以曲线（）由得， （i）当时，没有极小值； (ii)当或时，由得故.由题设知，当时，不等
11、式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是.【例7】（A类） 当时，求证【解题思路】先移项,再证左边恒大于0【解析】设函数当时， ，故在递增，当时，,又，即，故.【注】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明【例8】（C类）（2010辽宁文）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）设，证明：对任意，.【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性【解析】() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解
12、得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于,即令,则+4.于是0.从而在（0，+）单调减少，故，故对任意x1,x2(0,+) ，.【例9】（C类）设函数.()若为函数的极值点，求实数；（）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有4成立.【解析】() 或，检验知符合题意（）在时恒成立当时，显然恒成立当时 由得在时恒成立在时恒成立令，在单调递增 时，单调递减 ，时单调递增 【课堂练习】7（C类）已知函数（）3. 求f(x)的单调区间；4. 证明：0，f(x)在上递增当
13、时，令得解得：，因（舍去），故在上0，f(x)递增.（2）由（1）知在内递减，在内递增.故，又因故，得8.（C类）（全国卷理20）已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .【解题思路】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】（）， ,题设等价于.令，则当，；当时，是的最大值点， ，综上，的取值范围是.()有（）知，即.当时，；当时， 所以9.（C类）设函数，其中常数a1()讨论f(x)的单调性; ()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围
14、. 【解题思路】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围.【解析】（I） 由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数. 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数. （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值. 由假设知 即解得 1a0)的单调递增区间是 【答案】【解析】由可得,答案:.5.若函数在处取极值，则 【答案】3【解析】，f(1)0 a36.设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否
15、存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.7.设函数，求函数的单调区间与极值.【解析】从而当x变化时，变化情况如下表：8设函数,（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于【解析】（），依题意有，故从而的定义域为，当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（）若，即，在的定义域内，故的极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而
16、在的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为9设函数，其中证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值【解析】因为，所以的定义域为当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减所以当，函数没有极值点当时，令，得（舍去），当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若时，函数有且只有一个极大值点
17、，极大值为10.设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立.【解析】(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增.（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点.（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小
18、值点；时，函数在上无极值点.（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得.提高训练（B类）1 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （） 【答案】D【解析】曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以：2.设函数则 （ ）A在区间内均有零点. B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点. 【答案】D【解析】由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D.3. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意该函数的
19、定义域，由.因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点.解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点.当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是.解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程在内有解，显然可得4.已知定义在正实数集上的函数，其中.设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值.【解析】（1）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）则有（2）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）即有令，则，于是当，即时，；当，即时，故在的最大值为，故的最大值为
20、5.（山东济南2011届高三二模数学（文）已知函数的减区间是试求m、n的值；求过点且与曲线相切的切线方程；过点A（1，t）是否存在与曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】 由题意知：的解集为， 所以，-2和2为方程的根， 由韦达定理知 ，即m=1，n=0 ， 当A为切点时，切线的斜率 ，切线为，即； 当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，切线方程为，即 因为过点A（1，-11）， 或，而为A点，即另一个切点为， ，切线方程为 ，即 所以，过点的切线为或 存在满足条件的三条切线 设点是曲线的切点，则在P点处的切线的方程为 即因为其过点A（1，t），所以，
21、 由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设，只要使曲线有3个零点即可设 =0， 分别为的极值点，当时，在和 上单增，当时，在上单减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，解得. 6.已知函数图像上的点处的切线方程为（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【解析】， 因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，又得.（1）函数在时有极值，所以，解得，所以（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，则得，所以实数的取值范围为7设函数，已知和为的极值点（）求和的值；（）讨论的单调性；（）设，试比较与的大小
22、【解析】（）因为，又和为的极值点，所以，因此 解方程组得，（）因为，所以，令，解得，因为 当时，；当时，所以 在和上是单调递增的；在和上是单调递减的（）由（）可知，故，令，则令，得，因为时，所以在上单调递减故时，；因为时，所以在上单调递增故时，所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有8.已知函数（）如果，求的单调区间；()若在单调增加，在单调减少，证明6. 【解析】（）当时，故 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 9.设函数，曲线在点处的切线方程为.（）求的解析式：（）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）证明：曲线
23、上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.解析：（），于是解得 或因为，所以 （II）证明：已知函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而函数.可知，函数的图像按向量a=平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.（III）证明：在曲线上任一点.由知，过此点的切线方程为.令得，切线与直线交点为.令得，切线与直线交点为.直线与直线的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以, 所围三角形的面积为定值2.综合迁移（C类）1已知函数其中为常数.（I）当时，求函数的极值；（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有【解析】（
24、）解：由已知得函数的定义域为，当时，所以（1）当时，由得，此时当时，单调递减；当时，单调递增（2）当时，恒成立，所以无极值综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为当时，无极值（）当时，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令 ，则 ，当时，故在上单调递增，因此 当时，即成立故 当时，有即 2.已知函数,，其中R（）讨论的单调性；（）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；【解析】（）的定义域为，且， 当时，在上单调递增； 当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增 （），的定义域为 因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以 3设 （1）若，求过点（2，）的直线
25、方程； （2）若在其定义域内为单调增函数，求的取值范围.【解析】（1）由得 过点（2，）的直线方程为，即 （2）由令在其定义域（0，+）上单调递增.只需恒成立由上恒成立，综上k的取值范围为4.(山东省淄博一中2012届高三上学期阶段检测（一）数学（文）试题19)已知函数，xR（其中m为常数）（I）当m=4时，求函数的极值点和极值；（II）若函数在区间（0，+）上有两个极值点，求实数m的取值范围.【解析】函数的定义域为R（）当m4时，f（x） x3x210x，x27x10，令 ， 解得或令 ， 解得,列表0-0所以函数的极大值点是，极大值是；函数的极小值点是，极小值是.（）x2（m3）xm6,要
26、使函数在（0，）有两个极值点,则，解得m3.5.（山东省潍坊市三县2012届高三10月联合考试数学（文）试题22. ）已知函数()若,令函数,求函数在上的极大值、极小值；()若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.【解析】()，所以由得或所以函数在处取得极小值；在处取得极大值() 因为的对称轴为（1）若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；（2）若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；综上，实数的取值范围为6已知函数是上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意不等式恒成立.【解析】（1）由奇函数定义，有. 即 因此， 由条件
27、为的极值，必有 故 ,解得 因此 当时，故在单调区间上是增函数.当时，故在单调区间上是减函数.当时，故在单调区间上是增函数.所以，在处取得极大值，极大值为 （2）由(1)知，是减函数，且在上的最大值为最小值为所以，对任意恒有7 （2011烟台一月调研）已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数的值.（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解析】（1）的图象经过点，则由条件即解得（2），令得或函数在区间上单调递增，则或即或8(2011丰台期末)已知函数（）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；（）求函数的极值【解析】（） 因为曲线在点处的切线与x轴平行，所以 ，即
28、 所以 （） 令，则或 当，即时，函数在上为增函数，函数无极值点； 当，即时+0-0+极大值极小值所以 当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是；当，即时+0-0+极大值极小值所以 当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是 综上所述，当时函数无极值；当时，当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是；当时，当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值9（2011温州十校期末联考）（本题满分15分）已知函数，其定义域为 （）,设.（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；（2）试判断的大小并说明理由.【解析】 (1) 令，则或,在上单调递增，在上单调递减 若，则在上单调递增， 即 若，则在上
29、单调递增，在上单调递减又，即若，则在上单调递增，在上单调递减，即，综上，.10.(2011杭州一检)已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）设函数，若函数在上单调，求实数的取值范围【解析】（1）由，得取，得，解之，得， （2）因为从而，列表如下：100有极大值有极小值的单调递增区间是和；的单调递减区间是 （3）函数，有=（x2 3 x+C1）ex， 当函数在区间上为单调递增时，等价于h（x）= x2 3 x+C10在上恒成立, 只要h（2）0，解得c 11， 当函数在区间上为单调递减时，等价于h（x）= x2 3 x+C10在上恒成立, 即=，解得c ，所以c的取值范围是c 11或c
