1、天津一中 2019-2020 高三年级三月考数学试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时120 分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!一选择题1已知集合 Ay|y2x，x0，By|ylog2x，则 AB（）Ay|y0By|y1Cy|0y1D2已知 x11n 12，x212e，x3满足33lnxex，则正确的是（）Ax1x2x3Bx1x3x2Cx2x1x3Dx3x1x23设函数 f（x）sinx+cosx（04）的一条对称轴为直线 x12，将曲线 f（x）向右平移 4 个单位后得到曲线 g（x），则在下列区
2、间中，函数 g（x）为增函数的是（）A 6，2 B 56，76 C 3，56 D 23，76 4数列an满足 a11，对任意 nN*都有 an+1an+n+1，则122019111aaa（）A 20202019B 20191010C 20171010D 403720205如图所示，已知双曲线2222C1(0,0)xyabab：的右焦点为 F，双曲线 C 的右支上一点 A，它关于原点 O 的对称点为 B，满足AFB120，且|BF|3|AF|，则双曲线 C 的离心率是（）A 2 77B 52C72D76已知，是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，则下列错误的是（）A若 m，n，则 mnB若 m
3、，m，则C若 m，m，则D若 mn，m，则 n7在平行四边形 ABCD 中，|2，|4，ABC60，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则的值（）A12B16C125D1658角 A，B 是ABC 的两个内角下列六个条件中，“AB”的充分必要条件的个数是（）sinAsinB；cosAcosB；tanAtanB；sin2Asin2B；cos2Acos2B；tan2Atan2BA5B6C3D49已知函数 f（x）|log2x|，g（x）0,011|2|,12xxx，则方程|()()|1f xg x的实根个数为（）A2 个B3 个C4 个D5 个二填空题10复数 zai 且
4、11zbii （a，bR，i 为虚数单位），则 ab；|z|11已知31()2nxx的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n；展开式中的常数项为12在三次独立重复试验中，事件 A 在每次试验中发生的概率相同，若事件 A 至少发生一次的概率为 6364，则一次试验，事件 A 发生的概率为，三次独立重复试验事件 A发生次数的数学期望为13经过原点且倾斜角为 60的直线被圆 C：x2+y24y+a0 截得的弦长是 2 13，则圆C 在 x 轴下方部分与 x 轴围成的图形的面积等于14已知直三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为 52，AB1，若ABC 外接圆的圆心O1在 AC 上，半径
5、r11，则直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为15已知关于 x 的不等式210(1)xbxcaba的解集为，则1(2)2(1)1a bcTabab的最小值为三解答题16设函数2()sin(2)2cos16f xxx（）当 x0，2 时，求函数 f（x）的值域；（）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且1()2f A，2a23b2，13c ，求ABC 的面积17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Snn22n+1，数列bn中，2133aba，对任意正整数2n，11()3nnnbb（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列3nbn+是等比数列？若存在，请求出
6、实数及公比 q的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列bn前 n 项和为 Tn18如图，四边形 ABCD 是正方形，EA平面ABCD，EAPD，ADPD2EA2，F，G，H 分别为 PB，EB，PC 的中点（1）求证：FG平面 PED；（2）求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小；（3）在线段 PC 上是否存在一点 M，使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 3？若存在，求出线段 PM 的长；若不存在，请说明理由19已知椭圆C：22221(0)xyabab的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2,1)P 是圆2210 xy上的动点，过 P 作两条直线 12,l l，它们与椭圆C 都只
7、有一个公共点，且分别交圆于点 M，N（1）若(10,0)P，求直线 12,l l 的方程（2）求证：对于圆上任意一点 P，都有 12ll成立；求 PMN面积的取值范围20已知函数 f（x）lnxax+1，g（x）x（exx）（1）若直线 y2x 与函数 f（x）的图象相切，求实数 a 的值；（2）若存在 x1（0，+），x2（，+），使 f（x1）g（x2）0，且 x1x21，求实数 a 的取值范围；（3）当 a1 时，求证：f（x）g（x）+x2参考答案：1【分析】先分别求出集合 A，B，由此求出 AB【解答】解：Ay|y2x，x0y|0y1，By|ylog2xy|yR，ABy|0y1故选：
8、C2【分析】可以看出 lnx30，从而得出 x31，又可看出，从而得出 x1，x2，x3的大小关系【解答】解：ex0；lnx30；x31；又；x1x2x3故选：A3【分析】由题意利用两角和差的三角公式化简 f（x）的解析式，利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，利用正弦函数的图象的对称性求得，再利用正弦函数的单调性求得 g（x）的增区间【解答】解：函数 f（x）sinx+cosx2sin（x+）（04）的一条对称轴为直线 x，+k+，即12k+2，kZ，2，f（x）2sin（2x+）将曲线 f（x）向右平移个单位后得到曲线 g（x）2sin（2x+）2sin（2x）
9、令 2k2x2k+，求得 kxk+，kZ，可得函数的增区间为k，k+，kZ，结合所给的选项，故选：B4【分析】由题意可得 n2 时，anan1n，再由数列的恒等式：ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1），运用等差数列的求和公式，可得 an，求得2（），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【解答】解：数列an满足 a11，对任意 nN*都有 an+1an+n+1，即有 n2 时，anan1n，可得 ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）1+2+3+nn（n+1），2（），则2（1+）2（1）故选：B5【分析】利用双曲线的性质，推出 AF，BF，通过求解三角形转化求
10、解离心率即可【解答】解：双曲线的右焦点为 F，双曲线 C 的右支上一点 A，它关于原点 O 的对称点为 B，满足AFB120，且|BF|3|AF|，可得|BF|AF|2a，|AF|a，|BF|3a，FBF60，所以 FF2AF2+BF22AFBFcos60，可得 4c2a2+9a26a2，4c27a2，所以双曲线的离心率为：e故选：C6【分析】在 A 中，m 与 n 平行或异面；在 B 中，由面面垂直的判定定理得；在 C中，由面面垂直的判定定理得正确；在 D 中，由线面垂直的判定定理得 n【解答】解：由，是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，知：在 A 中，m，n，m 与 n 平行或异面，故
11、 A 错误；在 B 中，m，m，由面面垂直的判定定理得，故 B 正确；在 C 中，m，m，由面面垂直的判定定理得，故 C 正确；在 D 中，mn，m，由线面垂直的判定定理得 n，故 D 正确故选：A7【分析】过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，计算出 GFAD，求出和的向量，利用向量数量积的定义和公式计算即可【解答】解：过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，则 G 是 DE 的中点，且 GFECBCGFAD，则AHDGHF从而 FHAH，+，则，+，则（）（）22，故选：C8【分析】根据大角对大边得出 ABab，结合正弦定理得出 sinAsinB0，于是得出 sin2Asin
12、2B，cos2Acos2B，然后将各条件围绕“sinAsinB0，sin2Asin2B，cos2Acos2B”进行转化，即可得出答案【解答】解：当 AB 时，根据“大边对大角”可知，ab，由于，所以，sinAsinB，则是“AB”的充分必要条件；由于 0BA，余弦函数 ycosx 在区间（0，）上单调递减，所以，cosAcosB，则是“AB”的充分必要条件；当 AB 时，若 A 是钝角，B 为锐角，则 tanA0tanB，则不是“AB”的充分必要条件；由于 0BA，则 sinA0，sinB0，若 sin2Asin2B，则 sinAsinB，所以，是“AB”的充分必要条件；当 cos2Acos2
13、B，即 1sin2A1sin2B，所以，sin2Asin2B，所以，是“AB”的充分必要条件；当 A 为直角 B 为锐角时，角 A 没有正切，所以，是“AB”的充分不必要条件；故选：D9【分析】方程|f（x）g（x）|1f（x）g（x）1，yg（x）+1，yg（x）1分别画出 yf（x），yg（x）1 的图象利用交点个数即可得出方程的实数根的个数【解答】解：方程|f（x）g（x）|1f（x）g（x）1，yg（x）+1，yg（x）1（1）分别画出 yf（x），yg（x）+1 的图象由图象可得：0 x1 时，两图象有一个交点；1x2 时，两图象有一个交点；x2时，两图象有一个交点（2）分别画出 y
14、f（x），yg（x）1 的图象由图象可知：x时，两图象有一个交点综上可知：方程|f（x）g（x）|1 实数根的个数为 4故选：C106【分析】把 zai 代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件即可求出 a，b 的值，再由复数模的公式计算得答案【解答】解：由 zai，得1+bi，则，解得ab6；z3i，|z|故答案为：6；1187【分析】根据题意求出 n 的值，再由展开式的通项公式求出常数项【解答】解：（+）n的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中项数共有 n+19，解得 n8；由展开式的通项公式为：Tr+1，令0，解得 r2；所以展开式的常数项为：287故答案
15、为：8，71234，9413【分析】由已知利用垂径定理求得 a，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解【解答】解：直线方程为，圆 C：x2+y24y+a0 的圆心坐标为（0，），半径为圆心（0，）到直线的距离 d则，解得 a4圆 C 的圆心坐标为（0，），半径为 4如图，则OBC60，ACB60，圆 C 在 x 轴下方部分与 x 轴围成的图形的面积等于故选：A146【分析】由题意可得，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式得答案【解答】解：如图，ABC 外接圆的圆心 O1在 AC 上，O1 为 AC 的中点，且ABC 是以ABC
16、 为直角的直角三角形，由半径 r11，得 AC2，又 AB1，BC把直三棱柱 ABCA1B1C1补形为长方体，设 BB1x，则其外接球的半径 R又直三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为 52，4R252，即 RR，解得 x4直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为6故答案为：615416【分析】（）化简 f（x）得，f（x），根据 x0，利用整体法求出 f（x）的值域；（）由，求出 A，根据条件求出 B 和 sinC，利用正弦定理求出 b，从而得到ABC 的面积【解答】解：（），因为 x0，所以，所以，所以 f（x）的值域为；（）因为 f（A），所以，所以因为 2a23b2，所以，所以，所以
17、，因为，所以 B，所以由正弦定理，得，所以17【分析】（1）由数列的递推式：当 n1 时，a1S1；当 n2 时，anSnSn1，计算可得所求通项公式；（2）假设存在实数，使得数列3nbn+是等比数列，求得 b1，再由任意正整数，构造等比数列3nbn+，解方程可得，即可判断存在性；（3）由等比数列的通项公式可得 bn（）n+（1）n1，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，讨论 n 为奇数或偶数，即可得到所求和【解答】解：（1）Snn22n+1，当 n1 时，a1S10；当 n2 时，anSnSn1n22n+1（n1）22（n1）12n3，则 an；（2）假设存在实数，使得数列3nbn+
18、是等比数列，数列bn中，b1，对任意正整数可得 b1，且 33n1bn1+3nbn1，由假设可得 3nbn+3（3n1bn1+），则41，可得，可得存在实数，使得数列3nbn+是公比 q3 的等比数列；（3）由（2）可得 3nbn（3b1）（3）n1（3）n1，则 bn（）n+（1）n1，则前 n 项和 Tn+（）n+（+（1）n1，当 n 为偶数时，Tn+0（1）；当 n 为奇数时，Tn+（1）+，则 Tn18【分析】（1）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所
19、成的角求解二面角的大小；（3）假设存在点 M，由共线向量基本定理得到 M 点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线 FM 与直线 PA 所成的角为60转化为两向量所成的角为 60，由两向量的夹角公式求出 M 点的坐标，得到的 M 点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论【解答】（1）证明：因为 F，G 分别为 PB，BE 的中点，所以 FGPE又 FG 平面 PED，PE平面 PED，所以 FG平面 PED（2）解：因为 EA平面 ABCD，所以 PD平面 ABCD，所以 PDAD，PDCD又因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ADCD如图建立空间直角坐标系，因为 ADPD2EA，所以
20、 D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）因为 F，G，H 分别为 PB，EB，PC 的中点，所以 F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）所以，设为平面 FGH 的一个法向量，则，即，再令 y11，得，设为平面 PBC 的一个法向量，则，即，令 z21，得所以所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为（3）在线段 PC 上存在点 M，使直线 FM 与直线 PC 所成角为 60证明：假设在线段 PC 上存在点 M，使直线 FM 与直线 PC 所成角为 60依题意可设，其中 01由，则又因为，所以又直线 FM
21、 与直线 PA 成 60角，所以，即，解得：所以，所以，在线段 PC 上存在点 M，使直线 FM 与直线 PC 所成角为 60，此时 PM 的长为10:10:10:1011032326406400)840)(14(4)108(0840108)41(8)10(4128)10()10(:128:84211441421.192121224422222222222222222222222xylxylxylxylkkkkkkkkkxkxkxkxyxxkyxkylyxcabbbbybxbax或设）（08)(4)(8)41(8)(4)(:)(:0,2:,222:2210),(2201010102212010
22、120022001212120102120200 xkyxkxkyxkxkyxkxyxxkylyxxkyhllllcylyxlxorllyxyxP分别代入椭圆方程设时斜率都存在且不为当此时相切也与则另一条时，即中有一条斜率不存在时当则）设（1)4)(14(41)1(1)1(411441)14(21)14(221|1|222|2|10)2(2)2(,0)2(2)2(0)2(2)2(2810022)8(0282)14(2)(0)(16)14(3202)(14(16)(642121212121212122222121220202101021122121212000220212020022202010
23、021202020202020100212021100212020212010201021201021201021kkkkkkkkkkkkxkykxkyddSdPNdPMdPNOdPMOOMNllkkykyxkykkykyxkyykyxkyyxyxykyxkxkkyxkxykxkyxkykxkykxkykPMN则的距离为到，的距离为到设经过圆心由显然的两根是方程即同理10,882222010,8(425)211(944)1(9)1(949944)3)(34(4)1,0(1112222221PMNPMNPMNSSkorktttttttttStkt时不存在当令20【分析】（1）设切点为（x0，f（
24、x0）由 f（x）a可得 f（x0）a可得切线方程为：y（a）x+lnx0由直线 y2x 与函数 f（x）的图象相切，可得a2，lnx00即可得出 a（2）设 u（x）exx，xRu（x）ex1，利用导数研究其单调性可得 0 是函数 u（x）的极小值点，可得 u（x）u（0）10由 g（x2）x2（x2）0，解得x20由 x1x21，即 x11由题意可得：函数 f（x）lnxax+1 在 x（1，+）上有零点由 f（x）a对 a 分类讨论，研究其单调性即可得出（3）当 a1 时，f（x）lnx+x+1，令 F（x）x2+g（x）f（x）xexlnxx1，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【
25、解答】解：（1）设切点为（x0，f（x0）由 f（x）af（x0）a切线方程为：y（lnx0ax0+1）（a）（xx0）即 y（a）x+lnx0直线 y2x 与函数 f（x）的图象相切，a2，lnx00解得 x01，a1（2）设 u（x）exx，xRu（x）ex1，可得 0 是函数 u（x）的极小值点，可得 u（x）u（0）10由 g（x2）x2（x2）0，解得 x20由 x1x21，即 x11由题意可得：函数 f（x）lnxax+1 在 x（1，+）上有零点由 f（x）a当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在 x（1，+）上单调递增，f（x）f（1）1a0，此时函数 f（x）无零点，舍去
26、当 a0 时，f（x），当 a1 时，1，f（x）0，函数 f（x）在 x（1，+）上单调递减，f（x）f（1）1a0，此时函数 f（x）无零点，舍去当1，即 0a1 时，由 f（x）0，解得 x，可得函数 f（x）在 x（1，）上单调递增，在 x（，+）上单调递减，x时，函数 f（x）取得极大值即最大值，f（）ln0f（1）1a0，函数 f（x）在 x（1，）上无零点由 f（）lna+1ln42lna+1令 h（a）ln42lna+1则 h（a）+0函数 h（a）在 x（0，1）上单调递增，h（a）h（1）30f（）0函数 f（x）在 x（，+）上连续不断，存在唯一的零点f（x）在 x（，+
27、）上有零点综上可得：a（0，1）（3）证明：当 a1 时，f（x）lnx+x+1，令 F（x）x2+g（x）f（x）xexlnxx1，F（x）（x+1）ex1（xex1）令 G（x）xex1，x0则 G（x）（x+1）ex0函数 G（x）在 x（0，+）上单调递增G（0）1，G（1）e10函数 G（x）在区间（0，1）上存在一个零点，即函数 G（x）在区间（0，+）上存在唯一零点 x0（0，1）当 x（0，x0）时，G（x）0，即 F（x）0，此时函数 F（x）单调递减；当 x（x0，+）时，G（x）0，即 F（x）0，此时函数 F（x）单调递增F（x）minF（x0）x0lnx0 x01，由 G（x0）0 可得：x01两边取对数可得：lnx0+x00故 F（x0）1（lnx0+x0）10，x2+g（x）f（x）0即 f（x）g（x）+x2
