1、一、选择题1在地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为，则山顶的仰角为()A BCD解析：如图，设站在 A 处，CD 表示山顶建筑物，C 为山顶，则DAC，DAB，所以观测山顶的仰角为CAB.答案：C2如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度由 B 向 C 航行，其方位角(NBC)为 140.在 A 处有一灯塔，其方位角(NBA)为 110.在 C 处观测灯塔 A 的方位角(NCA)为 35.由 B 到 C 需航行半小时，则 C 到灯塔 A 的距离是()A10 6 km B10 2 kmC10(6 2)km D10(6 2)km解析：由已知得ABC3
2、0，BCA403575，A75.由正弦定理得CAsin ABC BCsin A，所以 CABCsin ABCsin A2012sin 7510(6 2)km.答案：C3一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为()A.17 62海里/小时B34 6海里/小时C.17 22海里/小时D34 2海里/小时解析：如图所示，在PMN 中，PMsin 45MNsin 120，MN68 3234 6，vMN4 1726(海里/小时)故选 A.答案：A4在ABC 中，A60，b1，面积为
3、3，则ABC 外接圆的半径是()A.8 133B.4 33C.2 393D.393解析：由 S12bcsin A，得 312csin 60，所以 c4.由余弦定理得 a2b2c22bccos A，即 a2116214cos 6013，所以 a 13，所以 R12asin A 393.答案：D5(2011 年重庆)若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(ab)2c24，且 C60，则 ab 的值为()A.43B84 3C1 D.23解析：依题意得（ab）2c24，a2b2c22abcos 60ab，两式相减得 ab43，选 A.答案：A二、填空题6轮船 A 和轮船 B 在中午
4、12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_n mile.解析：如图，两船航行的时间为 t，则有 OA50，OB30.而 AB2OA2OB22OAOB cos 120 50230225030(12)2 5009001 5004 900.AB70.答案：707如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿着DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步
5、行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米解析：由题图知，连接 OC，在三角形 OCD 中，OD100，CD150，CDO60，由余弦定理可得 OC21002150221001501217 500，OC50 7.答案：50 78已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b 3，AC2B，则 sin A_解析：在ABC 中，由 AC2B，可得 B3，根据正弦定理asin Absin B，1sin A3sin 3，sin A12.答案：129在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD12DC，ADB120，AD2.若ADC 的面积为3 3，则BAC_解析：如
6、图，ADB120ADC60，SADC12ADDCsin ADC 122CD 32 3 3，CD2（3 3）32(31)又BD12CD，BD 31.在ADB 中，由余弦定理可得 AB2AD2BD22ADBD cos 120 4(31)222(31)(12)6，AB 6.同理在ADC 中，AC2AD2CD22ADCDcos 60 44(31)2222(31)1212(2 3)在ABC 中，cos BACAB2AC2BC22ABAC 62412 39（31）22 62412 312.在ABC 中，BAC(0，180)，BAC60.答案：60三、解答题10(2012 年黄冈模拟)已知向量 m3sinx
7、4，1.ncosx4，cos2x4，记 f(x)mn.(1)若 f()32，求 cos23 的值；(2)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且满足(2ac)cosBbcosC，若 f(A)1 32，试判断ABC 的形状解析：f(x)3sinx4cosx4cos2x4 32 sinx212cosx212 sin(x26)12(1)由已知 f()32得 sin2 6 1232，于是 4k23，kZ，cos(23)cos(23 4k23)1.(2)根据正弦定理知：(2ac)cos Bb cos C(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C 2sin Acos Bsi
8、n(BC)sin Acos B12B3 f(A)1 32，sinA26 121 32A26 3 或23 A3 或而 0A23，所以 A3，因此ABC 为等边三角形11(2011 年湖南)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csin Aacos C.(1)求角 C 的大小；(2)求 3sin Acos B4 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小解析：(1)由正弦定理得 sin Csin Asin Acos C.因为 0A0，从而 sin Ccos C.又 cosC0，所以 tan C1，则 C4.(2)由(1)知，B34 A.于是 3sinAcos B4 3
9、sin Acos(A)3sin Acos A 2sin A6.因为 0A34，所以6 A6 1112.从而当 A6 2，即 A3 时，2sin A6 取得最大值 2.综上所述，3sin Acos B4 的最大值为 2，此时 A3，B512.12如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解析：由题意知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB 中，由正弦定理得DBsin DABABsin ADB，DBABsin DABsin ADB 5（3 3）sin 45sin 105 5（3 3）sin 45sin 45cos 60cos 45sin 60 10 3(海里)，又DBCDBAABC 30(9060)60，BC20 3海里，在DBC 中，由余弦定理得 CD2BD2BC22BDBCcos DBC 3001200210 320 312900，CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)故救援船到达 D 点需要 1 小时