1、训练目标(1)会求线面角、二面角;(2)会解决简单的距离问题训练题型(1)求直线与平面所成的角;(2)求二面角;(3)求距离解题策略利用定义、性质去“找”所求角,通过解三角形求角的三角函数值,尽量利用特殊三角形求解.1如图所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,点A1在底面ABC上的投影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为_2已知正三棱柱ABCA1B1C1的体积为,底面是边长为的正三角形若P为A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为_3如图所示,在三棱锥SABC中,ABC是等腰三角形,ABBC2a,ABC120,SA3a,且SA平面ABC,则点
2、A到平面SBC的距离为_4如图,在等腰直角三角形ABD中,BAD90,且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直,E为BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为_5如图所示,在三棱锥SABC中,SBC,ABC都是等边三角形,且BC1,SA,则二面角SBCA的大小为_6如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下命题:异面直线C1P与B1C所成的角为定值;二面角PBC1D的大小为定值;三棱锥DBPC1的体积为定值;异面直线A1P与BC1间的距离为定值其中真命题的个数为_7(2016山东模拟)如图所示,底面ABC为正三角形,EA平面ABC,DC平
3、面ABC,EAAB2DC2a,设F为EB的中点(1)求证:DF平面ABC;(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值8(2016辽宁沈阳二中月考)如图,在ABC中,ABC45,点O在AB上,且OBOCAB,PO平面ABC,DAPO,DAAOPO.(1)求证:PB平面COD;(2)求二面角OCDA的余弦值9(2016南通模拟)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SA平面ABCD,AB1,ADAS2,P是棱SD上一点,且SPPD.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值;(2)求二面角APCD的余弦值第53练空间角与距离1.2.解析因为AA1底面A1B1C1,所以APA1为PA与平面A1B
4、1C1所成的角因为平面ABC平面A1B1C1,所以APA1为PA与平面ABC所成角因为正三棱柱ABCA1B1C1的体积为,底面三角形的边长为,所以SABCAA1,可得AA1.又易知A1P1,所以tanAPA1,又直线与平面所成的角属于0,),所以APA1.3.解析作ADCB交CB的延长线于点D,连结SD,如图所示SA平面ABC,BC平面ABC,SABC.又BCAD,SAADA,SA平面SAD,AD平面SAD,BC平面SAD,又BC平面SBC,平面SBC平面SAD,且平面SBC平面SADSD.在平面SAD内,过点A作AHSD于点H,则AH平面SBC,AH的长即为点A到平面SBC的距离在RtSAD
5、中,SA3a,ADABsin60a.由,得AH,即点A到平面SBC的距离为.445解析取BD的中点F,连结EF,AF(图略),易得AFBD,AF平面BCD,则AEF就是AE与平面BCD所成的角,由题意知EFCDBDAF,所以AEF45,即AE与平面BCD所成的角为45.56064解析对于,因为在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,在正方体中有B1C平面ABC1D1,而C1P平面ABC1D1,所以B1CC1P,所以这两个异面直线所成的角为定值90,故正确;对于,因为二面角PBC1D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角,而这两个平面为固定不变的平面,所以夹角
6、也为定值,故正确;对于,三棱锥DBPC1的体积还等于三棱锥PDBC1的体积,而DBC1面积一定,又因为PAD1,而AD1平面BDC1,所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离,所以三棱锥的体积为定值,故正确;对于,因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1,平面BCC1B1中,且这两个平面平行,由异面直线间的距离定义及求法,知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离,所以这两个异面直线间的距离为定值,故正确综上可知,真命题的个数为4.7(1)证明如图,过点F作FHEA交AB于点H,连结CH.EA平面ABC,DC平面ABC,EADC.又FHEA,FHDC.F是EB的中点,FHA
7、EDC.四边形CDFH是平行四边形,DFCH.又HC平面ABC,DF平面ABC,DF平面ABC.(2)解ABC为正三角形,H为AB的中点,CHAB.EA平面ABC,CH平面ABC,CHEA.又EAABA,EA平面AEB,AB平面AEB,CH平面AEB.DFHC,DF平面AEB,AF为DA在平面AEB上的射影,DAF为直线AD与平面AEB所成的角在RtAFD中,ADa,DFa,sinDAF,直线AD与平面AEB所成角的正弦值为.8(1)证明因为PO平面ABC,DAPO,AB平面ABC,所以POAB,DAAB.又DAAOPO,所以AOD45.因为OBAB,所以OAAB,所以OAOB,又AOPO,所
8、以OBOP,所以OBP45,即ODPB.又PB平面COD,OD平面COD,所以PB平面COD.(2)解如图,过A作AMDO,垂足为M,过M作MNCD于N,连结AN,则ANM为二面角OCDA的平面角设ADa,在等腰直角三角形AOD中,得AMa,在直角三角形COD中,得MNa,在直角三角形AMN中,得ANa,所以cosANM.9解(1)如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2)设P(x0,y0,z0),由,得(x0,y0,z02)(0,2,2),所以x00,y0,z0,即点P坐标为(0,)(1,),(1,0,0)设直线AB与CP所成的角为,则cos.(2)设平面APC的法向量为m(x1,y1,z1),由于(1,2,0),(0,),所以令y12,则x14,z11,则m(4,2,1)设平面DPC的法向量为n(x2,y2,z2),由于(1,0,0),(1,),所以令y21,则z21,则n(0,1,1)设二面角APCD的大小为,由于cosm,n,由于为钝角,所以coscosm,n.