1、第七节抛物线基础盘查一 抛物线定义及标准方程(一)循纲忆知1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用(二)小题查验1判断正误(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4()(3)若一抛物线过点 P(2,3)，其标准方程可写为 y22px(p0)()2(北师大版教材例题改编)点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x60 的距离小 2，则 M 点的轨迹方程为_y216x3若抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则 a 的值是_解析：抛物线 yax2 可化为 x21ay，14a
2、2，a18.18基础盘查二 抛物线的几何性质(一)循纲忆知1掌握抛物线的简单几何性质2理解数形结合的思想(二)小题查验1判断正误(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a()2(人教 A 版教材例题改编)斜率为 1 的直线经过抛物线 y24x的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为_83若抛物线 x2ay 过点 A1，14，则点 A 到此抛物线的焦点的距离为_解析：由题意可知，点 A 在抛物线 x2ay 上，所以 114a，解得 a4，得 x2
3、4y.由抛物线的定义可知点 A 到焦点的距离等于点 A 到准线的距离，所以点 A 到抛物线的焦点的距离为yA114154.54考点一 抛物线的标准方程及几何性质(基础送分型考点自主练透)必备知识1标准方程顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0)；顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0)提醒 抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p
4、 的值永远大于 0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p0)：(1)对于抛物线 y22px，|PF|p2x0；(2)对于抛物线 y22px，|PF|p2x0；(3)对于抛物线 x22py，|PF|p2y0；(4)对于抛物线 x22py，|PF|p2y0.3与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p 2psin2(为 AB 的倾斜角)(3)1|AF|1|BF|为定值2p.(4)以 AB 为直径的圆与准线相切(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切题组练透1(2014安徽高考)抛物线 y14x2 的准线方程是()Ay
5、1 By2 Cx1 Dx2解析：抛物线 y14x2 的标准方程为 x24y，所以其准线方程为 y1.2(2015石家庄调研)若抛物线 y22px 上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为()Ay24xBy26xCy28xDy210 x解析：抛物线 y22px，准线为 xp2.点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，p22 4.p4.抛物线的标准方程为 y28x.3若抛物线 y24mx 的准线经过椭圆x27 y231 的左焦点，则实数 m 的值为_解析：抛物线 y24mx 的准线方程为 x1m，椭圆x27 y231 的左焦点坐标为(2,0)，由题意知1m2，所以实数 m1
6、2.12类题通法1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题考点二 抛物线的定义及应用(常考常新型考点多角探明)必备知识抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物
7、线的准线提醒 当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线多角探明与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等归纳起来常见的命题角度有：(1)到焦点与定点距离之和最小问题；(2)到点与准线的距离之和最小问题；(3)到定直线的距离最小问题；(4)焦点弦中距离之和最小问题角度一：到焦点与定点距离之和最小问题1已知抛物线的方程为 x28y，F 是焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点 P，使|PF|PA|的值最小解：(2)20)联立方程组，消去 y，得到 k2x22(mkp)xm20 的形式当 k0 时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此
8、时与抛物线只有一个交点；当 k0 时，设其判别式为，(1)相交：0直线与抛物线有两个交点；(2)相切：0直线与抛物线有一个交点；(3)相离：0)和 E2：y22p2x(p20)，过原点 O 的两条直线 l1 和 l2，l1 与 E1，E2 分别交于 A1，A2 两点，l2 与 E1,E2 分别交于 B1,B2 两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过 O 作直线 l(异于 l1，l2)与 E1，E2 分别交于 C1，C2 两点记A1B1C1 与A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2，求S1S2的值解：(1)证明：设直线 l1，l2 的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由yk
9、1x，y22p1x，得 A12p1k21，2p1k1，由yk1x，y22p2x，得 A22p2k21，2p2k1.同理可得 B12p1k22，2p1k2，B22p2k22，2p2k2.所以11A B 2p1k22 2p1k21，2p1k2 2p1k1 2p11k22 1k21，1k2 1k1，22A B 2p2k22 2p2k21，2p2k2 2p2k1 2p21k22 1k21，1k2 1k1.故11A B p1p222A B，所以 A1B1A2B2.(2)由(1)知 A1B1A2B2，同理可得 B1C1B2C2，C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此S1S2|11A B|22
10、A B|2.又由(1)中的11A B p1p222A B 知|11A B|22A B|p1p2.故S1S2p21p22.类题通法直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用演练冲关(2015福州质检)已知抛物线 y22px(p0)在第一象限内与圆 x2y24x10 交于不同
11、的两点 A，B.(1)求 p 的取值范围；(2)如果在 x 轴上只有一个点 M，使 MAMB，求 p 的值及 M 的坐标解：(1)据题意知，p0，x0.设 A(x1，2px1)，B(x2，2px2)把 y22px 代入 x2y24x10 得，x22(p2)x10，x1，x2 是该方程的两不相等的正根，4p2240，x1x22p20，x1x210，即p1或p3，p2，p 的取值范围是(0,1)(2)法一：设 M 的坐标为(m,0)，则MA(x1m，2px1)，MB(x2m，2px2)，MAMBx1x2m(x1x2)m22p x1x2.把 x1x21，x1x242p 代入，得MAMBm2(42p)
12、m2p1，MAMB，m2(42p)m2p10，据题意该方程只有一个根，(42p)24(2p1)0，即 p26p30，p3 6(p1，舍去 p3 6)，此时 m42p2 61，即 M 的坐标为(61,0)法二：设 AB 的中点坐标为(x0，y0)据题意，以线段 AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切，即 y0|AB|2(此时 M 的横坐标为 x0)y0 2px1 2px22 2p x1x22 x1x22 2p 62p2 p3p，|AB|2(x1x2)2(2px1 2px2)2x21x222x1x22p(x1x22 x1x2)(x1x2)24x1x22p(x1x22 x1x2)(42p)242p(22p)12(1p)，由 y0|AB|2 得 4y20|AB|2，即 4p(3p)12(1p)，即 p26p30，p3 6(p1，舍去 p3 6)，此时 M 的横坐标为 x0 x1x222p 61，即 M 的坐标为(61,0)“课后演练提能”见“课时跟踪检测(五十六)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
