1、第2课时对数的运算知识点一对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logalogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)知识点二对数换底公式logab(a0，a1，c0，c1，b0)特别地：logablogba1(a0，a1，b0，b1)对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2(3)(5)log2(3)log2(5)是错误的对数换底公式常见的两种变形(1)logablogba1，即logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数(2)logNnMm
2、logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍 小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差()(2)loga(xy)logaxlogay.()(3)log2(5)22log2(5)()(4)由换底公式可得logab.()答案：(1)(2)(3)(4)2下列等式成立的是()Alog2(84)log28log24B.log2Clog283log22 Dlog2(84)log28log24解析：由对数的运算性质易知C正确答案：C3.的值为()A. B2C. D.解析：原式log392.答案：B4计算2log51
3、0log50.25的值为_解析：原式log5102log50.25log5(1020.25)log525log5522.答案：2类型一对数运算性质的应用例1(1)若lg 2a，lg 3b，则()A.B.C. D.(2)计算：lg2lg 21_；(3)求下列各式的值log53log5；(lg 5)2lg 2lg 50；lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.【解析】(1).(2)lg2lg 21lg 5lg 22lg 22(lg 5lg 2)2121.(3)log53log5log5log510.(lg 5)2lg 2lg 50(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg
4、2lg 2lg 5lg 5(lg 5lg 2)lg 2lg 5lg 2lg 101.原式lg 25lg 8lglg(102)(lg 2)2lg 25lg 4(lg 10lg 2)(lg 10lg 2)(lg 2)2lg 100(lg 10)2(lg 2)2(lg 2)2213.【答案】(1)B(2)1(3)见解析(1)用对数运算性质把所求式化为用lg 2和lg 3表示的形式(2)用对数的运算性质求解(3)注意对数运算性质loga10的综合应用方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(2)对数式
5、的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2lg 51在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式跟踪训练1求下列各式的值：(1)log318log36； (2)log32log2；(3)log2log2； (4).解析：(1)原式log3log331.(2)原式log3log4log121.(3)原式log2 log2log2log242.(4)原式1.利用对数运算性质化简求值类型二对数换底公式的应用例2(1)已知2x3ya，则2，则a的值为()A36B6C2D.(2)计算下列各式：log89log2732；2lg 4lg 5lg 8；64l
6、g 42lg 5.【解析】(1)因为2x3ya，所以xlog2a，ylog3a，所以loga2loga3loga62，所以a26，解得a.又a0，所以a.(2)log89log2732.2lg 4lg 5lg 8lg 16lg 5lg 8lg1.64lg 42lg 54lg(452)426.【答案】(1)D(2)见解析1先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值2先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分方法归纳 (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底(2)换
7、底公式的派生公式：logablogaclogcb；loganbmlogab.,跟踪训练2(1)式子log916log881的值为()A18B.C.D.(2)(log43log83)(log32log98)等于()A. B. C. D以上都不对解析：(1)原式log3224log23342log32log23.(2)原式log32.答案：(1)C(2)B利用换底公式化简求值类型三用已知对数表示其他对数例3已知log189a,18b5，用a，b表示log3645.解析：方法一因为log189a，所以918a.又518b，所以log3645log218(59)log21818ab(ab)log218
8、18.又因为log21818，所以原式.方法二18b5，log185b.log3645.方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用跟踪训练3(1)已知log62p，log65q，则lg 5_；(用p，q表示)(2)已知log147a,14b5，用a，b表示log3528；设3x4y36，求的值解析：(1)lg 5.(2)log147a,14b5，blo
9、g145.log3528.3x36,4y36，xlog336，ylog436，log363，log364，2log363log364log36(94)1.答案：(1)(2)1,(1)利用换底公式化简(2)利用对数运算性质化简求值基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1若a0，a1，xy0，下列式子：logaxlogayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；logalogaxlogay；loga(xy)logaxlogay.其中正确的个数为()A0个 B1个C2个 D3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确答案：A2化简log6122log6的结果为(
10、)A6 B12Clog6 D.解析：log6122log6(1log62)log62(1log62)log63log6.答案：C3设lg 2a，lg 3b，则()A. B.C. D.解析：.答案：C4若log34log8mlog416，则m等于()A3 B9C18 D27解析：原式可化为log8m，即lg m，lg mlg 27，m27.故选D.答案：D5若lg xm，lg yn，则lglg2的值为()A.m2n2 B.m2n1C.m2n1 D.m2n2解析：因为lg xm，lg yn，所以lglg2lg x2lg y2m2n2.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6lg 10
11、000_；lg 0.001_.解析：由10410 000知lg 10 0004,1030.001得lg 0.0013，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：437若log5log36log6x2，则x等于_解析：由换底公式，得2，lg x2lg 5，x52.答案：8.(lg 32lg 2)_.解析：原式lglg 244.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9化简：(1)；(2)(lg 5)2lg 2lg 5021log25.解析：(1)方法一(正用公式)：原式.方法二(逆用公式)：原式.(2)原式(lg 5)2lg 2(lg 51)212log2lg 5(lg 5lg 2)l
12、g 2212.10计算：(1)log1627log8132；(2)(log32log92)(log43log83)解析：(1)log1627log8132.(2)(log32log92)(log43log83)log32log23.能力提升(20分钟，40分)11设9a45，log95b，则()Aab9 Bab1Ca9b Dab1解析：由9a45得alog945log99log951b，即ab1.答案：B12设4a5bm，且1，则m_.解析：由4a5bm，得alog4m，blog5m，所以logm4，logm5，则logm4logm5logm101，所以m10.答案：1013求下列各式的值：(
13、1)2log32log3log385log53；(2)(1log63)2log62log618log64.解析：(1)原式2log32(log332log39)3log3232log325log3223log3231.(2)原式(log66log63)2log62log6(232)log642log62(log62)2(log62)22log62log632log62log62log63log6(23)1.14已知x，y，z均大于1，a0，logza24，logya40，log(xyz)a12，求logxa.解析：由logza24得logaz，由logya40得logay，由log(xyz)a12得loga(xyz)，即logaxlogaylogaz.所以logax，解得logax，所以logxa60.
