1、专题六十四 离散型随机变量的均值与方差【热点题型】题型一 离散型随机变量的均值与方差 例1、(1)已知离散型随机变量X的分布列为：X1009080P0.40.20.4则EX=,DX=.(2)已知离散型随机变量X的分布列为:则EX=,E(2X-3)=.【提分秘籍】 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能的全部值.求X取每个值的概率.写出X的分布列.由均值的定义求EX.由方差的定义求DX.(2)若X是离散型随机变量，则aX+b(a,b是常数，且a0)也是离散型随机变量，且E(aX+b)=aEX+b.【举一反三】在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种
2、结果，其中某歌唱家判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该歌唱家答完n题后总得分为Sn”.(1)当p=q=1/2时，记X=|S3|，求X的分布列、数学期望及方差.(2)当p=1/3, q=2/3时，求S8=2且Si0(i=1,2,3,4)的概率.此时的概率为【热点题型】题型二 与二项分布有关的期望与方差 例2、】(1)某同学参加科普知识竞赛，需回答4个问题，每一道题能否正确回答是相互独立的，且回答正确的概率是 ，若回答错误的题数为X,则EX=_,DX=_.(2)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每
3、个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E.设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4，由于A3与A4互斥，故所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1/9.【提分秘籍】 与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果
4、XB(n,p)，则用公式EX=np,DX=np(1-p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX+b)=aEX+b以及EX=np求出E(aX+b)，同样还可求出D(aX+b).【特别提醒】E(aX+b)=aEX+b，但注意D(aX+b)aDX+b，D(aX+b)aDX.【举一反三】今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量例如，家居用电的碳排放量(千克)耗电度数0.785，汽车的碳排放量(千克)油耗公升数0.785等某班同学利用寒假在两个小区逐
5、户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是“低碳族”的概率.(2)A小区经过大力宣传，每周“非低碳族”中有20%的人加入到“低碳族”的行列如果2周后随机地从A小区中任选25人，记X表示25人中“低碳族”人数，求EX【热点题型】题型三 均值与方差的实际应用 例3、(1)两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为( )(A)ab (B)ab(C)1ab (D)1ab(2)一个盒子中装有大小相同的
6、10个小球，其中2个红球，4个黑球，4个白球规定：一次摸出3个球，如果这3个球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元若某人摸一次球，求他获奖励的概率；若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量X为获奖励的人数，求P(X1)及这10人所得钱数的期望(结果用分数表示，参考数据：【提分秘籍】均值与方差的实际应用(1)DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，统计中常用 来描述X的分散程度.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随
7、机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【举一反三】某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为_元 【解析】设要求投保人交x元，公司的收益额作为随机变量，则P(Xx) 1p，P(Xxa)p，故EXx(1p)(xa)pxap，xap0.1a，x(0.1p)a. 答案：(0.1p)a【高考风向标】 1（2014福建卷）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的
8、袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 以下是对两个方案的分析： 2（2014辽宁卷）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直
9、方图，如图14所示图14将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未【随堂巩固】 1 已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D8答案C解析由分布列性质知：0.50. 1b1，b0.4.E(X)40.5a0
10、.190.46.3，a7.2 已知X的分布列为，且YaX3，E(Y)，则a的值为()A1 B2 C3 D4 3 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为 ()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4 4 体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是()A. B.C. D. 5 若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E (X)，D
11、(X)，则x1x2的值为 ()A. B. C3 D.答案C解析分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：解得或又x1x2，x1x23.6 已知抛物线yax2bxc (a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量|ab|的取值，则的数学期望E()为()A. B. C. D. 7 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为 ()A. B. C. D. 8 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，
12、那么他罚球1次的得分X的均值是_答案0.7解析E(X)10.700.30.7.9 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)_. 10 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：x123P(x)？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_.答案2解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E()1x2(12x)3xx24x3x2.11 为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检
13、测，如果这三项中至少有两项通过即可入选假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，.这三项测试能否通过相互之间没有影响(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望解(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件： MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP).所以，A能够入选的概率为. 12某市公租房的房源位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其中一个
14、片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 ， 13某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由方法一花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.
