1、第五节数列的综合应用考点一 等差数列与等比数列的综合问题(重点保分型考点师生共研)必备知识解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解典题例析(2013天津高考)已知首项为32的等比数列an不是递减数列，其前 n项和为 Sn(nN*)，且 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 TnSn 1Sn(nN*),求数列Tn的
2、最大项的值与最小项的值解：(1)设等比数列an的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3，于是 q2a5a314.又an不是递减数列且 a132，所以 q12.故等比数列an的通项公式为an3212n1(1)n1 32n.(2)由(1)得 Sn112n1 12n，n为奇数，1 12n，n为偶数.当 n 为奇数时，Sn 随 n 的增大而减小，所以 1SnS132，故 0Sn 1SnS1 1S1322356；当 n 为偶数时，Sn 随 n 的增大而增大，所以34S2Sn1，故 0Sn1SnS2 1S23443 712.综上，
3、对于 nN*，总有 712Sn 1Sn56.所以数列Tn的最大项的值为56，最小项的值为 712.类题通法等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的提醒 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合 演练冲关 已知等差数列an的首项 a1
4、1，公差 d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对 nN*均有c1b1c2b2cnbnan1 成立，求 c1c2c3c2 014.解：(1)由已知有 a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得 d2(d0)an1(n1)22n1.又 b2a23，b3a59，数列bn的公比为 3，bn33n23n1.(2)由c1b1c2b2cnbnan1，得当 n2 时，c1b1c2b2cn1bn1an.两式相减得：2bn23n1(n2)又当 n1 时，c1b1a2，3
5、，n1，23n1，n2.c1c2c3c2 01436232 014133(332 014)32 014.考点二 等差数列与等比数列的实际应用(重点保分型考点师生共研)必备知识数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an1 的递推关系，还是前 n 项和 Sn 与 Sn1 之间的递推关系典题例析 某企业的资金每一年都比上一年分
6、红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红 500 万元该企业 2010 年年底分红后的资金为 1 000 万元(1)求该企业 2014 年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元解：设 an 为(2010n)年年底分红后的资金，其中 nN*，则 a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为 a15001 000，公比为 2 的等比数列an5001 0002n1，an1 0002n1500.(1)a41 0002415008 500，
7、该企业 2014 年年底分红后的资金为 8 500 万元(2)由 an32 500，即 2n132，得 n6，该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元类题通法解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：演练冲关 某乡镇引进一高科技企业，投入资金 720 万元建设基本设施，第一年各种运营费用 120 万元，以后每年增加 40 万元每年企业销售收入 500 万元，设 f(n)表示前 n 年的纯收入(f(n)前 n年的总收入前 n 年的总支出投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产
8、品，有两种处理方案：年平均利润最大时，以 480 万元出售该企业；纯利润最大时，以 160 万元出售该企业问哪种方案最合算？解：由题意知每年的运营费用(万元)是以 120 为首项，40 为公差的等差数列则 f(n)500n120nnn1240 72020n2400n720.(1)获取纯利润就是 f(n)0，故有20n2400n7200，解得 2n18.又 nN*，可知从第三年开始获取纯利润(2)年平均利润fnn 40020n36n 160，当且仅当 n6 时取等号故此方案获利 6160480 1 440(万元)，此时 n6.f(n)20n2400n72020(n10)21 280，当 n10
9、时，f(n)max1 280.故此方案共获利 1 2801601 440(万元)比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第种方案只需 6 年，第种方案需要 10 年，故选择第种方案考点三 数列与其他知识的交汇(常考常新型考点多角探明)多角探明 数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：(1)数列与函数的交汇；(2)数列与不等式的交汇.角度一：数列与函数的交汇1(2015温州十校联考)已知二次函数 f(x)ax2bx 的图象过点(4n,0)，且 f(0)2n，nN*，数列an满足 1an1f1a
10、n，且 a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记 bn anan1，求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)f(x)2axb，由题意知 b2n,16n2a4nb0，a12，b2n，则 f(x)12x22nx，nN*.数列an满足 1an1f1an，又 f(x)x2n，1an1 1an2n，1an1 1an2n，由叠加法可得 1an142462(n1)n2n，化简可得 an42n12(n2)，当 n1 时，a14 也符合，an42n12(nN*)(2)bn anan142n12n1212n112n1，Tnb1b2bn a1a2 a2a3 anan12113 1315 12n112n1211
11、2n1 4n2n1.角度二：数列与不等式的交汇2(2015长沙二模)已知数列an是公差不为零的等差数列，a1015，且 a3，a4，a7 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnan2n，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：74Tn1(nN*)解：(1)设数列an的公差为 d(d0)，由已知得a1015，a24a3a7，即a19d15，a13d2a12da16d，解得a13，d2.an2n5(nN*)(2)证明：bnan2n2n52n，nN*.Tn32 122 1232n52n，12Tn322 123 1242n72n2n52n1，得12Tn32 2122 123 12n 2n5
12、2n1 1212n2n1，Tn12n12n(nN*)，2n12n0(nN*)，Tn1.Tn1Tn12n12n1 12n12n2n32n1，TnTn1(n2)又 T111232，T21414 74.T1T2，T2 最小，即 TnT274.综上所述，74Tn1(nN*)类题通法1数列与函数的综合一般体现在两个方面(1)以数列的特征量 n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题2数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了“课后演练提能”见“课时跟踪检测(三十四)”(单击进入电子文档)“板块命题点专练（八）”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
