1、综合学业质量标准检测(二)本检测仅供教师备用，学生书中没有时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2019衡水中学高二检测)已知a，bR，且2ai，bi(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2pxq0的两个根，那么p，q的值分别是(A)Ap4，q5Bp4，q3Cp4，q5 Dp4，q3解析分别将2ai，bi代入方程得：对整理由复数相等的条件得：解得p4，q5.本题也可以用“韦达定理”求解：2aibip，(2ai)(bi)q由复数相等的条件对整理得：故选A2曲线y4xx3在点(1，3)处的切线方程是(
2、D)Ay7x4 Byx4Cy7x2 Dyx2解析y|x1(43x2)|x11，切线方程为y3x1，即yx2.3用反证法证明“若abc0，xln(k1)，仅当k0时，x0Z，因此函数yex1是一阶格点函数对于，注意到函数yx2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数yx2不是一阶格点函数综上所述知选C7设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列各点一定在y轴上的是(A)A(b，a) B(a，c)C(c，b) D(ab，c)解析f (x)3ax22bxc，由题意知1，1是方程3ax22bxc0的两根，则110，所以b0.故选A8已知函数f(x)(xR)满足f
3、(2)3，且f(x)在R上的导数满足f (x)10，则不等式f(x2)x21的解集为(C)A(，) B(，)C(，)(，) D(，)解析令g(x)f(x)x，则g(x)f (x)10，g(x)在R上单调递减由f(x2)x21，得f(x2)x21，即g(x2)1.又g(2)f(2)21，g(x2)2，解得x或x1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是(C)A BC D解析若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，若ab2，则a，b中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a1且b1，则ab2，与ab2矛盾，因此
4、假设不成立，故a，b中至少有一个大于1，故选C10定义复数的一种运算z1|z1|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数zabi，且正实数a，b满足ab3，则z*的最小值为(B)A BC D解析z*，又ab()2，ab，z*.11若0x3sinxB2x3sinxC2x3sinxD与x的取值有关解析令f(x)2x3sinx，则f (x)23cosx.当cosx0，当cosx时，f (x)0，当cosx时，f (x)0.即当0x0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sinx的大小关系与x取值有关故选D12设曲线yxn1(nN*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2017x
5、1log2017x2log2017x2016的值为(B)Alog2017x2016 B1Clog2017x20161 D1解析y|x1n1，切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.所以log2017x1log2017x2log2017x2016log2017(x1x2x2016)log2017()1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13(2019浙江卷，11)复数z(i为虚数单位)，则|z|.解析zi，易得|z|.14(2019天津卷文，11)曲线ycos x在点(0,1)处的切线方程为yx1.解析ysin x，将x0代入，可得切线
6、斜率为.所以切线方程为y1x，即yx1.15请阅读下列材料：若两个正实数a1、a2满足aa1，那么a1a2.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1.因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2)280，所以a1a2.类比上述结论，若n个正实数满足aaa1，你能得到的结论为a1a2an(nN*).解析构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，f(x)0对任意实数x都成立，4(a1a2an)24n0，a1，a2，an都是正数，a1a2an.16若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，
7、则b1ln2.解析设ykxb与ylnx2和yln(x1)的切点分别为(x1，lnx12)和(x2，ln(x21)则切线分别为ylnx12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxlnx11，yxln(x21)，依题意，解得x1，从而blnx111ln2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)设为复数z的共轭复数，满足|z|2.(1)若z为纯虚数，求z；(2)若z2为实数，求|z|.解析(1)设zbi(bR，且b0)，则bi，因为|z|2，则|2bi|2，即|b|，所以b，所以zi.(2)设zabi(a，bR)，则abi，因
8、为|z|2，则|2bi|2，即|b|，z2abi(abi)2aa2b2(b2ab)i.因为z2为实数，所以b2ab0，因为|b|，所以a，所以|z|.18(本题满分12分)已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：，不可能构成等差数列解析假设，能构成等差数列，则得，于是得bcab2ac.而由于a，b，c构成等差数列，即2bac.所以由两式得，(ac)24ac，即(ac)20，于是得abc，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾故假设不成立，因此，不能构成等差数列19(本题满分12分)设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值解析f(x)cosxs
9、inx1sin(x)1(0x0，cnn0，0，又0nn1，nn1，01，1，即cn12，讨论函数f(x)的单调性；(2)已知a1，g(x)2f(x)x3，若数列an的前n项和为Sng(n)，证明：2，所以a11.故当1xa1时f(x)0；当0xa1时f(x)0.函数f(x)在区间(1，a1)上单调递减，在区间(0,1)和(a1，)上单调递增(2)由a1知g(x)x3x22x，所以Snn3n22n.可得anan3n2n2(n2)所以(n2)因为()，所以(1)()()(1)，综上，不等式得证22(本题满分12分)(2019北京卷理，19)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为
10、1的切线方程(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x.(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解析(1)由f(x)x3x2x得f (x)x22x1.令f (x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明：令g(x)f(x)x，x2,4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2,0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.
