1、综合检测（二） 向量的数量积与三角恒等变换（A、B卷）A卷学业水平考试达标练(时间：90分钟满分：120分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1cos275cos215cos 75cos 15的值是()A.B.C. D1解析：选A原式sin215cos215sin 15cos 151sin 30.2已知锐角满足cos，则sin()A. BC.D解析：选C锐角满足cos，为锐角，sin ，则sin2sincos2.3已知(2,8)，(7,2)，则()A(3,2) B.C(3，2) D解析：选C(7,2)(2,8)(9，6)，
2、(9，6)(3，2)4已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于()A5 B.C.D13解析：选B因为ab(3,2)，所以|ab|，故选B.5设向量a，b均为单位向量，且|ab|1，则a与b的夹角为()A. B.C. D解析：选C|ab|1，|a|22ab|b|21，cosa，b.又a，b0，a，b.6若|a|b|1，ab，且(2a3b)(ka4b)，则k()A6 B6C3D3解析：选B由题意，得(2a3b)(ka4b)2ka2(3k8)ab12b20，由于ab，故ab0，又|a|b|1，于是2k120，解得k6.7ysin xcos xsin2x可化为()AysinBysinC
3、ysinDy2sin1解析：选Aysin 2xsin 2xcos 2xsin.8若平面向量a(1,2)与b的夹角是180，且|b|3，则b的坐标为()A(3，6) B(3,6)C(6，3)D(6,3)解析：选A由题意设ba(，2)(0)，而|b|3，则3，所以3，b(3，6)9若为锐角，3sin tan tan ，则tan 2等于()A. B.CD解析：选D由3sin tan ，得cos ，sin . tan 3sin 2，tan 2.tan 2.10在ABC中，若()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选C由()|2，得()0，即()0，
4、20，A90.故选C.二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)11设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直Dab解析：选ABC由题意知|a|1，|b|，故A正确；ab10，故B正确；(ab)bab|b|20，故ab与b垂直，故C正确，D明显错误12下列各式中，值为的是()A2sin 15cos 15 Bcos215sin215C12sin215Dsin215cos215解析：选BCA中，2sin 15cos 15sin 30；B中，cos215sin215cos 30；C中，12sin215cos 30；D中显然不是.三、填空题(本大题共4
5、小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于_解析：2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)在平面直角坐标系中，根据图形得2ab与ab的夹角为.答案： 14化简cos 28的结果为_解析：cos 28cos 28tan 28cos 28.答案：15若向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.解析：|5ab| 7.答案：716已知，且sin ，则sin2的值为_解析：cos ，原式sin 2cos 2sin cos .答案：四、解答题(本大题共4小题，共40分解答应写出必要的
6、文字说明、证明过程或演算步骤)17(8分)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)求|a|的值；(2)求证：ab与ab互相垂直解： (1)|a|1，|a|1.(2)证明：|a|2cos2sin21，|b|2sin2cos21，(ab)(ab)|a|2|b|20，ab与ab互相垂直18(10分)已知sin cos ，且0，求sin 2，cos 2，tan 2的值解：sin cos ，sin2cos22sin cos ，sin 2且sin cos 0.00，cos 0，sin cos ，cos 2cos2sin2(sin cos )(cos sin )，tan 2.19(
7、10分) 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|b|2，且ab，求b的坐标(2)若|c|，且2ac与4a3c垂直，求a与c的夹角.解：(1)设b(x，y)，因为ab，所以y2x.又因为|b|2，所以x2y220.由联立，解得b(2,4)或b(2，4)(2)由已知(2ac)(4a3c)，则(2ac)(4a3c)8a23c22ac0，又|a|，|c|，解得ac5，所以cos ，0，所以a与c的夹角.20(12分)设函数f(x)mn，其中向量m(2cos 2x,1)，n(1,3)，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x时，求f(x)的最大值解： (1)m(2cos
8、2x,1)，n(1,3)，f(x)mn2cos 2x3，f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知，f(x)2cos 2x3.x，2x，当2x0即x0时，f(x)max5.B卷高考应试能力标准练(时间：90分钟满分：120分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若tan 3，tan ，则tan()等于()A3BC3 D解析：选Dtan().2在锐角ABC中，设xsin Asin B，ycos Acos B，则x，y的大小关系为()Axy BxyCxyDxy解析：选Bxysin Asin Bcos Acos Bcos(AB)，
9、ABC是锐角三角形，AB0，xy.3.等于()A0 B12C12D12解析：选Aa0(a0为a的单位向量)原式(1a01b0)(2a02b0)12(ab)0.4(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3 B2C2D3解析：选C(3，t)(2,3)(1，t3)，|1，1，解得t3，(1,0)，21302.5已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4C.D解析：选B由题意知，cosm，n，所以mn|n|2n2，因为n(t mn)0，所以t mnn20，即t n2n20，所以t4.6已知sin，则cos()A BC D解析：
10、选A由sincoscos，得cos2cos211.7已知锐角的终边经过点P(cos 50，1sin 50)，则锐角等于()A10 B20C70D80解析：选C由三角函数的定义tan tan 70. 所以70.8.如图所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则()的最小值是()A2 B0C1D2解析：选D由平行四边形法则得2，故()2，又|2|，且，反向，设|t(0t2)，则()22t(2t)2(t22t)2(t1)210t2，当t1时，()取得最小值2，故选D.9已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，若a与b的夹角为，
11、则cos()的值为()A. B.C.D解析：选B因为a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，所以|a|b|1.又a与b的夹角为，所以ab11cos.又ab(cos ，sin )(cos ，sin )cos cos sin sin cos()，所以cos().10已知0，点P(1,4)为角的终边上一点，且sin sincos cos，则角()A. B.C. D解析：选DP(1,4)，|OP|7，sin ，cos .又sin cos cos sin ，sin().0，0，cos()，sin sin()sin cos()cos sin().0，.二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分
12、，共10分)11下列各式与tan 相等的是()A. B.C.(0，)D.解析：选CDC中，因为(0，)，所以原式tan ；D中，tan .12ysinsin 2x的一个单调递增区间是()A. B.C. D解析：选BCysinsin 2xsin 2xcos cos 2xsinsin 2xsin，其增区间是函数ysin的减区间，即2k2x2k，kZ，kxk，kZ.当k0时，x；当k1时，x.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_解析：(ab)(a2b)|a2|ab2|b|21a
13、b87，ab0，ab.故a，b的夹角为.答案：14已知函数f(x)sin 2xcos 2x，且函数yf(0)是一个偶函数，则的值等于_解析：f(x)sin，因为yfsin是一个偶函数，且0，所以可以令，此时fcos 2x为偶函数，解得.答案： 15已知A，B，C皆为锐角，且tan A1，tan B2，tan C3，则ABC的值为_解析：tan B2，tan C3，tan(BC)1.又B，C皆为锐角，BC(0，)，BC，又tan A1，A为锐角，A，ABC.答案：16若对n个向量a1，a2，an存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，使得k1a1k2a2knan0成立，则称向量a1，a2，an为
14、“线性相关”依此规定，能说明a1(1,2)，a2(1，1)，a3(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取_(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)解析：由k1a1k2a2k3a30得k14k3，k22k3，令k3c(c0)，则k14c，k22c.再令c1，得k14，k22，k31.答案：4,2,1四、解答题(本大题共4小题，共40分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(8分)如图所示，已知ABCD中，AB3，AD1，DAB，求对角线AC和DB的长解：设a，b，a与b的夹角为，则|a|3，|b|1，.ab|a|b|cos .又ab，ab，|，|.AC，DB.18(1
15、0分)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间解：(1)由sin x0得xk(kZ)，故f(x)的定义域为x|xR且xk，kZf(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk，xk(kZ)f(x)的单调递增区间为和(kZ)19(10分)已知A，B，C是ABC的三个内角，向量m(1，)，n(cos A，sin A)，且mn1.(1)求角A；(2)若3，求tan C.解：(1)mn1，sin Acos A1，21，sin，0A，A，A.A.(2)由题知3
16、，3，tan B2.tan Ctan(AB)tan(AB).20.(12分)如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B，AOB.(1)求的值；(2)设AOP，四边形OAQP的面积为S，f()(1)2S1，求f()的最值及此时的值解：(1)依题意，tan 2，10.(2)由已知点P的坐标为P(cos ，sin )，又，|，四边形OAQP为菱形，S2SOAPsin ，A(1,0)，P(cos ，sin )，(1cos ，sin )，1cos ，f()(1cos 1)2sin 1cos2sin 1sin2sin 2.sin 1，当sin ，即时，f()max；当sin 1，即时，f()min1.
