1、广东省肇庆市2020届高三数学第三次统一检测试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）1. 已知集合Ax|x10，Bx|x22x80，则R（AB）（ ）A. 2，1B. 1，4C. （2，1）D. （，4）【答案】C【解析】【分析】根据已知求出A，B，再求AB，进而求其补集【详解】A=x|x10=x|x1，Bx|x22x80=x|x2或x4，AB=x|x2或x1，则R(AB)=(2,1).故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的基本运算，属于基础题.2. 复数z的共轭复数满足，则z（ ）A. 2+iB. 2iC. l+2iD. 12i【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由
2、复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案.【详解】由5，得，z2+i.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.3. 在等差数列an中，前n项和Sn满足S8S345，则a6的值是（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解.【详解】因为S8S3a4+a5+a6+a7+a845，由等差数列的性质可得，5a645，则a69.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题.4. 在中，则在方向上的投影是（ ）A. 4B. 3C. -4D. -3【答案】D【解
3、析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.详解：如图所示：，又，在方向上的投影是：，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5. 设，满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可【详解】解：作出，满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中，1 ，为坐标原点设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值 2，故选：【点睛】本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查
4、了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题6. 命题p：曲线yx2的焦点为；命题q：曲线的渐近线方程为y2x；下列为真命题的是（ ）A. pqB. pqC. p（q）D. （p）（q）【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得到选项.【详解】曲线yx2的焦点为（0，），所以P是假命题；是真命题，曲线的渐近线方程为y2x，q是真命题，所以是真命题.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.7. 某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2
5、017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A. 该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B. 该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C. 该企业2018年其它费用是2017年工资金额的D. 该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍【答案】B【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解【详解】解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018
6、年全年的收入为2t.对于选项A，该企业2018年原材料费用为0.32t0.6t，2017年工资金额与研发费用的和为0.2t+0.1t0.3t，故A错误；对于选项B，该企业2018年研发费用为0.252t0.5t，2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t+0.15t+0.15t0.5t，故B正确；对于选项C，该企业2018年其它费用是0.052t0.1t，2017年工资金额是0.2t，故C错误；对于选项D，该企业2018年设备费用是0.22t0.4t，2017年原材料的费用是0.15t，故D错误.故选：.【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属于基础题8.
7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案.【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径，所以外接球的表面积.故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中.9. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象求出、的
8、范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论【详解】由函数的图象可得，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题10. 已知角的终边经过点（2，3），将角的终边顺时针旋转后，角的终边与单位圆交点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出sin，cos，设角的终边顺时针旋转后得到的角为角，则coscos，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果【详解】角的终边经过点(2,3)，设角的终边顺时针旋转后得
9、到的角为角，coscos(cos+sin)，终边与单位圆交点的横坐标为.故选：B【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义以及两角和与差三角函数公式的应用，属于基础题11. 已知a2log2，c5log5，则（ ）A. abcB. cabC. bcaD. bac【答案】D【解析】【分析】把a，b，c化为，比较大小，则cab，即可得解.【详解】a2log2，c5log5，,又，cab.故选：D【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了推理能力和运算求解能力，属于基础题.12. 若函数在单调递增，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在单调递增，等价于恒成立，
10、换元后可得在上恒成立，利用二次函数的性质可得结果.【详解】 ，设，在递增，在上恒成立，因为二次函数图象开口向下，的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，
11、小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，_天后两只老鼠打穿城墙【答案】6【解析】大老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为的等比数列所以距离之和所以这两只老鼠相逢所需天数为6天.14. 展开式中的系数为_【答案】-320【解析】【分析】先求展开式的通项公式，再求的展开式中含的项，最后求展开式中的系数.【详解】易知展开式的通项公式为，所以的展开式中含的项为与，所以展开式中的系数为.故答案为：-320【点睛】本题主
12、要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.15. 已知点是双曲线左支上一点，是双曲线左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是_ .【答案】【解析】【分析】根据题意得，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义求解离心率.【详解】由题：双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，O是的中点，所以渐近线与平行，所以，所以，又所以，所以，离心率.故答案为：【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于根据题意找出等量关系，结合几何特征求解.16. 在矩形ABCD中，AB1，AD2，ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥ABCD当时，三棱锥ABCD的体积为；当面ABD面
13、BCD时，ABCD；三棱锥ABCD外接球的表面积为定值以上命题正确的是_【答案】【解析】【分析】在中，由题意可得平面ACD，利用即能求出三棱锥ABCD的体积；在中，过点A作AE平面BCD，交BD于E，则AECD，即可得 AB与CD不垂直；在中，三棱锥ABCD外接球的球心为O，半径为，从而三棱锥ABCD外接球的表面积为定值【详解】在矩形ABCD中，AB1，AD2，AC=BD，ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥ABCD在中，当时, ，又，平面ACD，故错误；在中，当面ABD面BCD时，过点A作AE平面BCD，交BD于E，则AECD，又CD与平面ABD不垂直，故AB与CD不垂直，故错误；在中，取BD
14、的中点O，连接OA、OC，OAOBOCOD，三棱锥ABCD外接球的球心为O，半径为，三棱锥ABCD外接球的表面积为定值，故正确故答案为：【点睛】本题考查了空间位置关系及三棱锥体积、外接球相关问题的求解，考查了推理论证能力，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17. 已知在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，.（1）求A；（2）若b4，c6，求sinB的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围0A，0B即可解得A的值.（2）由余弦定理可得a的值，由正弦定理可求sinB的值.【详解】（1）由asinB及正弦定理可得，因为A+B+
15、C，所以，又，所以，因为0A，0B，所以，所以，因此，即.（2）由余弦定理可得，所以，由正弦定理得，得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.18. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1菱形，且CACB1（1）证明：面CBA1面CB1A；（2）若BAA160，A1CBCBA1，求二面角CA1B1C1的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设AB1与A1B交于O，连接OC，先证明AB1平面CA1B，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由A1CBC，故COA1B，又（1）知
16、OCAB1，AB1A1BO，故OC平面ABB1A1，以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面CA1B1和平面C1A1B1的法向量，利用夹角公式求出即可【详解】（1）证明：设AB1与A1B交于O，连接OC，如图，因为侧面ABB1A1是菱形，所以AB1A1B，又CACB1，所以OCAB1，又A1BCOO，故AB1平面CA1B，又AB1平面CAB1，故平面CBA1平面CB1A；（2）由A1CBC，故COA1B，又（1）知OCAB1，AB1A1BO，故OC平面ABB1A1，以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设A1CBCBA12
17、，则OC，则，A1(0,1,0)，B(0,1,0)，由，得，所以，设平面CA1B1的一个法向量为，由，得，设平面C1A1B1的一个法向量为，由，得 ，故cos，又二面角CA1B1C1为锐角，故二面角CA1B1C1的余弦值为【点睛】本题考查了面面垂直的判定及向量法求二面角的余弦值，考查了空间思维能力和数学运算能力，属于中档题19. 已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1x轴（1）求椭圆的方程：（2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由【答案】（1）y21；（2）AOB为定值【解析】【分析】（1）由PF1x轴，及点P
18、的坐标可得F1的坐标，即c的值，将P的坐标代入，由a，b，c之间的关系的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l的方程，代入椭圆中求出A，B的坐标，进而可得数量积的值为0，可得AOB；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积的表达式，可得恒为0，即AOB恒为定值【详解】（1）因为PF1x轴，又在椭圆上，可得F1(1，0)，所以c=1，1，a2=c2+b2，解得a2=2，b2=1，所以椭圆的方程为：y2=1；（2）当直线l的斜率
19、不存在时，由原点O到直线l的距离为，可得直线l的方程为：x，代入椭圆可得A(,)，B(,)或A(,)，B(,)，可得，所以AOB；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l的距离为，可得，可得3m22(1+k2)，直线与椭圆联立，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0，=16k2m24(1+2k2)(2m22)0，将代入中可得=16m2+80，x1+x2，x1x2，y1y2k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以，将代入可得0，所以AOB；综上所述AOB恒成立【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合，考查
20、了运算能力，属于中档题20. 东莞轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费上述标准不足一小时的按一小时计费为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假
21、设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：（小时）频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的列联表：男女合计不超过6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求的概率分布列及期望；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车
22、辆数，求的概率参考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i）分布列见解析，；（ii）【解析】【分析】（1）先根据频数分布表填写列联表,再将数据代入公式求解即可；（2）（i）的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,则,进而求得概率即可【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时, 则列联表如下：男女
23、合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上表数据代入公式可得所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关（2）（i）由题意知：的可取值为5,8,11,15,19,30,则所以的分布列为：5811151930（ii）由题意得,所以,所以【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查二项分布,考查离散型分布列及期望,考查数据处理能力与运算能力21. 设函数，e为自然对数的底数（1）求f（x）的单调区间：（2）若ax2+x+aexx+exlnx0成立，求正实数a的取值范围【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，；（2）0a【解析】【分析】（1）求导得，求得
24、、解集即可得解；（2）ax2+x+aexx+exlnx0成立xlnx，由（1）可得当x1时，函数y取得极大值，令g（x）xlnx,(x0)，利用导数研究其单调性即可得出xlnx1进而得出a的取值范围【详解】（1）函数，e为自然对数的底数，则，令可得，当，时，单调递减；当时，单调递增；的单调增区间为，单调减区间为，；（2）ax2+x+aexx+exlnx0成立xlnx，x(0,+),由（1）可得当x=1函数y取得极大值，令g(x)= xlnx,(x0)，g(x)= 1，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值xlnxg(1)=1，当时，即为函数y的最大值，xlnx成立1，解得a；当时，不合题
25、意；综上所述，0a【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题请考生在第22、23题中任选一周作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，P的极坐标为，直线l过点P.（1）若直线l与OP垂直，求直线l的直角标方程：（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换求出结果.（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三
26、角函数关系式的恒等变换和正弦函数的值的应用求出结果.【详解】（1）P的极坐标为，转换为直角坐标为（），所以直线OP的斜率为，直线l的斜率为，所以直线l的方程为，整理得，（2）把直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入曲线C的方程为的方程为.所以，则：cos2+2sin22，由于cos2+sin21，所以sin1（负值舍去），所以，故直线的倾斜角为.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23. 设函数f（x）|xa|
27、+|x+b|，ab0.（1）当a1，b1时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值.【答案】（1）x|（2）【解析】【分析】（1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3，然后对x分类去绝对值，化为关于x的一元一次不等式求解，取并集得答案；（2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa）（x+b）0时等号成立.可得f（x）最小值为|b+a|2.结合ab0，得|b+a|a|+|b|2，则，展开后利用基本不等式求最值.【详解】（1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3，当x1时，可得x1+x+13，解得1x；当1x1时，可得x+1+x+13，得23成立；当x1时，可得x+1x13，解得x1.综上所述，原不等式的解集为x|；（2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa）（x+b）0时等号成立.f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|2.又ab0，|b+a|a|+|b|2，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题.
