1、2.3.4平面向量共线的坐标表示两向量平行的条件(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0，则abx1y2x2y10.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x20，y20，则ab.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例已知(x1，y1)，(x2，y2)，(1)当0时，.这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系(2)x1y2x2y10.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征(3)当x2y20时，即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共
2、线的坐标表示，而且不易出现搭配错误小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)设a(x1y1)，b(x2，y2)，则ab等价于.()(2)向量(1,2)与向量(4,8)共线()(3)向量(2,3)与向量(4，6)反向()答案：(1)(2)(3)2下列各组向量相互平行的是()Aa(1,2)，b(3,5) Ba(1,2)，b(2,1)Ca(2，1)，b(3,4) Da(2,1)，b(4，2)解析：D中，b2a.答案：D3已知a(6,2)，b(m，3)，且ab，则m()A9 B9C3 D3解析：因为a(6,2)，b(m，3)，若ab，则6(3)2m0，解得m9.答案：B4已
3、知A(1,2)，B(4,5)若2，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，所以(x1，y2)，(4x,5y)，又2，所以(x1，y2)2(4x,5y)，即解得答案：(3,4)类型一向量共线的判定例1(1)下列各对向量中，共线的是()A.a(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(，1)，b(1，)Da(1，)，b(，2)(2)已知点A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？【解析】(1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数，使得ba.而只有D满足：因为a(1，)，b(，2)，所以ba.(2)因为(
4、1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2)，因为22140，所以.又(1(1)，5(1)(2,6)，(2,4)，24260，所以与不平行所以A，B，C不共线，AB与CD不重合所以直线AB与CD平行【答案】(1)D(2)见解析(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或验证(2)判断，只要把点的坐标代入公式x1y2x2y10，看是否成立方法归纳向量共线的判定方法跟踪训练1下列各组向量中，共线的是()A.a(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(3)(4)260，所以共线，其
5、他均不满足答案：D(x1，y1)，(x2，y2)，若x1y2x2y10，则，共线类型二三点共线问题例2设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线【解析】方法一A，B，C三点共线，存在实数，使得.(4k，7)，(10k，k12)，(4k，7)(10k，k12)，即解得k2或k11.方法二由题意知，共线(4k，7)，(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0，k29k220，解得k2或k11.方法一由已知求、，利用，求k.方法二与共线，则x1y2x2y10，求k.方法归纳判断向量(或三点)共线的三个步骤跟踪训练2已知(3,4)，(7,12)，(9,1
6、6)，求证点A，B，C共线证明：由题意知(4,8)，(6,12)，所以，即与共线又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线由已知求、，若，则A、B、C共线类型三向量共线的应用例3如图所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标【解析】(0,5)，C(0，)(4,3)，D.设M(x，y)，则(x，y5)，.，x2(y5)0，即7x4y20.又，x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.方法归纳应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤跟踪训练3若平行四边形ABCD的三个顶点为A(
7、1,5)，B(1，2)，C(3，1)，求顶点D的坐标解析：设D点的坐标为(x，y)，则(x1，y5)，(4,1)，由题意知，即(x1，y5)(4,1)，得解得因此，D点的坐标为(5,6).设D(x，y)，由已知得，求D.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()A(2,1) B(6，3)C(1,2) D(4，8)解析：(1,2)，向量(2,1)、(6，3)、(1,2)与(1,2)不平行；(4，8)与(1,2)平行且方向相反答案：D2已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4) B
8、(3，6)C(4，8) D(5，10)解析：由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)，解得m4，所以b(2，4)，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)答案：C3已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则的值等于()A. B.C1 D2解析：a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)，可得2(12)4(22)0，解得，故选A.答案：A4已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A(9,1) B(9，1)C(9,1) D(9，1)解析：设点C的坐标是(x，y)，因为A
9、，B，C三点共线，所以.因为(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.答案：C5已知向量(3，4)，(6，3)，(2m，m1)，若，则实数m的值为()A. BC3 D3解析：向量(3，4)，(6，3)，(3,1)，(2m，m1)，3m32m，解得m3，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6已知向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，则实数x的值为_解析：因为向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，所以2(3x1)410，解得x1.答案：17已知A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,
10、0)，给出下列结论：直线OC与直线BA平行；2.其中，正确结论的序号为_解析：因为(2,1)，(2，1)，所以，又直线OC，BA不重合，所以直线OCBA，所以正确；因为，所以错误；因为(0,2)，所以正确；因为(4,0)，2(0,2)2(2,1)(4,0)，所以正确答案：8已知向量a(1,2)，b(1，)，c(3,4)若ab与c共线，则实数_.解析：因为ab(1,2)(1，)(2,2)，所以根据ab与c共线得243(2)0，解得.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9已知a(x,1)，b(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.解析：a(x,1)，b(4，x)，ab.x240，解得x12，
11、x22.当x2时，a(2,1)，b(4,2)，a与b共线且方向相同；当x2时，a(2,1)，b(4，2)，a与b共线且方向相反x2.10已知A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且，求证：.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有(2,2)，(2,3)，(4，1)，.(x11，y1)，E，(x23，y21)，F，.又4(1)0，.能力提升(20分钟，40分)11已知向量a(m,1)，b(m2,2)若存在R，使得ab0，则m()A0 B2C0或2 D0或2解析：方法一a(m,1)，b(m2,2)，ab0，(mm2,12)(0,0)，即故选C.方法二由ab0，
12、知ab，故ab，所以2mm2，解得m0或2.答案：C12已知向量a(1,2)，写出一个与a共线的非零向量的坐标_解析：向量a(1,2)，与a共线的非零向量的纵坐标为横坐标的2倍，例如(2,4)答案：(2,4)(答案不唯一)13如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标解析：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)易知(2,6)，由与共线得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)14已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解析：(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，得k.(2)因为A，B，C三点共线，所以，R，即2a3b(amb)，所以解得m.