1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例基础盘查一 平面向量的数量积(一)循纲忆知1理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系(二)小题查验1判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是0，2 ()2(人教 A 版教材例题改编)已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则 ab_.10基础盘查二 平面向量数量积的性质及其坐标表示(一)循纲忆知1掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2能运用数量积表示两个向量的
2、夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(二)小题查验1判断正误(1)由 ab0，可得 a0 或 b0()(2)两向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20()(3)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()2(人教 A 版教材复习题改编)已知|a|3，|b|2，a 与 b 的夹角为 30，则|ab|_.3已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数x 等于_19基础盘查三 平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算(二)小题查验1判断正误(1)(ab)ca(bc)()(2)abac(
3、a0)，则 bc()2(人教 A 版教材习题改编)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 60，则向量 a2e1e2 与 b2e23e1 的夹角为_150考点一 平面向量的数量积的运算(基础送分型考点自主练透)必备知识1平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 ab.即 ab|a|b|cos，规定 0a0.2向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的模|a|与b在 a的方向上的投影|b|cos 的乘积提醒投影和两向量的
4、数量积都是数量，不是向量题组练透1(2015云南统一检测)设向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 a 与 b 的数量积等于()A72B12C32D52解析：a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则 m12，所以 ab112 2152.答案：D 2.(2013湖北高考)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量 AB在CD方向上的投影为()A3 22B3 152C3 22D3 152解析：AB(2,1)，CD(5,5)，由定义知AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|155 23 22.3(2
5、014重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 a(2，6)，|b|10，则 ab_.解析：因为 a(2，6)，所以|a|22622 10，又|b|10，向量 a 与 b 的夹角为 60，所以 ab|a|b|cos 602 10 101210.104(2015东北三校联考)已知正方形 ABCD 的边长为 2，DE2EC，DF12(DC DB)，则DEDF_.解析：如图，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系则 B(0,0)，E2，23，D(2,2)由DF 12(DCDB)知 F 为 BC 的中点，故DE2，23，DF(1，2)，DEDF2
6、43103.103类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cos a，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.提醒(1)在向量数量积的运算中，若 abac(a0)，则不一定得到 bc.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)考点二 平面向量数量积的性质(常考常新型考点多角探明)必备知识已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)：结论几何表示坐标表示模|a|aa|a|x21y21夹角cos ab
7、|a|b|cos x1x2y1y2x21y21 x22y22a b 的充要条件ab0 x1x2y1y20多角探明 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1已知平面向量 a，b 的夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC 中，AB2a2b，AC2a6b，D 为 BC 中点，则|AD|等于()A2 B4C6 D8解析：因为AD12(ABAC)12(2a2b2a6b)2a2b，所以|AD|24(ab)24(a22bab2)4322 3cos64
8、 4，则|AD|2.2(2014北京高考)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2,1)，且 ab0(R)，则|_.解析：|a|1，可令 a(cos，sin)，ab0.cos 20，sin 10，即cos 2，sin 1.由 sin2cos21 得 25，得|5.5角度二：平面向量的夹角3向量 a，b 均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则 a，b 的夹角为()A6B3C23D56解析：(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cos a，b0，可得cosa，b12，又因为 0a，b，所以a，b3.4(
9、2014江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为，且 cos 13，向量 a3e12e2 与 b3e1e2 的夹角为，则 cos _.解析：因为 a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos 18，所以|b|2 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e219e1e22e2299111328，所以 cos ab|a|b|832 22 23.2 23角度三：平面向量的垂直5(2014重庆高考)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92B0C3 D152解析：因为 2a3b(2k3，6)，(2a
10、3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得 k3，选 C.6在直角三角形 ABC 中，已知 AB(2,3)，AC(1，k)，则 k 的值为_解析：当 A90时，ABAC，ABAC0.213k0，解得 k23.当 B90时，ABBC，又BC ACAB(1，k)(2,3)(1，k3)，ABBC2(1)3(k3)0，解得 k113.当 C90时，ACBC，1(1)k(k3)0，即 k23k10.k3 132.23或113 或3 132类题通法平面向量数量积求解问题的策略(2)两向量垂直的应用：(1)求两向量的夹角：cos ab|a|b|，要注意 0，两非零向量垂直的充要条件是：abab0|a
11、b|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2 或|a|aa.|ab|ab2 a22abb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.考点三 平面向量与三角函数的综合(重点保分型考点师生共研)典题例析(2013江苏高考)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|2，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求，的值解：(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22ab2，即 ab0，故 ab.(2)因为 ab(cos cos，sin sin)(0,1)，所以co
12、s cos 0，sin sin 1.由此得，cos cos()，由 0，得 0.又 0，所以 56，6.类题通法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等演练冲关 已知向量 acos 3x2，sin 3x2，bcos x2，sin x2，c(3，1)，其中 xR，(1)当 ab12时，求 x 的取值集合；(2)设函数 f(x)(ac)2，求 f(
13、x)的最小正周期及其单调递增区间解：(1)abcos 3x2 cos x2sin 3x2 sin x2cos x12，x2k3(kZ)所求 x 的取值集合为，x xkk=2 Z3.(2)accos 3x2 3，sin 3x2 1，f(x)(ac)2cos 3x2 3 2sin 3x2 1 252 3cos 3x2 2sin 3x2 5412sin 3x2 32 cos 3x254sin3x2 3.最小正周期为 T23243.由 2k23x2 32k2(kZ)，得4k3 9x4k3 59(kZ)单调递增区间是4k3 9，4k3 59(kZ)“课后演练提能”见“课时跟踪检测(二十八)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
