1、21.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质提出问题图中椭圆的标准方程为1(ab0)问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y0得xa，故A1(a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，b)，B2(0，b)问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：xa，a，yb，b问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁 导入新知椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且byb
2、bxb且aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e(0e1)化解疑难1由不等式11可得|x|a，由11可得|y|b，从而可得椭圆的范围2椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.3椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度e越接近1，则c就越接近a，从而b越小，因此，椭圆越扁；反之，
3、e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆特别地，当ab时，c0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2y2a2.椭圆的几何性质例1求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆方程变形为1，a3，b2，c .椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率e.类题通法求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质活学活用已知椭圆C1：
4、1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；离心率：e.利用椭圆的几何性质求其标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为
5、6.解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5.又e，c4.b2a2c225169.椭圆的标准方程为1或1.(2)依题意可设椭圆的标准方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的标准方程为1.类题通法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数列方程(组)时常用的关系式为b2a2c2，e等
6、(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上，短轴长为2，离心率e；(2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意知解得a，b1，因此，椭圆的标准方程为y21.(2)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21；若焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为y21或1.椭圆的离心率例3如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分
7、别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1F1A，POAB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率解由已知可设椭圆的标准方程为1(ab0)，则由题意可知P.PF1OBOA，即bc，a22c2，e. 类题通法椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：(1)若已知a，c，则直接代入e求解；(2)若已知a，b，则由e 求解；(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可活学活用若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：选A依题意，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|
8、c，|BF2|a，OF2B60，acos 60c，即椭圆的离心率e.典例已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e，且过P(2,3)，求此椭圆的标准方程解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意知解得b210，a240.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意得解得b2，a225.所以所求椭圆的标准方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为1或1.易错防范求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在x轴上，这是最常见的错解成功破障若椭圆1的离心率e，则k的值等于_解析：分两种情况进行讨论：当焦点在x轴上时，a2k8，b29，得c
9、2k1，又e，解得k4.当焦点在y轴上时，a29，b2k8，得c21k，又e，解得k.k4或k.答案：4或随堂即时演练1中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A因为2a18,2c2a6，所以a9，c3，b281972.2椭圆C1：1与椭圆C2：1(k9)()A有相同的长轴 B有相同的短轴C有相同的焦点 D有相等的离心率解析：选C259(25k)(9k)，故两椭圆有相同的焦点3椭圆x24y216的短轴长为_解析：由1可知b2，短轴长2b4.答案：44直线x2y20经过椭圆1(ab0)的一个焦点和一个顶点，
10、则该椭圆的离心率e_.解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，在直线x2y20中，令y0得c2；令x0得b1.a.e.答案：5求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)解：(1)由题意设椭圆的标准方程为1(ab0)，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，2a12，即a6.椭圆的离心率为，e，b29.椭圆的标准方程为1.(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，则b9.因为c7，所以a2b2c28149130，椭圆的标准方程为1.课时达标检
11、测一、选择题1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(13,0) B(0，10)C(0，13) D(0，)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：选A由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，椭圆的方程为1.3已知椭圆1与椭圆1有
12、相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29解析：选D因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以a225，b29.4已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若AP2PB，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析：选DAP2PB，|AP|2|PB|.又POBF，即，e.5过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：选B法一：
13、将xc代入椭圆方程可解得点Pc，故|PF1|，又在RtF1PF2中F1PF260，所以|PF2|，根据椭圆定义得2a，从而可得e.法二：设|F1F2|2c，则在RtF1PF2中，|PF1|c，|PF2|c.所以|PF1|PF2|2c2a，离心率e.二、填空题6与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是_解析：椭圆9x24y236可化为1，因此可设待求椭圆为1.又b2，故m20，得1.答案：17椭圆1的离心率为，则m_.解析：当焦点在x轴上时，m3；当焦点在y轴上时，m.综上，m3或m.答案：3或8已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(5,4)，则椭圆的方程为_
14、解析：e，5a25b2a2即4a25b2.设椭圆的标准方程为1(a0)，椭圆过点P(5,4)，1.解得a245.椭圆的方程为1.答案：1三、解答题9在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程解：设椭圆C的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，.由ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28.故椭圆C的标准方程为1.10椭圆1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解：设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：2y22，所以y2axx2.又P点在椭圆上，故1.把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2.由b2a2c2，得a22c2，所以e.又0e1，e1.即椭圆离心率的取值范围是.
