1、双曲线及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识二、教材分析1重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识)2难点：双曲线的标准方程的推导(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比)3疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ (解决办
2、法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式)三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结四、教学过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a|F1F2|2椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)(二)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1简单
3、实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形这样作出的曲线就叫做双曲线2设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能强调“在平面内”问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|MF2|问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|
4、？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|正确表示为|MF2|-|MF1|问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答，应小于|F1F2|且大于零当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数|F1F2|时，无轨迹3定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程这时
5、设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a(3)代数方程(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：(c2
6、-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导)由双曲线定义，2c2a 即ca，所以c2-a20设c2-a2=b2(b0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a0， b0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2(四)练习与例题1求满足下列的双曲线的标准方程
7、：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42因为2a=12，2c=10，且2a2c所以动点无轨迹(五)小结1定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹3图形(见图2-25)：4焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)5a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2五、布置作业1根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；3已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m0m+n)，求其焦点坐标作业答案：2由(1+k)(1-k)0解得：k-1或k1六、板书设计
