1、A基础达标1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1，0，1)，b(0，1，1)，则斜线l与平面所成的角为()A30B45C60 D90解析：选C因为直线与平面所成角的范围是，所以l与所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cosa，b，所以a，b60.2若PA，PB，PC为不在同一个平面内的三条射线，且APBBPCCPA60，则PA与平面PBC所成角的余弦值为()A BC D解析：选C利用公式cos cos 1cos 2求解关键在于确定PA在平面PBC内的射影，如图，设MPA，作MH平面BPC于H，连接PH.则APH就是PA与平面PBC所成的角易知PH是BPC的平分线，由公
2、式，得cos APCcos APHcos HPC，所以cos APH.3正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A BC D解析：选DBB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为a，则cosDD1H，故选D4AB平面于B，BC为AC在内的射影，CD在内，若ACD60，BCD45，则AC和平面所成的角为()A90 B60C45 D30解析：选C设AC和平面所成的角为，则
3、cos 60cos cos 45，故cos ，所以45.5.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点，则BD与平面ADMN所成的角为()A30 B60C120 D150解析：选A如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，则N(1，0，1)，所以(2，2，0)，(0，2，0)，(1，0，1)，设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由得，取x1，则z1，所以n(1，0，1)因为cos，n，又090，所以sin |cos，n|
4、.所以30.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为_解析：连接B1D1，所以B1D1为BD1在平面A1B1C1D1内的射影，所以BD1B1为BD1与平面A1B1C1D1所成的角，设正方体棱长为a，则tanBD1B1.答案：7已知平面的一个法向量为n(1，1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为_解析：y轴的一个方向向量s(0，1，0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.答案：8已知空间四边形ABCD各边和对角线的长都相等，那么AC与平面BCD所成角的正弦值为_解析：过A作面BCD的垂线，垂足为O，则O为BCD的中心，连接
5、CO(图略)设棱长为1，则CO，所以cosACO，sinACO.答案：9已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心BADBAA1DAA160，AA1a.求证：A1O平面ABCD.证明：因为菱形ABCD的边长为a，且BAD60，所以AC为BAD的平分线，且AOa，又A1ABA1AD，所以A1A在平面ABCD上的射影为AC，记A1AC.则cos .所以A1Acos aaAO，所以A1OA90，又因为A1BA1D，所以在A1BD中A1OBD.所以A1O平面ABCD.10正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解
6、：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0), A1(0，0，a)，C1(a，a)，(0，a，0)，(0，0，a)，设侧面ABB1A1的法向量n(，x，y)，所以n0且n0.所以ax0且ay0.所以xy0.故n(，0，0)所以cos，n.所以|cos，n|.所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.B能力提升11正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A BC D解析：选C以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，令AB2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，所以
7、(1，2，1)又(0，0，2)为平面ABCD的法向量，设AO与平面ABCD所成角为.则sin |cos，|.12等腰RtABC的斜边AB在平面内，若AC与成30角，则斜边上的中线CM与平面所成角的大小为_解析：如图，作CO，则CAO30，设ACBC1，则OC，AB，因为CMAB，所以sinOMC.又OMC为锐角，所以OMC45.答案：4513已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G、H分别在棱CC1、DD1、BB1、BC上，且CECC1，DFBGDD1，BHBC.求AH与平面AFEG所成角的正弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，1)，A(0，4，0)，F(4，
8、4，1)，E(4，0，2)，H(2，0，0)，(4，4，1)(0，4，0)(4，0，1)，(0，0，1)(0，4，0)(0，4，1)，(2，0，0)(0，4，0)(2，4，0)设n(x，y，z)是平面AFEG的一个法向量，则令x1，则z4，y1，即n(1，1，4)，设AH与平面AFEG所成的角为，则sin |cos，n|.所以AH与平面AFEG所成角的正弦值为.14(选做题)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0)(1)证明：设C(m，0，0)，P(0，0，n)，(m0)，则D(0，m，0)，E.可得，(m，1，0)因为00，所以PEBC.(2)由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0，0，1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，由即因此可以取n(1，0)由(1，0，1)可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.
