1、第六节双曲线基础盘查一 双曲线的定义及标准方程(一)循纲忆知1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程2了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用(二)小题查验1判断正误(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()2(人教 A 版教材例题改编)已知双曲线两个焦点分别为 F1(5,0)，F2(5,0)双曲线上一点 P 到 F1，F2 距离差的绝对值等于 6，则双曲线的标准方程为_x29 y21613设 F1，F2 是双曲线 x2y2241 的两个焦点，P 是双曲线上
2、的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2 的面积等于_解析：双曲线的实轴长为 2，焦距为|F1F2|2510.据题意和双曲线的定义知，2|PF1|PF2|43|PF2|PF2|13|PF2|，|PF2|6，|PF1|8.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1PF2，SPF1F212|PF1|PF2|126824.24基础盘查二 双曲线的几何性质(一)循纲忆知1知道双曲线简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2理解数形结合的思想(二)小题查验1判断正误(1)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(2)双曲线方程x2m2y2n2(m0，n0，0
3、)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2 ()(4)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与x2b2y2a21(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则 1e21 1e221(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()2(北师大版教材习题改编)若双曲线y25 x2m1 的离心率 e(1,2)，则 m 的取值范围为_(0,15)3已知 F(c,0)是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 E：(xc)2y212c2 相切，则双曲线 C的离心率为_解析：依题意得，圆心(c,0)到渐近线的距离等于 22
4、 c，即有 b 22 c(注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c22b22(c2a2)，c22a2，ca 2，即双曲线 C的离心率为 2.2考点一 双曲线的定义及标准方程(基础送分型考点自主练透)必备知识1定义在平面内到两定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹(或集合)叫做双曲线定点 F1，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距提醒 令平面内一点到两定点 F1，F2 的距离的差的绝对值为2a(a 为常数)，则只有当 2a|F1F2|，则点的轨迹不存在2标准方程中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为x2a2y2
5、b21(a0，b0)；中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)提醒 在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是 x2或 y2 的系数题组练透1(2014大纲卷)已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1，F2，点 A 在C 上，若|F1A|2|F2A|，则 cosAF2F1()A14 B13C 24D 23解析：由双曲线的定义知|AF1|AF2|2a，又|AF1|2|AF2|，|AF1|4a，|AF2|2a.e ca 2，c 2a，|F1F2|4a.cos AF2F1|AF2|2|F1F2|2|AF1|22|AF2|F1F2|2a24a24a222
6、a4a14，故选 A.2(2014天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为()Ax25 y2201 Bx220y251C3x225 3y21001 D3x21003y2251解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线 ybax 与直线 y2x10 平行，所以ba2 且左焦点为(5,0)，所以 a2b2c225，解得 a25，b220，故双曲线方程为x25 y2201.3已知 F1，F2 为双曲线x25 y241 的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则|AP|AF2|的最小
7、值为()A 374 B 374C 372 5D 372 5解析：由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|37，|AP|AF2|AP|AF1|2a 372 5.类题通法1应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用2求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意 a，b，c 的关系
8、易错易混考点二 渐近线与离心率问题(常考常新型考点多角探明)必备知识1求双曲线离心率的值(1)直接求出 a，c，求解 e：已知标准方程或 a，c 易求时，可利用离心率公式 eca求解；(2)变用公式，整体求出 e：如 利 用 e c2a2 a2b2a21b2a2，ec2c2b211b2c2；2双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求已知渐近线方程时，可得ba的值，于是 e2c2a2a2b2a21ba2，因此可求出离心率 e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即ba e21.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解多角探明双曲线的渐近
9、线与离心率问题是每年各地高考命题的热点归纳起来常见的命题角度有：(1)已知离心率求渐近线方程；(2)已知渐近线求离心率；(3)由离心率或渐近线确定双曲线方程；(4)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.角度一：已知离心率求渐近线方程1(2014山东高考)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1 与 C2 的离心率之积为 32，则 C2 的渐近线方程为()Ax 2y0 B 2xy0Cx2y0 D2xy0解析：椭圆 C1 的离心率为a2b2a，双曲线 C2 的离心率为a2b2a，所以 a2b2a a2b2a 32，所以 a4b434a
10、4，即 a44b4，所以 a 2b，所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y 12 x，即 x 2y0.答案：A角度二：已知渐近线求离心率2(2014浙江高考)设直线 x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_解析：联立直线方程 x3ym0 与双曲线渐近线方程 ybax 可得交点坐标为am3ba，bm3ba，am3ba，bm3ba，而 kAB13，由|PA|PB|，可 得 AB 的 中 点 与 点 P 连 线 的 斜 率 为 3，即bm3ba bm3ba20am3baam3ba2m3，化简得
11、 4b2a2，所以 ea2b2a2 52.答案：52角度三：由离心率或渐近线确定双曲线方程3(2015郑州二模)已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的两个焦点分别为 F1，F2，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)则此双曲线的方程为()Ay29x2161 By24x23 1Cy216x29 1 Dy23x24 1解析：由题意，c 42325，a2b2c225.又双曲线的渐近线为 yabx，ab34.则由解得 a3，b4，双曲线方程为y29x2161.故选 A.答案：A角度四：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4已知双曲线x2a2y2b21 与直线 y2x
12、 有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，5)B(1，5C(5，)D 5，)解析：双曲线的一条渐近线方程为 ybax，则由题意得ba2，eca1ba2 14 5.类题通法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程 ymx，若焦点位置不明确要分|m|ba或|m|ab讨论(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用考点三 直线与双曲线的位置关系(重点保分型考点师生共研)必备知识研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于 x 或 y 的一元二次方程当二次项系数等于0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二
13、次项系数不等于 0 时，用判别式 来判定提醒 直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点典题例析(2014江西高考)如图，已知双曲线 C：x2a2y21(a0)的右焦点 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点)(1)求双曲线 C 的方程；(2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2 y0y1 与直线 AF相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|NF|恒为定
14、值，并求此定值解：(1)设 F(c,0)，因为 b1，所以 c a21，直线 OB 的方程为 y1ax，直线 BF 的方程为 y1a(xc)，解得 Bc2，c2a.又直线 OA 的方程为 y1ax，则 Ac，ca，kABca c2acc23a.又因为 ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，故双曲线 C 的方程为x23 y21.(2)证明：由(1)知 a 3，则直线 l 的方程为x0 x3 y0y1(y00)，即 yx0 x33y0.因为直线 AF 的方程为 x2，所以直线 l 与 AF 的交点 M2，2x033y0；直线 l 与直线 x32的交点为 N32，32x033y0.则|MF|2|
15、NF|22x0323y021432x03 23y022x0329y204 94x022432x0323y203x022，因为 P(x0，y0)是 C 上一点，则x203 y201，代入上式得|MF|2|NF|2432x032x2033x022432x0324x2012x0943.所求定值为|MF|NF|232 33.类题通法直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为 0 的判断对于中点弦问题常用“点差法”演练冲关已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，求双曲线 E 的方程解：设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由题意知 c3，a2b29，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差得：y1y2x1x2b2x1x2a2y1y212b215a24b25a2，又 AB 的斜率是1501231，所以4b25a21.将 4b25a2 代入 a2b29 得a24，b25.所以双曲线的标准方程是x24 y251.“课后演练提能”见“课时跟踪检测(五十五)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
