1、2.9 函数模型及其应用第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1.函数的实际应用(1)基本函数模型函数模型函数解析式 一次函数模型二次函数模型 指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)幂型函数模型f(x)axnb(a，b 为常数，a0)(2)三种常用函数模型性质比较 函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调_函数单调_函数单调_函数 增长速度越来越_越来越_相对平稳 图象的变化随 x 值增大，图象与_轴接近平
2、行随 x 值增大，图象与_轴接近平行随 n 值变化而不同 2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面 利用已知函数模型解决问题；建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.(2)应用函数模型解决问题的基本过程：、.自查自纠1.(1)f(x)axb(a，b 为常数，a0)f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)(2)增 增 增 快 慢 y x 2.审题 建模 解模 还原 1.明清时期，古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后
3、所用的时间为 x(h)、货船距石塘的距离为 y(km)，则下列各图中，能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是()A B C D解：由题意得，货船从石塘到停留一段时间前，y 随x 增大而增大；停留一段时间内，y 随 x 增大而不变；随后y 随 x 增大继续增大；当返回时 y 随 x 增大而减小，直至为 0，又顺流速度大于逆流速度故选 A.2.某段时间内，国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全稿酬的 11%纳税.若某人一次纳税 420 元，则这个人此次的稿费为()A.3 000 元B.
4、3 800 元 C.3 818 元D.5 600 元解：由题意可建立纳税额 y(元)关于稿费 x(元)的函数解析式为y0，x800，0.14（x800），8004 000，显然由 0.14(x800)420，可得 x3 800.故选 B.3.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是()A.3B.4C.5D.6 解：设至少要洗 x 次，则134x 1100，所以14x 1100，4x100，因此至少洗 4 次故选 B.4.(2018抚顺模拟)某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则可
5、预测第 8 年有_只.解：因为 alog33100，所以 a100，当 x8 时，y100log39200.故填 200.5.交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/ml.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 20%的速度减少，则至少经过_小时他才可以驾驶机动车.(精确到个位，lg20.301)解：设至少经过 n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得0.8(120%)n0.2，nN*，0.8n 10.2，n1log0.80.2lg213lg217.2，则 n6.2，即至少经过 7 小时他才可以驾驶机动车故填
6、7.类型一 幂型函数模型 李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为 L 甲5x2900 x16 000，L 乙300 x2 000(其中 x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了 110 辆，则能获得的最大利润为()A.11 000 元B.22 000 元C.33 000 元D.40 000 元解：设甲连锁店销售 x 辆，则乙连锁店销售(110 x)辆，故利润 L5x2900 x16 000300(110 x)2 0005x2600 x15 0005(x60)233 000，所以当 x60 时，有最大利润 33 000 元故选C.评析 列函数关系式时，注意自变量的取值范围
7、；求最值这里运用了配方法，通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法.变式 1(2019北师大实验中学模拟)如图，矩形 ABCD 的周长为 8，设 ABx(1x3)，线段 MN 的两端点在矩形的边上滑动，且 MN1，当点 N 沿 ADCBA 在矩形的边上滑动一周时，线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G，记 G 围成的区域的面积为 y，则函数 yf(x)的图象大致为()A B C D解：由题意可知点 P 的轨迹 G 为图中虚线所示，其中矩形 ABCD中四个空白区域均是半径为12的扇形因为矩形 ABCD 的周长为 8，ABx，则 AD82x24x，所以 yx(4x)4(x2)
8、244(1x3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当 x2 时，y44(3，4)故选 D.类型二 指数型函数模型例 2(2019 襄阳模拟)已知某种药物在血液中以每小时 20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物 2 500 mg，设经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y mg.(1)y 与 x 的关系式为_；(2)当该药物在病人血液中的量保持在 1 500 mg 以上，才有疗效；而低于 500 mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过_小时(精确到 0.1).参考数据：0.20.30.6，0.82.30.6，0.87.20.2，0.89.90.1
9、.解：(1)由题意知，经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y2 500(120%)x2 5000.8x，即 y 与 x 的关系式为 y2 5000.8x.(2)由题意，2 5000.8x500，所以 0.8x0.2，因为 0.87.20.2，y0.8x 是单调递减函数，所以 x7.2，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 7.2小时 故填(1)y2 5000.8x；(2)7.2.评析 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 yN(1p)x(其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 ya(1x)n(其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间
10、)的形式表示.解题时，往往用到指对数运算.变式 2(北京市人大附中 2019 高三模拟)某种物质在时刻t(min)的浓度 M(mg/L)与 t 的函数关系为 M(t)art24(a，r 为常数).在 t0 min 和 t1 min 测得该物质的浓度分别为 124 mg/L和 64 mg/L，那么在 t4 min 时，该物质的浓度为_mg/L，若该物质的浓度小于 24.001 mg/L，则最小的整数 t 的值为_.(参考数据：lg20.301)解：根据条件，ar024124，ar2464；所以 a100，r25；所以 M(t)100 25t24，所以 M(4)100 2542426.56；由 1
11、00 25t2424.001 得，25t(0.1)5；所以 tlg 25 5；所以 tlg2(1lg2)5，所以 t(2lg21)5，将 lg20.301 代入得，0.398t5，解得 t12.6，所以最小的整数 t 的值是 13.故填 26.56；13.类型三 对数型函数模型例 3 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当 t(0，14时，曲线是二次函数图象的一部分，当 t14，40时，曲线是函数 yloga(t5)83(a0 且 a1)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p 大于等于 80
12、时听课效果最佳.(1)试求 pf(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由.解：(1)当 t(0，14时，设 pf(t)c(t12)282(c0)，将点(14，81)代入得 c14，t(0，14时，pf(t)14(t12)282；当 t(14，40时，将点(14，81)代入 yloga(t5)83，得 a13，所以pf(t)14（t12）282，t（0，14，log13（t5）83，t（14，40.(2)当 t(0，14时，由14(t12)28280，解得 122 2t122 2，所以 t122 2，14，当 t(14，40时，由 log13(t5
13、)8380，解得 58.57.125，知 L(t)max9.125.从而第 5 周每件销售利润最大，最大值为 9.125 元评析 实际问题的情况往往是复杂的，许多实际问题都要使用分段函数模型求解.解分段函数模型要注意定义域区间的分界点.含有参数的实际应用题要注意分类讨论.变式 4(2019河北唐山一中模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数.当 x 不超过4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当
14、 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0 千克/年.(1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式；(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解：(1)由题意得当 0 x4 时，v2，当 4x20 时，设 vaxb(a0)，显然 vaxb 在(4，20内是减函数，由已知得20ab0，4ab2，解得a18，b52，所以 v18x52.故函数 v2，0 x4，18x52，4x20.(2)设年生长量为 f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得 f(x)2x，0 x4，18x252x，4x20.当 0 x4 时，f(x
15、)为增函数，故 f(x)maxf(4)428；当 4x20 时，f(x)18x252x18(x220 x)18(x10)2252，f(x)maxf(10)12.5.所以当 0 x20 时，f(x)的最大值为 12.5.故当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米 1.解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础.(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为
16、数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型.(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果.(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题.以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2.函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型.一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等.另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型.
