1、1第1讲相似三角形的判定及有关性质1平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定与性质(1)判定定理内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2
2、)性质定理内容性质定理1相似三角形对应边上的高、中线和角平分线以及它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方(3)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方3直角三角形相似的判定定理与射影定理(1)直角三角形相似的判定定理定理内容判定定理1如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似判定定理2如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似判定定理3如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(2)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影
3、的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项_平行线分线段成比例定理_如图，在ABC中，D为BC的中点，E在CA上且AE2CE，AD，BE交于F，求，. 解取BE的中点G，连接DG，在BCE中，D、G分别为BC、BE的中点，DGEC，且DGEC.又AE2CE，DGEC，4，又BGGE，21.规律方法平行线截割定理的作用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比1.如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，求梯形ABFE与梯形EFCD
4、的面积比解：由CD2，AB4，EF3，得EF(CDAB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFES梯形EFCD(34)h(23)h75._相似三角形的判定与性质_如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证： (1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD.证明(1)四边形ABCD是等腰梯形，ACBD.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB，ACBDBC，ABCDCB.ADBC，DACACB，EADABC.DACDBC，EADDCB.EDAC，EDADAC.EDADBC，
5、ADECBD.DEBDAEDC，DEDCAEBD.规律方法(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等2. 如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，E为AC的中点，ED、CB的延长线交于一点F.求证：FD2FBFC.证明：E是RtACD斜边上的中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB2902，FBDACBA90A，FBDFDC，F是公共角，FBDFDC，FD2FBFC._直角三角形射影定理_如图所示，AD、BE是ABC的两条高
6、，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H，求证：DF2GFHF. 证明HBAC90，GBFBAC90，HGBF.AFHGFB90，AFHGFB，AFBFGFHF.在RtABD中，FDAB，DF2AFBF，DF2GFHF.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形，这是解直角三角形时常用的方法3如图所示，在ABC中，CAB90，ADBC于点D，BE是ABC的角平分线，交AD于点F，求证：.证明：BE是ABC的角平分线，.在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.由得，由得.1如
7、图，ABEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，求BC的长解：E为AD的中点，M为BC的中点又EFBCEFMC12 cm，BC2MC24 cm.2. (2015湖南岳阳模拟)如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，求证：AEABAFAC.证明：ADBC，ADB为直角三角形又DEAB，由射影定理知，AD2AEAB.同理可得AD2AFAC，AEABAFAC.3. (2015广东广州模拟)如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP.证明：在正方形ABCD中，Q是CD的中点，2.3，4.又BC2DQ，2.在ADQ和QCP中，且D
8、C90，ADQQCP.4. 如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，ECAD，DEBC，若SBEC1，SADE3，求SCDE的值解：ECAD，SDCESADEECAD，DEBC，SBCESCDEBCED，又因为ECBDECADE，BECEAD，BECEAD，ECADBCED.SDCESADESBCESCDE，于是SCDE.5. 如图，在ABC中，ABAC，AD是中线，P为AD上一点，CFAB，BP的延长线交AC、CF于E、F两点，求证：PB2PEPF.证明：如图，连接PC.易证PCPB，ABPACP.CFAB，FABP.从而FACP.又EPC为CPE与FPC的公共角，从而CPEFPC，.PC
9、2PEPF.又PCPB，PB2PEPF.6如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AEBF2DEAF.证明：取AC的中点M，连接DM交CF于点N.在BCF中，D是BC的中点，DNBF，DNBF.DNAF，AFEDNE，.又DNBF，即AEBF2DEAF.)1. 如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E.试证明： (1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.证明：(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD.ABACBCAD.(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理可得BD2BEAB，同理CD2
10、CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC.又ABACBCAD，即AD3BCCFBE.2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DECD，BE与AD交于点F. (1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，BAFBCD，ABCD，ABFCEB，ABFCEB.(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DEFCEB，DEFABF.()2，()2.又DECDAB，CEDECDDE2DE3DE.()2，()2.SDEF2，SCEB
11、18，SABF8.S四边形ABCDSABFSCEBSDEF818224.3已知在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长解：(1)证明：因为DEBC，D是BC的中点，所以EBEC，所以B1.又因为ADAC，所以2ACB.所以ABCFCD.(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M.因为ABCFCD，BC2CD，所以()24.又因为SFCD5，所以SABC20.因为SABCBCAM，BC10，所以2010AM，所以AM4.因为DEAM，所以.因为DMDC，BMBDDM，BDBC5
12、，所以，解得DE.4如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EFAD，假设EF做上下平行移动(1)若，求证：3EFBC2AD；(2)若，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若，那么你可以得到什么结论？解：过点A作AHCD分别交EF，BC于点G，H(图略)(1)证明：因为，所以，又EGBH，所以，即3EGBH.又EGGFEGADEF，从而EF(BCHC)AD，所以EFBCAD，即3EFBC2AD.(2)EF与BC，AD的关系式为5EF2BC3AD，理由和(1)类似(3)因为，所以.又EGBH，所以，即EGBH.所以EFEGGFEGAD(BCAD)AD，所以EFBCAD，即(mn)EFmBCnAD.
