1、天津市静海区四校2020-2021学年高二数学上学期12月阶段性检测试题（含解析）试卷满分120分.考试时间100分钟.一选择题(共10题；每题4分，共40分)1. 经过点，倾斜角为的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线的点斜式方程求解即可【详解】直线方程为，即故选：D.2. 等差数列中，公差，则=（ ）A. 200B. 100C. 90D. 80【答案】C【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】依题意，所以.故选：C3. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知中抛物线，我们可以求出抛物线的标准方程，进而求出值，
2、根据抛物线的准线方程的定义，得到答案【详解】解：抛物线的标准方程为，故，即，则抛物线的准线方程是，故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，其中由已知求出抛物线的标准方程是解答本题的关键4. 已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，又因为，解得，故选C.考点：椭圆的基本性质5. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：二元二次方程表示圆的充要条件是，由此得出的取值范围详解：二元二次方程表示圆的充要条件是，所以故选A点睛：通过配方得出，二元二次方程表示圆的充要条件为：；
3、6. 经过两条直线和的交点，且斜率为2的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】两条直线3x+4y5=0和3x4y13=0的交点，由可得（3，1），所以经过两条直线3x+4y5=0和3x4y13=0的交点，且斜率为2的直线方程是y+1=2（x3），即2xy7=0故选B7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据渐近线方程，设双曲线的标准方程是，代入点的坐标求出的值，即可得到双曲线的标准方程【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线的标准方程是，代入点，可得，解得，所以双曲线的标准方程为故
4、选：C8. 若向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的夹角公式，可判断A的正误；根据的值，可判断B的正误；根据坐标是否成比例，可判断C的正误；根据向量模的公式，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为，对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：因为，所以坐标不成比例，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D9. 在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答【详解】由题意，；故选：A10. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆的上
5、顶点，是直线与椭圆的另一个交点，且，的面积为，则（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】【分析】先记椭圆的左右焦点为，根据题中条件，得到，为等边三角形，设，在中，由余弦定理求出，再由的面积，即可列出等式求出结果.【详解】记椭圆的左右焦点为，因为点为椭圆的上顶点，所以，又，所以为等边三角形，设，则，在中，由余弦定理可得，则，整理得，解得，又的面积为，所以，解得.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆的性质求出；求解时，由，根据题中条件，利用椭圆定义和余弦定理，列出方程，求出，即可根据三角形面积求解.二填空题(共5题；每题4分，共20分)11. 已知，则_.【答案】-1
6、【解析】【分析】先求得的坐标，根据可得，代入公式，即可求得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，解得.故答案为：-112. 数列中，则_.【答案】【解析】【分析】当时，当时，根据，即可求得，综合即可得答案.【详解】当时，当时，所以，又，满足上式，所以，故答案为：13. 已知直线：与：平行，则的值是_.【答案】0或【解析】【分析】当时，经检验满足题意，当时，根据，可得，即可求得答案.【详解】当时，所以，满足题意；当时，因，所以，解得，综上：或.故答案为：0或14. 圆x2+y24x4y100上的点到直线x+y140的最大距离是_【答案】8【解析】【分析】先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由
7、几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离【详解】解：把圆的方程化为：（x2）2+（y2）218，圆心A坐标为（2，2），半径，由几何知识知过A与直线x+y140垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小，最大距离，故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题15. 已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是_.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长【详解】抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入
8、圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，所以弦长【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式三解答题(共5题；每题12分，共60分)16. 已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项公式；（2）若的前项和为，求和的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式即可；（2）利用等差数列的求和公式代入计算即可【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.（2）由（1）得，所以，.【点睛】思路点睛：先利用已知条件计算出等差数列的公差和首项，再利用通项公式以及求和公式计算.17. 抛物线的顶点在坐标原点，对称
9、轴为轴，抛物线过点，过抛物线的焦点作倾斜角等于的直线，直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）求线段的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）根据题中条件，先设抛物线方程，根据抛物线过点，代入方程求出，即可得出结果；（2）由（1）根据题中条件，得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及抛物线的定义，即可求出结果.【详解】（1）依题意设抛物线的方程为，因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为；（2）由（1）可得抛物线的焦点为，则直线的方程为，联立得，设，则，根据抛物线的定义可得.18. 已知直线l经过点P（2，5），且斜率为（1）求直线l的方程；（2）求与直线l
10、切于点（2，2），圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】【详解】（1）由直线方程的点斜式，得整理，得所求直线方程为（2）过点（2，2）与l垂直的直线方程为， 由得圆心为（5，6），半径， 故所求圆的方程为19. 如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱，的中点，是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或【解析】【分析】【详解】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运
11、算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.试题解析：如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.
12、不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE.（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角CEMN的正弦值为.（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.20. 已知椭圆：的短轴长为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆交于不同的两点，与圆相切于点.证明：(为坐标原点).【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件直接算出答案即可；（2）由条件可得，设，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得、，然后证明即可.【详解】（1），.又，.椭圆的方程为；（2）直线：与圆相切，即.由，消去并整理得，.设，则，.，.
