1、2024年5月29日星期三新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具 不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想通过对近几年的考题分析，以小巧而灵活多变的选择题及综合题的面貌出现.一般是一道小题为选择或填空，难度属中等，小题主要考查不等式的性质、各种不等式的解法、不等式解法的简单应用（一般与函数的性质进行综合）大题一般难度很高解答题则出现不等式的证明、含参不
2、等式或方程解情况的讨论等一些问题，这些问题往往与函数、数列、解析几何以及实际应用问题进行综合1实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0baba0baba0baba 判断两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a-b 的符号，从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：作差；变形；定号.如果,ab那么;ba如果,ba那么 ab如果,abbcac且那么如果ba，那么cbca ;,0,bcaccba那么且如果;,0,bcaccba那么且如果乘法法则0,0.abcdacbd 且乘方法则0,(,1)nnabab nNN且)1,(,0NNnbabann且那么如果2不等式的性质 不等式的性质是解、证不等式的基础
3、，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。例1（2009安徽卷）“a+cb+d”是“ab且cd”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2不等式的性质条件：“a+cb+d”结论：“ab且cd”9+13+693且16A2不等式的性质例2（2009四川卷）已知a、b、c、d为实数，cd,则“ab”是“acbd”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件前提条件：a、b、c、d为实数，cd,命题条件：“ab”命题结论：“acbd”cdcd,B2不等式的性质例3（2007
4、上海卷）已知a,b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是22.Aab22.B aba b2211.C aba b.baD abab22.Aabab.Bbbaaab22221.1Caabba baba0或ax2+bx+c0)说明：如果二次项系数小于零，两边乘以-1，并把不等号改变方向即可.记忆口诀：大于0取两边，小于0取中间.(a0且0)xyox1x2解一元二次不等式的步骤：把二次项系数化为正数；解对应的一元二次方程；根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象；得出不等式的解集4.解一元二次不等式例4(2009北京卷)设集合则21|2,12AxxBx xAB 1|12xx12xx|2x x|12
5、xxA.D.C.B.1|2,2Axx21|11Bx xxx 12ABxx A4.解一元二次不等式例5（2009江西卷）函数的定义域为xxxy43214，)04，10(，)04，10(，ABCD20340 xxx40 x 01x或234041xxx D4.解一元二次不等式例6（2009陕西卷）设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为20 xx()ln(1|)f xxMNA.0，1）B.（0，1）C.0，1 D.（-1，0 20 xx01xM=()ln(1|)f xxN=11x MN=0，1）0-114.解一元二次不等式例7（2009四川卷）设集合2|5,|4210,Sx xTx xx则 ST.
6、|75A xx .|35B xx.|53C xx.|75D xx (5,5),S C555xx 2421073xxx T(7,3)(5,3)ST 3-55-75.含绝对值的不等式 解含有绝对值不等式的关键是去绝对值符号，去绝对值符号的主要方法有：绝对值的定义;公式法:零点区间讨论法;绝对值的几何意义.|()|()()()()()f xg xf xg xf xg x 或|()|()()()()f xg xg xf xg x解含有（或多个）绝对值符号不等式的方法之一:分段讨论（零点分段法：分别令每个绝对值符号内的项为零，得到的x值就叫做“零点”）,将各段的解集并起来作为最后结果.例8(2009山东
7、卷)不等式的解集为_0212xx5.含绝对值的不等式221(2)0 xxx 0212xx20.512221(2)0 xxx 12(21)(2)0 xxx 或或无解21xx 122330 xx 1210 xx 112x112x -11|11xx 例9（2009全国1）不等式的解集为5.含绝对值的不等式111 xx011xxx x 01xx 10 xx 0 x xA.B.C.D.0040)1()1(|1|1|11122xxxxxxxxD.例10（2009广东卷）不等式的实数解为5.含绝对值的不等式112xx112xx5.含绝对值的不等式例11（2009辽宁卷）已知偶函数f(x)在区间0,+)单调增
8、加，则满足f(2x-1)1时,(2)当0a0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正;判断或比较根的大小.8.零点分段法例16（2009全国2）设集合1|3,|04xAx xBx x则=ABA.B.3,4C.2,1D.4.1|0|(1)(4)0|144xBxxxxxxx14+-(3,4)AB3B8.零点分段法例17(2009湖北卷)已知关于x的不等式0的解集是11axx1(,1)(,)2 .则a_根据零点分段法，不等式解集的端点是零点，显然-1是分母的零点，这样只有1()102a 2a-28.零点分段法例18（2007全国2）不等式:0的解集为412 xxA.(-2,1)B.(
9、2,+)C.(-2,1)(2,+)D.(-,-2)(1,+)2104xx10(2)(2)xxx2-21+-原不等式的解集为(-2,1)(2,+).C22()221a,b,2ababababa+Rb调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数()的大小则关系：均方根(2)极值定理的应用条件:一正二定三相等极值定理的应用规则:和定积最大,积定和最小.正：条件（或目标）式中项必须都是正数；定：目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）；等：等号成立的条件必须存在.12ab11a+b+ab2调和平均数：9最值定理9最值定理例19（2009湖南卷文若x0，则的最小值为_ 2xx0 x 22 2xx
10、当且仅当22xxx时取等号.2 29最值定理例20（2009天津卷)设,1,1,x yR ab3,2 3,xyaba b 若11xy则的最大值为A 2 B 23 C 1 D 213log 3,log 3xyababxy1111log 3log 3abxy233loglog()12abab33loglogabC作差比较法的步骤：作差变形（化简）定号（差值 的符号）作商比较法的步骤：作商变形（化简）判断（商值与实数1的大小关系）得出结论1.比较法10.不等式的证明依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法.2.综合法
11、：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.综合法的思维特点是：12nABBBB10.不等式的证明证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.3.分析法：用分析法证明不等式的逻辑关系是：12nBBBBA10.不等式的证明分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题B2为真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真.10
12、.不等式的证明4.换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些变量，使得原式化为简单明了的式子进行论证或求值的方法叫做换元法.三角代换法，如：若x2+y2=1,可令x=cos，y=sin若x2+y2R2，可令x=rcos,y=rsin（rR）当-1x1时，可令x=cos，0,若y=21x可令x=cos，此时y=sin，0,代数换元：整体换元、均值换元、设差换元等方法10.不等式的证明放缩常用的技巧：（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的（2）在分式中放大或缩小分子或分母（3）可利用基本不等式进行放缩放缩时一定要适度，放缩过大或不足都将达不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度.5.放缩法：在证明
13、不等式中常将一边（或其中一项）A放大为B（或缩小为B），得到不等式AB（或AB），连续使用不等式链A B M，以达到证明AM的方法，称为放缩法.其中放缩适度是解决问题的关键.10.不等式的证明6.反证法的一般步骤：反设结论找出矛盾肯定结论在直接证明不等式有困难时，可以试用反证法，在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证.10.不等式的证明7.构造法：构造方程法:对于形如af(x)b的不等式，令y=f(x),把它整理成关于x的二次方程，利用方程有实数解的条件0，建立关于y的不等式，求解出y的范围，达到证明不等式的目的.根据所给不等式的特征，利
14、用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法.构造函数法几何构造法(构造图形法):将不等式中的项赋予一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不等式的目的.10.不等式的证明a2aoyx21oyx 函数在 0 x1,x1时的单调性.xxy1函数,(a0)在时的单调性.xaxyaxax,08.对勾函数：例21求函数的最小值.4522xxy分析：请思考下面解法对否？41441445222222xxxxxxy2414222xx函数的最小值是2.上面的解 法是错误的,此时“=”不能达到，因为当.3414222xxx故取等号时的 x 值不存在.10.不等式的证明例22.已知m正整数.【思路点
15、拨】不等式的证明方法一般有作差比较法、作商比较法、综合法、分析法、三角换元、代数换元、放缩法、反证法、单调性及数学归纳法.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)验证：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.10.不等式的证明用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；【证明】当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立；下用数学归纳法证明：当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx.用数学归
16、纳法证明本不等式的步骤：(1)验证：当m=2结论正确；(2)假设当m=k(kN*,且k2)时结论(1+x)k1+kx 正确，推导当m=k+1时结论(1+x)k+11+(k+1)x也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从2开始的所有正整数m都有(1+x)m1+mx正确.例21.已知m正整数.10.不等式的证明用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；证明：当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx.(i)当m=2时，左边1+2x+x2 1+2x=右边即左边右边，不等式成立；验证正确（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即(1+x)k1+kx,假设正确则当m=k+1时，由条件知
17、 1+x0，kx20.左边=(1+x)k+1=1+(k+1)x+kx2=(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)1+(k+1)x=右边所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.推理准备利用假设转化变形推出正确二步小结由(i)(ii)知，当m2时所证不等式成立.肯定结论(1+x)k+11+(k+1)x例21.已知m正整数.10.不等式的证明寄语以上通过例题的形式，介绍了不等式的性质和基本不等式问题的分析和处理方法.仅仅是起到一个抛砖引玉的作用.希望能使所有听课同学的思维得到升华.再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋谢谢大家！点滴积累 丰富人生 世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋.知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙.
