1、1(2015重庆，6，易)若tan ，tan()，则tan ()A. B.C. D.【答案】Atan tan().2(2015江苏，8，易)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_【解析】tan tan3.【答案】33(2015 广东，16，12分，易)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值解：(1)tan3.(2)1.1(2013江西，3，易)若sin ，则cos ()A B C. D.【答案】C由余弦的二倍角公式得cos 12sin2 12.2(2013课标，6，易)已知sin 2，则cos2()A. B. C. D.【答案】Acos2.故选A.3(2012重庆，5，中)(
2、)A B C. D.【答案】C原式sin30.4(2014大纲全国，14，中)函数ycos 2x2sin x的最大值为_【解析】因为ycos 2x2sin x12sin2x2sin x2，所以当sin x时，函数ycos 2x2sin x取得最大值，最大值为.【答案】5(2014江苏，15，14分，中)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解：(1)因为，sin ，所以cos .故sinsincos cossin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin212，所以coscoscos 2sinsin 2.6(2014四川，17，12分，中)已知函数
3、f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f coscos 2，求cos sin 的值解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，有f sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知2k，kZ.此时，cos sin .当sin cos 0时，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin 0，此时cos sin .综
4、上所述，cos sin 或.7(2012广东，16，12分，中)已知函数f(x)Acos，xR，且f .(1)求A的值；(2)设，f ，f ，求cos()的值解：(1)因为f AcosAcosA，所以A2.(2)由f 2cos2cos2sin ，得sin ，又，所以cos .由f 2cos2cos ，得cos ，又，所以sin ，所以cos()cos cos sin sin .考向1三角函数式的化简与证明1两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin ；(S)sin()sin cos cos sin .(S)cos()cos cos sin sin ；(C)cos()cos
5、 cos sin sin .(C)tan()；(T)tan().(T)2二倍角公式sin 22sin cos ；(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(C2)tan 2.(T2)3公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )(2)升幂公式1cos 2cos2；1cos 2sin2.(3)降幂公式sin2；cos2.(4)其他常用变形sin 2；cos 2；1sin ；tan.4辅助角公式asin bcos sin()，其中cos ，sin .5角的拆分与组合(1)已知角表
6、示未知角例如，2()()，2()()，()()，.(2)互余与互补关系例如，.(3)非特殊角转化为特殊角例如，154530，754530.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化(1)(2013重庆，9)4cos 50tan 40()A. B. C. D21(2)(2014山东临沂质检，13)化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2_.【解析】(1)4cos 50tan 404sin 40，故选C.(2)方法一(从“角”入手，复角化单角)：原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2co
7、s21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.方法二(从“名”入手，异名化同名)：原式sin2sin2(1sin2)cos2cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)cos 2cos 2cos2cos 2cos 2.方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)：原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2) cos 2cos 2.方法四(从“形”入手，利用配方法，先对二
8、次项配方)：原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2cos2()sin 2sin 2cos 2cos 2cos2()cos(22)cos2()2cos2()1.【答案】(1)C(2)【点拨】解题(1)的思路是先切化弦，再化异角为同角，约分化简；解题(2)的关键是要抓住所给三角函数式的特点，明确化简思路，应用三角函数公式 三角函数式的化简方法及思路(1)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换等(2)化简的基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从
9、而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负(2015上海黄浦区模拟，19，12分)已知0x，化简：lglglg(1sin 2x)解：原式lg(sin xcos x)lg(sin xcos x)lg(1sin 2x)lglg0.考向2三角函数的求值三角函数求值的原则通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；
10、(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(2014江西，16，12分)已知函数f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数，且f 0，其中aR，(0，)(1)求a，的值；(2)若f ，求sin的值【思路导引】(1)f(x)是奇函数，而y1a2cos2x是偶函数，所以y2cos(2x)是奇函数，可得，然后由f 0，可得a；(2)结合(1)中的结论，运用倍角公式化简f(x)的解析式，再由同角三角函数的基本关系式与两角和的正弦公式求sin的值【解析】(1)因为f(x)(a2cos2x)cos(2x)是奇函
11、数，而y1a2cos2x为偶函数，所以y2cos(2x)为奇函数，又(0，)，得，所以f(x)sin 2x(a2cos2x)由f 0，得(a1)0，即a1.(2)由(1)得，f(x)sin 4x，因为f sin ，即sin ，又，从而cos ，所以sinsin cos cos sin . 三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点
12、合理地进行变形(2)“给值求值”：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”(2014广东，16，12分)已知函数f(x)Asin，xR，且f .(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.解：(1)fAsinAsin，A3.(2)由
13、(1)得，f(x)3sin，f()f()3sin3sin336sin cos3sin .sin .又，cos ，f 3sin3sin 3cos 3.1(2014安徽蚌埠二模，6)的值是()A. B. C. D.【答案】C原式.2(2015山东济南一模，5)若，则sin cos 的值为()A B C. D.【答案】C由已知三角等式得，整理得sin cos .3(2014安徽合肥三模，8)已知cossin ，则sin的值是()A B. C. D【答案】D由条件知cossin sin sin，即sin.故sinsinsin.4(2015河南开封二模，7)已知tan 4，则的值为()A4 B. C4
14、D.【答案】B.故选B.方法点拨：将cos 2，sin2展开把分子分母同除以cos2，转化为含tan 的式子代入求值5(2015北京西城一模，13)若锐角，满足(1tan )(1tan )4，则_.【解析】因为(1tan )(1tan )4，所以1(tan tan )3tan tan 4，即(tan tan )33tan tan 3(1tan tan )，即tan tan (1tan tan )tan().又，为锐角，.【答案】6(2014河南商丘质检，14)已知，且2sin2sincos 3cos20，则_.【解析】 ，且2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos )(s
15、in cos )0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.【答案】7(2015山东菏泽二模，13)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2_.【解析】tan tan()1，所以0，tan 21，所以02，tan(2)1.因为0，所以2，所以2.【答案】8(2015山东济南一模，16，12分)已知函数f(x)sin xcos xsin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的取值范围解：f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin.(1)T.(2)x，2x.当2x时，f(x)取得最大值1；当2x时，f(x)取得最小值.f(x)在区间上的取
16、值范围为.9(2014安徽池州二模，16，12分)已知，(0，)，f().(1)用sin 表示f()；(2)若f()sin ，求及的值解：(1)f().(2)00.f()sin 21，又f()sin 1，f()1，此时sin ，即sin ，或.又0，0sin 1，f()1，所以f()sin 1，所以.综上可知或，.10(2015福建龙岩一模，18，12分)已知函数f(x)sin xcos xcos2xa.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为，求a的值解：(1)f(x)sin 2xasina，所以T.由2k2x2k，得kxk.故函数f(x)的
17、单调递减区间是(kZ)(2)因为x，所以2x.所以sin1.因为函数f(x)在上的最大值与最小值的和为，所以a0.1(2015 广东，5，易)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b()A3 B2C2 D.【答案】C在ABC中，由余弦定理可得：a2b2c22bccos A，4b2122b2，整理可得b26b80.解得b2或b4.又bc2，b4舍去，b2，选C.2(2015安徽，12，易)在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.【解析】由A75，B45知C60.根据正弦定理，得，即AC2.【答案】23(2015 北京，11，易)在ABC中，a3，b
18、，A，则B_【解析】根据得sin B，sin B.B或B.又ab，AB，B.【答案】4(2015湖北，15，中)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】在ABC中，CAB30，ACB45，AB600 m，由正弦定理得，BC300 m.在RtDCB中，DBC30，tan 30，CDBCtan 30100(m)【答案】1005(2015山东，17，12分，中)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos B，sin(AB)，ac2，
19、求sin A和c的值解：在ABC中，由cos B，得sin B.因为ABC，所以sin Csin(AB).因为sin Csin B，所以CB，可知C为锐角，所以cos C.因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，可得a2c.又ac2，所以c1.6(2015课标，17，12分，中)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.解：(1)由正弦定理得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sinCsin(BACB)cosBsinB.由(1)知2sinBsinC，所以tan
20、B，即B30.7(2015课标，17，12分，中)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B 2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面积为1.1(2014江西，5，易)在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若3a2b，则的值为()A B. C1 D.【答案】D由正弦定理可得2121.因为3a2b，所以，所以21.方法
21、点拨：正弦定理与余弦定理是架起三角形边角关系的两座桥梁，利用这两个定理可以进行边角互化2(2013北京，5，易)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A. B. C. D1【答案】B在ABC中，由正弦定理，所以sin Bsin A.3(2013课标，4，中)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B.1C22 D.1【答案】B由正弦定理及已知条件得c2.又sin Asin(BC)，从而SABCbcsin A221.故选B.4(2014浙江，10，中)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离
22、为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m， BCM30，则tan 的最大值是()A. B. C. D.【答案】D如图，过点P作PDBC，垂足为D.平面MCB平面ABC，且平面MCB平面ABCBC，PD平面ABC.连接AD，PAD为点A观察点P的仰角.设CDx，BCM30，PDx.在RtABC中，AB15，AC25，sinACB，cosACB.由余弦定理得AD.tan ，当0，即x时，tan 最大，最大值为，故选D.5(2014湖北，13，中)在ABC中，角A，B，C所对的
23、边分别为a，b，c已知A，a1，b，则B_.【解析】由正弦定理，得sin B，又B，所以B或.【答案】或6(2014福建，14，中)在ABC中，A60，AC2，BC，则AB等于_【解析】由余弦定理得()2AB2222AB2cos 60，即AB22AB10，AB1.【答案】17(2014山东，17，12分，中)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解：(1)在ABC中，由题意知sin A，又因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理可得b3 .(2)由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以s
24、in Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此，ABC的面积Sabsin C33.方法点拨：解三角形类试题时，要熟记正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识，然后根据已知和上述公式、定理列出关于未知元素的方程，通过解方程得出未知元素，这是解三角形的基本方法8(2012安徽，16，12分，中)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有 2sin Bcos Asin Acos Ccos Asin C.(1)求角A的大小；(2)若b2，c1，D为BC的中点，求AD的长解：(1)方法一：由题知2sin Bcos Asin(AC)sin B，因为sin
25、B0，所以cos A.由于0A，故A.方法二：由题设可知，2bac，于是b2c2a2bc，所以cos A.由于0A，故A.(2)方法一：因为2(222)(14212cos )，所以|.从而AD.方法二：因为a2b2c22bccos A412213，所以a2c2b2，B.因为BD，AB1，所以AD.考向1利用正、余弦定理解三角形1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(其中R是ABC外接圆的半径)a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin
26、Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A；2Rcos A；cos B；cos C2利用正、余弦定理解三角形(1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，absin A，无解A为钝角或直角时，ab，a0，sin A1，即A，故选B.(2)在ABC中，sin Asin Bsin C51113，abc51113，故令a5k，b11k，c
27、13k(k0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形，故选C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)的关键是利用正弦定理进行边角互化，将已知式子转化为角角关系；解题(2)的关键是利用正弦定理将角角关系转化为边边关系，进而利用余弦定理求出最大边所对角的余弦值 利用正、余弦定理判断三角形形状的思路和途径要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)“角化边”：利用正弦、余
28、弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解(2012上海，16)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定【答案】Csin2Asin2Bsin2C，由正弦定理可得a2b2c2，cos C0，得C为钝角，故选C.考向3利用正、余弦定
29、理求有关三角形的面积三角形的面积公式设ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.(1)Sah(h为BC边上的高)；(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B；(3)S2R2sin Asin Bsin C(R为ABC外接圆半径)；(4)S；(5)S；(6)Spr(p同“(5)”，r为ABC内切圆的半径)(2014课标，17，12分)四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积【思路导引】(1)根据内角A，C互补，利用余弦定理列出关于角C和BD的方程组，即可求出角C和BD；(2)利用三角形面积公式可得S
30、四边形ABCDSABCDABADsin ABCCDsin C，即可求得四边形ABCD的面积【解析】(1)由题设及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos C，故C，BD.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin2.【点拨】(1)若已知量和未知量集中在一个三角形中，可直接利用正、余弦定理求解；(2)若已知量和未知量涉及两个或两个以上三角形，可根据已知条件列方程组求解 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用
31、哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化(2014安徽，16，12分)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，ABC的面积为，求cos A与a的值解：由三角形面积公式，得S31sin A，sin A.sin2Acos2A1，cos A.当cos A时，由余弦定理得a2b2c22bccos A32122138，a2.当cos A时，由余弦定理得a2b2c22bccos A321221312，a2.易错点拨：本题考查了正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等，应注意有两解时分类讨论思想的应用考向4解三角形在实际问题中的应用1常见的几种题型
32、测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的正北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角，方位角的范围是(0，360)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan 坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比(1)(2014四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气
33、球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m(2)(2014课标，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.【解析】(1)设A在地面的射影为O，则OAB907515，ABC105，而BAC753045，ACB30，又AB，AB60()m.在ABC中，由正弦定理得. BC120(1)m.(2)如图，在RtABC中，BC100，CAB45，AC100.在AMC中，CAM75，ACM6
34、0，AMC45.由正弦定理知，AM100.在RtAMN中，NAM60，MNAMsin 60150(m)【答案】(1)C(2)150【点拨】解题(1)的关键是明确俯角的概念，正确使用两角差的余弦公式；解题(2)的思想是要注意由实际问题转化为数学问题，正确应用定理 1.解三角形应用题的常见情形及方法解三角形应用题常见的两种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)
35、，解方程(组)得出所要求的解2解三角形应用题的一般步骤(2013江苏，18，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过
36、3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)因为0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走
37、了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内思路点拨：(1)利用正弦定理来解；(2)利用余弦定理构造函数，然后再求最值；(3)根据速度、路程、时间三者之间的关系求范围1(2014安徽安庆三模，6)在ABC中，AB12，sin C1，则abc等于()A123 B321C12 D21【答案】C由sin C1，C，由AB12，故AB3A，得A，B，由正弦定理得，abcsin Asin Bsin C12.2(2014河南郑州质检，5)在AB
38、C中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C()A. B C D.【答案】A由C2B得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及8b5c得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2B121.3(2015北京丰台一模，13)已知ABC中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC的面积为_【解析】由sin Ccos C得tan C0，所以C.根据正弦定理可得，即2，所以sin A.因为ABBC，所以AC，所以A，所以B，所以三角形为直角三角形，所以SABC1.【答案】4(2015山西太原一模，13)在ABC中，若B，ba，则C_.【解析
39、】由正弦定理可得，即，解得sin A.因为baa，所以AB，所以A，所以CAB.【答案】5(2015湖南衡阳二模，14)在ABC中，若a2，B60，b，则BC边上的高等于_【解析】由余弦定理得b2a2c22accos 60，即74c222c，整理得c22c30，解得c3.所以BC边上的高为csin B3sin 60.【答案】6(2015湖北荆门月考，13)在ABC中，若b2，c1，tan B2，则a_.【解析】由tan B20，知0B，得cos B，由余弦定理可得cos B，即，整理得3a22a210，解得a3或a(舍去)【答案】37(2015福建泉州一模，15)在ABC中，角A，B，C所对的
40、边分别为a，b，c且2b2a，logsin 2 blogsin 2 c，b2c2a2bc.若0，则cos Bsin C的取值范围是_【解析】由2b2a，得ba，因为0sin 21，且logsin 2 blogsin 2 c，所以bc.所以b最大因为b2c2a2bc，所以b2c2a2bc，即cos A，所以A，即BC.因为bc，所以BC，即BCBB2B，所以B.因为0，所以|cos(B)|cos B0，所以cos B0，即0B，所以B.cos Bsin Ccos Bsincos Bsincos Bsin Bsin.因为B，所以B，即sinsinsin，即sin，所以sin.即cos Bsin C
41、的取值范围是.【答案】8(2015山东师大附中一模，17，12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解：(1)bsin Aa cos B，由正弦定理得sin Bsin Asin Acos B在ABC中，sin A0，即得tan B，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2a cos ，解得a，c2a2.9(2015山东青岛二模，16，12分)在ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，q(2a，1)，p(2bc
42、，cos C)且pq.求：(1)sin A的值；(2)三角函数式1的取值范围解：(1)pq，2acos C2bc，根据正弦定理，得2sin Acos C2sin Bsin C.又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，2sin Acos C2sin Acos C2cos Asin Csin C，即sin Ccos Asin Csin C0，cos A.又0A，A，sin A.(2)1112cos2C2sin Ccos C，sin 2Ccos 2Csin，由A知，0C，2C，sin1，1sin，三角函数式1的取值范围是(1，10(2014安徽铜陵一模，16，12分)在A
43、BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值解：(1)由余弦定理得cos A.又因为0A，所以A.(2)由(1)得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin Aasin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当BC，即B时，S3cos Bcos C取最大值3.(时间：90分钟_分数：120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1(2014山东潍坊二模，6)已知向量a(cos x，si
44、n x)，b(，)，ab，则cos等于()A B C. D.【答案】D由ab，得cos xsin x，cos xsin x，即cos，故选D.2(2012江西，4)若tan 4，则sin 2()A. B. C. D.【答案】D由tan 4，得sin 2，故选D.3(2015山东临沂一模，3)设asin 2cos 2，b24sin213，c，则a，b，c的大小关系是()Acab BacbCbac Dcba【答案】Aa22(cos 30cos 2sin 30sin2)2cos 28，b2(12sin213)2cos 26，c2cos 30.因为ycos x在x0，90上单调递减，所以cos 26c
45、os 28cos 30，即cab.故选A.4(2013湖南，5)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.【答案】A2asin Bb，2sin Asin Bsin B.B为ABC的内角，sin B0.sin A.A为锐角，A.5(2013山东，7)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A2 B2 C. D1【答案】B由，得，所以，故cos A.又A(0，)，所以A，B，C，c2.6(2012江西，9)已知f(x)sin2.若af(lg 5)，bf 则()Aab0 Bab0Cab1 Dab1【答案
46、】C因为f(x)sin2，不妨令lg 5t，则lgt，所以af(lg 5)，bf f(t)，则可得ab1.故选C.7(2014河北沧州联考，9)ABC中，三边长a，b，c满足a3b3c3，那么ABC的形状为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上均有可能【答案】A由题意可知，c边最大a3b3c3，1，01，01，AC，BC，1，即a2b2c20，cos C0，0C.又AC，BC，ABC为锐角三角形，故选A.8(2011四川，6)在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C由正弦定理得a2b2c2bc，则b2c2a
47、2bc，cos A.又0A，得0A，即A的取值范围是，故选C.9(2013安徽，9)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则角C()A. B. C. D.【答案】B3sin A5sin B，3a5b.又bc2a，由余弦定理知cos C，C.思路点拨：先用正弦定理将角化边，然后列方程组用a表示出b，c，再用余弦定理求C.10(2012四川，5)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC，ED，则sinCED()A. B.C. D.【答案】B方法一：由题意可得，sinAEDcosAED，sinAEC，cosAEC，sinCE
48、Dsin(AEDAEC).方法二：在RtEAD和RtEBC中，易知ED，EC，在DEC中，由余弦定理得 cosCED.sinCED.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11(2014北京，12)在ABC中，a1，b2，cos C，则c_，sin A_.【解析】在ABC中，由余弦定理得c2a2b22abcos C142214，即c2.方法一：cos A，sin A.方法二：cos C，sin C.再由正弦定理得，解得sin A.【答案】212(2013四川，13)设sin 2sin ，则tan 2的值是_【解析】方法一：由sin 2sin 2sin cos sin ，sin 0，cos
49、，sin ，tan ，而tan 2.方法二：由已知得2sin cos sin ，cos .，.tan 2tantan.【答案】13(2014江苏，14)若ABC的内角满足sin A sin B2sin C，则cos C的最小值是_【解析】由已知sin Asin B2sin C及正弦定理可得ab2c.又由余弦定理得cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立，所以cos C的最小值为.【答案】14(2011上海，8)在相距2 km的A，B两处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_km.【解析】如图，由A点向BC作垂线，垂足为D，设ACx，CAB75，CBA60，ACB1
50、80756045，ADx，在RtABD中，ABsin 60x，x.【答案】三、解答题(共4小题，共50分)15(12分)(2014大纲全国，18)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C 2ccos A，tan A，求B.解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C，所以tan Btan(AC)tan(AC)1，所以B.16(12分)(2013广东，16)已知函数f(x)cos，xR.(1)求f 的值；(2)若cos ，求f .解：(1)f cosco
51、scos1.(2)f coscoscos 2sin 2.cos ，sin .sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.f cos 2sin 2.思路点拨：题(1)先根据条件求出cos 的值，再利用二倍角公式求值，熟练掌握公式是解题的关键；题(2)先将f 化简，再用倍角公式求出sin 2，cos 2，代入可得17(12分)(2014浙江，18)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin24sin Asin B2.(1)求角C的大小；(2)已知b4，ABC的面积为6，求边长c的值解：(1)由已知得21cos(AB)4sin Asin B2，化简得2cos A
52、cos B2sin Asin B，故cos(AB)，所以AB，从而C.(2)因为SABCabsin C，SABC6，b4，C，所以a3.由余弦定理c2a2b22abcos C，得c.18(14分)(2013天津，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin A 3csin B，a3，cos B.(1)求b的值；(2)求sin 的值解：(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B，又由bsin A3csin B，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accos B，cos B，可得b.(2)由cos B，得sin B，进而得cos 2B2cos2B1，sin 2B2sin Bcos B.所以sin sin 2Bcoscos 2Bsin .
