1、唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试数学试题（理）说明：1本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。其中第一道大题为选择题。2答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。3做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。4考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。参考公式：样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
2、中，有且只有一项符合题目要求。1复数=（ ）A2iB-2iC2D-22函数的定义域为（ ）ABCD3设，则函数的零点位于区间（ ）A（-1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）4已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）ABCD5执行右面的程序框图，如果输出的是，那么判断框中可以是（ ）A BCD6若函数的图象如右图，则函数的图象为 （ ）7四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（ ）ABCD8由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD9若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时（ ）A在单调
3、递减B在单调递增C在单调递减D在单调递增10若（ ）ABCD11一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 （ ）ABCD12在边长为1的正三角形ABC中，则的最大值为（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。13考古学家通过始祖鸟化石标本发现，其股骨长度（cm）与肱骨长度y(cm)线性回归方程为，由此估计，当肌骨长度为50cm时，肱骨长度的估计值为 cm.14在具有5个行政区域的地图（如图）上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有 种不同的着色方法。15椭圆的左、右焦点分别
4、为F1，F2，过F2作轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若，则椭圆的离心率 。16在中，边上的高为则AC+BC= 。三、解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）在等比数列中， （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求18（本小题满分12分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟。假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是 （1）求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率； （2）记张师傅此行程所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均
5、值。19（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点。 （1）求证：平面BED平面SAB； （2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小。20（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。 （1）证明：； （2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。21（本小题满分12分）已知函数 （1）若是单调函数，求的取值范围； （2）若有两个极值点，证明：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题
6、目对应的题号涂黑。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点F是AD延长线上一点，FG与圆O相切于点G，且EF=FG，求证： （1）； （2）EF/BC。23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系和极坐标系的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）。 （1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求的面积； （2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），求曲线C与直线的交点坐标。24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知的解集为M。 （1）求M； （2）当时
7、，证明：唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试理科数学参考答案一、 选择题：A卷：DCCACCBAABBDB卷：ABCDC CAADB DB二、填空题：（13）56.19（14）48（15）1（16）三、解答题：（17）解：（）设等比数列an的公比为q，依题意解得a12，q2，an22n12n4分（）Sn2(2n1)，6分所以S12S2nSn2(2222n2n)(12n)，设Tn2222n2n，则2Tn22223n2n1，得Tn2222nn2n1n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12，9分S12S2nSn2(n1)2n12n(n1)(n1)2n24n(n1)12分（18）
8、解：（）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟张师傅此行程时间不小于16分钟的概率P1(1)44分（）设此行程遇到红灯的次数为X，则XB(4，)，P(Xk)C()k()4k，k0，1，2，3，4依题意，Y15X，则Y的分布列为Y1516171819P10分Y的均值E(Y)E(X15)E(X)1541512分（19）解：（）SD平面ABCD，平面SAD平面ABCD，ABAD，AB平面SAD，DEABSDAD，E是SA的中点，DESA，ABSAA，DE平面SAB平面BED平面SAB4分ACBDESxyz（）建立如图所示的坐标系Dxyz，不妨设AD2，则D(0，0，0)，A(2，0，
9、0)，B(2，0)，C(0，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)(2，0)，(1，0，1)，(2，0，0)，(0，2)设m(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则即因此可取m(1，1)8分设n(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则即因此可取n(0，1)10分cosm，n，故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为3012分（20）解：（）由题设知，F(，0)，C(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为xmy，代入抛物线方程y22px，得y22pmyp20y1y22pm，y1y2p24分不妨设y10，y20，则tanACF，tanBCF，tanACFtan
10、BCF，所以ACFBCF8分（）如（）所设y10，tanACF1，当且仅当y1p时取等号，此时ACF取最大值，ACB2ACF取最大值，并且A(，p)，B(，p)，|AB|2p12分（21）解：（）f(x)lnxax2x，f(x)2ax12分令18a当a时，0，f(x)0，f(x)在(0，)单调递减4分当0a时，0，方程2ax2x10有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x(0，x1)(x2，)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0，这时f(x)不是单调函数综上，a的取值范围是，)6分（）由（）知，当且仅当a(0，)时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1x2，x1
11、x2f(x1)f(x2)lnx1axx1lnx2axx2(lnx1lnx2)(x11)(x21)(x1x2)ln(x1x2)(x1x2)1ln(2a)19分令g(a)ln(2a)1，a(0，则当a(0，)时，g(a)0，g(a)在(0，)单调递减，所以g(a)g()32ln2，即f(x1)f(x2)32ln212分（22）证明：（）FG与圆O相切于点G，FG2FDFA，EFFG，EF2FDFA，EFDAFE，EFDAFE5分（）由（），有FEDFAE，FAE和BCD都是上的圆周角，FEDBCD，EFBC10分（23）解：（）曲线C在直角坐标系下的普通方程为1，将其化为极坐标方程为1，分别代入和，得|OA|2|OB|2，因AOB，故AOB的面积S|OA|OB|5分（）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得(t2)20，t2，代入l的参数方程，得x2，y，所以曲线C与直线l的交点坐标为(2，)10分（24）解：（）f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)24；当x1时，由2x4，得1x2所以M(2，2)5分（）当a，bM即2a，b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|4ab|10分
