1、课时活页作业(四十)基础训练组1若平面,互相垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()An1(1,2,1),n2(3,1,1)Bn1(1,1,2),n2(2,1,1)Cn1(1,1,1),n2(1,2,1)Dn1(1,2,1),n2(0,2,2)解析两个平面垂直时其法向量也垂直,只有选项A中的两个向量垂直故选A.答案A2若平面,的法向量分别为n1(2,3,5),n2(3,1,4),则()ABC,相交但不垂直 D以上均不正确解析n1n22(3)(3)15(4)0,n1与n2不垂直,与相交但不垂直答案C3设平面的法向量为(1,2,2),平面的法向量为(2,4,k),若,则k等于()A2B4 C4
2、D2解析因为,所以,所以k4.答案C4向量a(2,3,1),b(2,0,4),c(4,6,2),下列结论正确的是()Aab,ac Bab,acCac,ab D以上都不对解析因为ab0,c2a,ac,ab.答案C5已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,4 B.,4C.,2,4 D4,15解析,0,即352z0,得z4.BP平面ABC,BPAB,BPBC,又(3,1,4),则解得答案B6如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA1,AD2,P为C1D1的中点,M为BC的中点则AM与PM的位置关系为()A平行B异面C垂
3、直D以上都不对解析以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0)(,2,0)(0,1,)(,1,),(,2,0)(2,0,0)(,2,0),(,1,)(,2,0)0,即,AMPM.答案C7已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2),b(x,2,3),且,则x_.解析由知ab0,即x1(2)230,解得x4.答案48已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;是平
4、面ABCD的法向量;.其中正确的是_解析0,0.ABAP,ADAP,则正确又与不平行,是平面ABCD的法向量,则正确由于(2,3,4),(1,2,1),与不平行,故错误答案9如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,ABAC,BCAB,B1C1綊BC,二面角A1ABC是直二面角求证:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.证明二面角A1ABC是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,AA1平面BAC.又ABAC,BCAB,CAB90,即CAAB,AB,AC,AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB2,则A(0,0,0),B1(0,2,2
5、),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2)(1)(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n(x,y,z),则即即取y1,则n(0,1,0)2n,即n.A1B1平面AA1C.(2)易知(0,2,2),(1,1,0),(2,0,2),设平面A1C1C的一个法向量m(x1,y1,z1),则即令x11,则y11,z11,即m(1,1,1)m012(1)210,m.又AB平面A1C1C,AB1平面A1C1C.10(2016汕头模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AEFC11.(1)求证:E,B,F,D1
6、四点共面;(2)若点G在BC上,BG,点M在BB1上,GMBF,垂足为H,求证:EM平面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),E(3,0,1),F(0,3,2),D1(3,3,3),则(3,0,1),(0,3,2),(3,3,3)所以.故,共面又它们有公共点B,所以E,B,F,D1四点共面(2)设M(0,0,z0),G,则,而(0,3,2),由题设得3z020,得z01.故M(0,0,1),有(3,0,0)故ME平面BCC1B1. 又(0,0,3),(0,3,0),所以0,0,从而MEBB1,MEBC.又BB1BCB.能力提升组11若直线l的一个方向向量为a
7、(2,5,7),平面的一个法向量为u(1,1,1),则()Al或l BlCl Dl与斜交解析由条件知au21517(1)0,所以au,故l或l.故选A.答案A12(2016宁波检测)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交 B平行C垂直 D不能确定解析建立如图所示的坐标系,由于A1MAN,则M,N,又C1D1平面BB1C1C,所以(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0,所以,所以MN平面BB1C1C.故选B.答案B13如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB,A
8、F1,M在EF上且AM平面BDE,则M点的坐标为()A(1,1,1)B.C. D.解析由选项特点,设M(,1),又A(,0),D(,0,0),B(0,0),E(0,0,1),则(,0,1),(0,1),(,1)设平面BDE的法向量n(x,y,z),则即不妨取z,则n(1,1,),由于AM平面BDE,所以n,即n0,所以0,解得,即M点坐标为.故选C.答案C14如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,那么CE与DF的和的值为_解析以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CEx,DFy,则易知E(x
9、,1,1),B1(1,1,0),所以(x1,0,1),又F(0,0,1y),B(1,1,1),所以(1,1,y),由于ABB1E,故若B1E平面ABF,只需(1,1,y)(x1,0,1)0xy1.答案115如图,在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AEBFx,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E,F的坐标;(2)求证:A1FC1E;(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:.解(1)E(a,x,0),F(ax,a,0)(2)证明:A1(a,0,a),C1(0,a,a),(x,a,a),(a,xa,a),axa(xa)a20,A1FC1E.(3)证明:A1,E,F,C1四点共面,共面选与为一组基向量,则存在惟一实数对(1,2),使12,即(x,a,a)1(a,a,0)2(0,x,a)(a1,a1x2,a2),解得1,21.于是.