1、课时活页作业（四十）基础训练组1若平面，互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是()An1(1,2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2)解析两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直故选A.答案A2若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直 D以上均不正确解析n1n22(3)(3)15(4)0，n1与n2不垂直，与相交但不垂直答案C3设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2B4 C4
2、D2解析因为，所以，所以k4.答案C4向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是()Aab，ac Bab，acCac，ab D以上都不对解析因为ab0，c2a，ac，ab.答案C5已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析，0，即352z0，得z4.BP平面ABC，BPAB，BPBC，又(3,1,4)，则解得答案B6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为()A平行B异面C垂
3、直D以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0)(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.答案C7已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2,3)，且，则x_.解析由知ab0，即x1(2)230，解得x4.答案48已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平
4、面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析0，0.ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确由于(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误答案9如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.证明二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，AA1平面BAC.又ABAC，BCAB，CAB90，即CAAB，AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2
5、)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(1)(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面AA1C.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又AB平面A1C1C，AB1平面A1C1C.10(2016汕头模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1
6、四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)所以.故，共面又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面(2)设M(0,0，z0)，G，则，而(0,3,2)，由题设得3z020，得z01.故M(0,0,1)，有(3,0,0)故ME平面BCC1B1. 又(0,0,3)，(0,3,0)，所以0，0，从而MEBB1，MEBC.又BB1BCB.能力提升组11若直线l的一个方向向量为a
7、(2,5,7)，平面的一个法向量为u(1,1，1)，则()Al或l BlCl Dl与斜交解析由条件知au21517(1)0，所以au，故l或l.故选A.答案A12(2016宁波检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交 B平行C垂直 D不能确定解析建立如图所示的坐标系，由于A1MAN，则M，N，又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0，所以，所以MN平面BB1C1C.故选B.答案B13如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，A
8、F1，M在EF上且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1,1,1)B.C. D.解析由选项特点，设M(，1)，又A(，0)，D(，0,0)，B(0，0)，E(0,0,1)，则(，0,1)，(0，1)，(，1)设平面BDE的法向量n(x，y，z)，则即不妨取z，则n(1,1，)，由于AM平面BDE，所以n，即n0，所以0，解得，即M点坐标为.故选C.答案C14如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，那么CE与DF的和的值为_解析以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x
9、,1,1)，B1(1,1,0)，所以(x1,0,1)，又F(0,0，1y)，B(1,1,1)，所以(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需(1,1，y)(x1,0,1)0xy1.答案115如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.解(1)E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)证明：A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明：A1，E，F，C1四点共面，共面选与为一组基向量，则存在惟一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.