1、7.5空间向量及其运算必备知识预案自诊知识梳理1.空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线共面向量平行于的向量共线向量定理对任意两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是空间向量基本定理定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc2.空间向量的数量积及空间向量的坐标运算(1)两个非零向量的数量积:ab=|a|b|cos,特别地,零向量与任意向量的数量积为0;若a与b都是非零向量,则abab=0;
2、设a=(a1,a2,a3),则|a|2=aa,|a|=aa=a12+a22+a32.(2)空间向量的坐标运算:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=向量差a-b=数乘a=,R数量积ab=共线当b0时,aba=ba1=b1,a2=b2,a3=b3(R)垂直abab=0(a,b均为非零向量)夹角公式cos=ab|a|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b323.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得OP
3、=a.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l平面,取直线l的方向向量a,称向量a为平面的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2l1l2u1u2R,使得u1=u2l1l2u1u2u1u2=0直线l的方向向量为u,平面的法向量为nl(l)unun=0lunR,使得u=nn1,n2分别是平面,的法向量n1n2R,使得n1=n2n1n2n1n2=01.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:(1)PA=PB(R);(2)对空间任意
4、一点O,OP=OA+tAB(tR);(3)对空间任意一点O,OP=xOA+yOB(x+y=1).2.证明空间四点共面的方法已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若满足向量关系式OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),则点P与点A,B,C共面.3.确定平面的法向量的方法(1)直接法:观察是否有垂直于平面的向量,若有,则此向量就是法向量.(2)待定系数法:取平面内的两个不共线向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由na=0,nb=0,解方程组求得.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+D
5、A=0.()(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.()(3)空间中任意两非零向量a,b共面.()(4)对于空间非零向量a,b,若ab0,则a与b的夹角为钝角.()(5)对于非零向量b,由ab=bc,得a=c.()2.(2020北京朝阳检测)已知平面的一个法向量为(1,2,-2),平面的一个法向量为(-2,-4,k),若,则k等于()A.2B.-4C.4D.-23.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,给出下列结论:直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);平面
6、B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.44.(2020山东烟台月考)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则直线l与平面的位置关系为.5.正四面体A-BCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.关键能力学案突破考点空间向量的线性运算【例1】(1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c(2)已知正方体
7、ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1B1C1D1的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,则x,y的值分别为()A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1解题心得进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.对点训练1如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.考点共线、共面向
8、量定理的应用【例2】(1)已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是()A.2,12B.-13,12C.-3,2D.2,2(2)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0k1).判断向量MN是否与向量AB,AA1共面.解题心得共线、共面向量定理的类比三点P,A,B共线空间四点M,P,A,B共面PA=PBMP=xMA+yMB对空间任一点O,OP=OA+tAB对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB对空间任一点O,OP=xOA+(1-x)OB对空间任一点O,OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB
9、对点训练2(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=.(2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若向量a,b,c共面,则实数等于.考点空间向量数量积的应用【例3】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1BD;(3)求BD1与AC夹角的余弦值.解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为,则cos=ab|a|b|,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计
10、算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.对点训练3(1)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则直线l与直线QB1所成角的余弦值为()A.33B.105C.54D.32(2)已知空间向量a=(1,-,-1),b=(-,1-,-1)的夹角为钝角,则实数的取值范围是.考点利用空间向量证明平行、垂直【例4】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,ABC=BCD=9
11、0,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30.求证:(1)CM平面PAD;(2)平面PAB平面PAD.解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.对点训练4如图
12、所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN平面A1B1C1;(2)平面MBC1平面BB1C1C.7.5空间向量及其运算必备知识预案自诊知识梳理1.互相平行或重合同一个平面存在唯一一个实数,使a=b存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb2.(2)(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(a1,a2,a3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=0考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.C因为,所以1-2=2-4=-2k,所
13、以k=4.3.C因为DD1AA1,AA1=(0,0,1),故正确;因为BC1AD1,AD1=(0,1,1),故正确;因为直线AD平面ABB1A1,AD=(0,1,0).故正确;因为点C1的坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD不垂直,故错误.4.l因为a=-12n,所以l.5.2|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(ECCD+ECDF+CDDF)=12+22+12+2(12cos120+0+21cos120)=2,所以|EF|=2,所以EF的长为2.关键能力学案突破例1(1)A(2)C(1)BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a
14、)=-12a+12b+c.故选A.(2)AE=AA1+A1E=AA1+12A1C1=AA1+12(AB+AD)=AA1+12AB+12AD,故x=12,y=12.故选C.对点训练1解(1)P是C1D1的中点,AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+c+12b.(2)N是BC的中点,A1N=A1A+AB+BN=-a+b+12BC=-a+b+12AD=-a+b+12c.(3)M是AA1的中点,MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+a+c+12b=12a+12b+c.又NC1=NC+CC1=12BC+AA1=12AD+AA1=12c+a.MP+NC1=1
15、2a+12b+c+a+12c=32a+12b+32c.例2(1)Aab,b=ka(kR),即(6,2-1,2)=k(+1,0,2),6=k(+1),2-1=0,2=2k,解得=2,=12或=-3,=12.故选A.(2)解AM=kAC1,BN=kBC,MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B1C1)+AB=kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(AA1+AB)=(1-k)AB-kAA1,由共面向量定理知向量MN与向量AB,AA1共面.对点训练2(1)-3(2)657(1)AB=(3,-1,1),AC=(m+1,n-2,-2),且A,B,C三点共线
16、,存在实数,使得AC=AB.即(m+1,n-2,-2)=(3,-1,1)=(3,-,),m+1=3,n-2=-,-2=,解得=-2,m=-7,n=4.m+n=-3.(2)由题意,可设a=xb+yc,故(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,),即-x+7y=2,4x+5y=-1,-2x+y=3,解得=657.例3(1)解设AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,=60,所以ab=bc=ca=12.因为AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1+1+1+212+12
17、+12=6.所以|AC1|=6,即AC1的长为6.(2)证明BD=AD-AB=b-a,又由(1)知AC1=a+b+c,所以AC1BD=(a+b+c)(b-a)=ab+b2+bc-a2-ab-ac=12+1+12-1-12-12=0,所以AC1BD,即AC1BD.(3)解BD1=BC+CC1+C1D1=b+c-a,AC=AB+AD=a+b,所以|BD1|=2,|AC|=3.BD1AC=(b+c-a)(a+b)=b2-a2+ac+bc=1.所以cos=BD1AC|BD1|AC|=66.所以BD1与AC夹角的余弦值为66.对点训练3(1)B(2)2-22,2+22(1)取C1D1的中点E,则平面PQ
18、EM是经过点M,P,Q的平面,延长PQ,交DC延长线于点F,则EF是经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线l,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则E0,12,1,F0,32,0,Q12,1,0,B1(1,1,1),EF=(0,1,-1),QB1=12,0,1,设直线l与直线QB1所成角为,则cos=|EFQB1|EF|QB1|=1254=105,故直线l与直线QB1所成角的余弦值为105.(2)a与b的夹角为钝角,ab0,且a与b不反向共线.由ab=-(1-)+(-1)20,化为22-4+10,解得2-222+22,若a与b反向共线,则存
19、在负实数k,使得a=kb,得到1=-k,-=k(1-),-1=k(-1),此方程组无解,故实数的取值范围是2-22,2+22.例4证明以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角.PBC=30.PC=2,BC=23,PB=4.D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32,0,32,DP=(0,-1,2),DA=(23,3,0),CM=32,0,32.(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,由DPn=0,DAn=0,即-y+2z=0
20、,23x+3y=0.令y=2,得n=(-3,2,1).nCM=-332+20+132=0,nCM.又CM平面PAD,CM平面PAD.(2)如图,取AP的中点E,连接BE,则E(3,2,1),BE=(-3,2,1).PB=AB,BEPA.又BEDA=(-3,2,1)(23,3,0)=0,BEDA,即BEDA.又PADA=A,BE平面PAD.又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.对点训练4证明由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,
21、2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1底面A1B1C1.因为AA1=(2,0,0),MN=(0,1,1),所以MNAA1=0,即MNAA1.又MN平面A1B1C1,故MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).因为MB=(-1,2,0),MC1=(1,0,2),所以n1MB=0,n1MC1=0,即-x1+2y1=0,x1+2z1=0,令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1n2=20+11+(-1)1=0,所以n1n2,所以平面MBC1平面BB1C1C.
