1、第九章解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线中的范围、最值问题A级基础过关|固根基|1.抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为()A. B.C2 D.解析：选B设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d，当x时，dmin.2过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是()A(0，4) B(0，4C(0，2 D(0，2)解析：选D过抛物线y22px(p0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p，由已知得2p4，所以p0，所以0pb0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦
2、点F，若k，则椭圆离心率的取值范围为()A. B.C. D.解析：选B由题意知，B，所以k1e.又k，所以1e，解得e.5已知点P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A1 B2C4 D21解析：选D设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|PF2|2，所以|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离易知l的方程为y或y，F2(，0)，则F2到l的距离为d1，故|PF1|PQ|的最小值为21.故选D.6已知P(x0
3、，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则x0的取值范围是_解析：由题意可知，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy30.因为点P在椭圆上，所以y1.所以x30，解得x00，b0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_解析：由过双曲线1(a0，b0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得2，e 1，1eb0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值解：(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)
4、设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230.所以x1x2，x1x2.|AB|.当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.10如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在抛物线C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解：(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，即，在y24x上，所以有4，同理4.所以y1，y2为方程4，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，
5、PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积为SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x00)，所以y4x04x4x044，5，因此，PAB面积的取值范围是.B级素养提升|练能力|11.已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足 2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大答案：512.如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的
6、点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.则直线AP斜率的取值范围为_，|PA|PQ|的最大值为_解析：设直线AP的斜率为k，则kx.因为xb0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围解：(1)由题知e，2b2，又a2b2c2，b1，a2，椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程消去y得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m
7、)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.若kOMkON，则，即4y1y25x1x2.4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m20)，过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足y1y24.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(2，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求的最小值解：(1)因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程为xmy，代入抛物线方程得y22pmyp20，则y1y2p24，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，则直线AB的方程为xmy1，代入抛物线的方程有y24my40，所以y1y24m，y1y24，则k1，k2，所以m，m，因此2m26m92m26m92m26m95m2，所以当m0时，有最小值为.
