1、第 2 课时 简单的三角恒等变换必备知识预案自诊 考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.()(2)在斜三角形 ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.()(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()(4)存在实数,使 tan 2=2tan.()2.化简:-(-)=()A.2 cos B.cos C.2 sin D.sin 3.已知 sin -=,那么 cos 2+sin 2=()A.B.-C.-D.4.若 tan=-3,则 的值为()A.B.C.D.-2
2、5.设 1,2R,且 =2 019,则 tan(1+2)=.关键能力学案突破 考点 三角函数式的化简【例 1】(1)等于()A.-sin B.-cos C.sin D.cos(2)化简:-2cos(+).解题心得 1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.3.化简、求值的主要技巧:(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.对点训练 1(1)化
3、简:-=.(2)化简:-.考点 三角函数式的求值(多考向探究)考向 1 给角求值【例 2】的值是 .解题心得三角函数给角求值问题的解题策略:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.对点训练 2 求值:-=()A.1B.2C.D.考向 2 给值求值【例 3】已知 sin+=,.求:(1)cos 的值;(2)sin 2-的值.解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或已知条件;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
4、(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.对点训练 3(1)(2020 河北保定二模,文 6,理 6)已知 sin +=cos -,则 cos 2=()A.0B.1C.D.(2)设 为锐角,若 cos+=,则 sin 2+的值为 .考向 3 给值求角【例 4】(1)(2020 湖南师大附中一模,理 7)已知 为锐角,且 cos(1+tan 10)=1,则 的值为()A.20 B.40 C.50 D.70(2)若 sin 2=,sin(-)=,且 ,则+的值是()A.B.C.或 D.或 解题心得解决“给值求角”问题的一般思路:从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最
5、后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 0,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,),选余弦较好;若角的范围为-,选正弦较好.对点训练 4(1)已知锐角,满足 sin=,cos=,则+等于()A.B.或 C.D.2k+(kZ)(2)已知,(0,),且 tan(-)=,tan=-,则 2-的值为 .考点 三角恒等变换的综合应用【例 5】(2020 陕西宝鸡三模,文 17)已知函数 f(x)=cos xsin(-x)+sin2x-,xR.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求
6、f(x)在-上的值域.解题心得三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将 f(x)化为 asinx+bcosx 的形式;(2)利用和(差)角公式,将 f(x)=asinx+bcosx 转化为 f(x)=Asin(x+)的形式;(3)利用 f(x)=Asin(x+)研究三角函数的性质.对点训练 5(2019 浙江,18)设函数 f(x)=sin x,xR.(1)已知 0,2),函数 f(x+)是偶函数,求 的值;(2)求函数 y=f x+2+f x+2 的值域.第 2 课时 简单的三角恒等变换必备知识预案自诊考点自诊1.(1)(2)(3)(4)2.A 原式=-(-)=2 cos .3.A cos2+
7、sin2=2sin 2+=2sin +2=2sin -2 -=2cos -=2-4sin2 -=.4.D tan=-3,即 -=-2.故选 D.5.1 1,2R,且 =2019,sin1+2=1,2+sin22=1,求得 sin1=-1,sin22=-1,1=2k-,且 22=2n-,k,nZ,2=n-,nZ,1+2=(2k+n)-,n,kZ,tan(1+2)=tan(-)=1.关键能力学案突破例 1(1)D -=cos.(2)解原式=-=-=-=-=-.对点训练 1(1)2 cos 原式=-=2 cos.(2)解原式=-=1.例 22 原式=2.对点训练 2C 原式=-=-=.例 3 解(1
8、)由 sin+=,得sincos +cossin ,化简得 sin+cos=,又 sin2+cos2=1,且 ,解得 cos=-.(2),cos=-,sin=,cos2=1-2sin2=-,sin2=2sincos=-,sin 2-=sin2cos -cos2sin =-.对点训练 3(1)A(2)(1)由 sin +=cos -,得 cos+sin=cos+sin,所以 sin=cos,cos2=cos2-sin2=0.(2)为锐角,且 cos+=0,+,sin+=.sin 2+=sin 2+-=sin2+cos -cos2+sin sin+cos+-2cos2+-1=2 2-1=.例 4(
9、1)B(2)A(1)由 cos(1+tan10)=1 可得 cos =1,即 cos =1,cos=cos40.为锐角,=40.故选 B.(2),2 ,2.sin2=,2 ,且 cos2=-.又 sin(-)=,-,cos(-)=-,cos(+)=cos(-)+2=cos(-)cos2-sin(-)sin2=-,又+,2,+=.对点训练 4(1)C(2)-(1)由 sin=,cos=,且,为锐角,可知cos=,sin=,故 cos(+)=coscos-sinsin=,又 0+0,所以 00,所以 02 .所以 tan(2-)=-=1.因为 tan=-0,所以 ,-2-0,所以 2-=-.例 5
10、 解(1)由题意,函数f(x)=cosxsin(-x)+sin2x-=sinxcosx-cos2x=sin2x-(cos2x+1)=sin2x-cos2x-=sin 2x-,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=.(2)因为-x ,则-2x-,可得-1sin 2x-,所以-1-sin2x-,故 f(x)在-上的值域为-1-.对点训练 5 解(1)因为 f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数 x 都有sin(x+)=sin(-x+),即 sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin,故 2sinxcos=0,所以cos=0.又 0,2),因此=或 .(2)y=f x+2+f x+2=sin2 x+sin2 x+-=1-cos2x-sin2x=1-cos 2x+.因此,函数的值域是 1-,1+.
