1、1.3函数的基本性质13.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性提出问题观察下列函数图象：问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小丙图中，在y轴左侧，函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大问题2：甲、乙图中，若x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是什么？提示：甲图中，若x1x2，则f(x1)f(x2)；乙图中，若x1f(x2)问题3：丙图中，若x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量x属于哪个区间？提示：(0，)导入新知1定义域为I的函
2、数f(x)的增减性2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)，区间D叫做yf(x)的单调性单调区间化解疑难1x1，x2的三个特征(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2；(3)同属一个单调区间2理解函数的单调性应注意的问题(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，
3、不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数y 1x 在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y 1x 在(，0)(0，)上单调递减(4)并非所有的函数都具有单调性如函数f(x)1，x是有理数，0，x是无理数就不具有单调性由函数图象说明函数的单调性例 1(1)函数 yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4(2)画出函数 yx22|x|1 的图象并写出函数的单调区间解(1)选 C 根据函数单调性定义及函数图象知 f(x)在3,1上单调递增(2)yx22x1，x0，x22x1，x0，即 yx122，x0，x122，x0，函数图象如图所示，单调增区间为(，
4、1，0,1，单调减区间为1,0，1，)类题通法由图象确定函数单调性的方法及注意事项(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降，则函数递减(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接活学活用求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|.解：(1)f(x)3|x|3x，x0，3x，x0.图象如图所示f(x)的单调递减区间为(，0，单调递增区间为0，)(2)令g(x)x22x3(x1)24.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)|x22x3|的图象，
5、如图所示由图象易得函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1.函数单调性的证明例 2 求证：函数 f(x)1x2在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数解 证明：对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2)1x21 1x22x22x21x21x22 x2x1x2x1x21x22.x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)1x2在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2)x2x1x2x1x21x22.0 x10，x2x10，x21x220.f(x1)f(x2)0，即f(x1)
6、f(x2)函数f(x)1x2在(0，)上是减函数类题通法利用定义证明函数单调性的步骤活学活用证明函数 f(x)x在其定义域上是减函数证明：f(x)x的定义域为0，)设0 x1x2，则x1x20，且f(x2)f(x1)(x2)(x1)x1 x2 x1 x2 x1 x2x1 x2 x1x2x1 x2.x1x20，x1 x20，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)f(x)x在它的定义域0，)上是减函数.由函数的单调性求参数的取值范围例3(1)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，求实数a
7、的取值范围解(1)由题意可知11a1，12a11，解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a23.由可知0a0.因为函数f(x)x22ax的图象开口向下，对称轴为直线xa，且函数f(x)在区间1,2上为减函数，所以a1.故满足题意的a的取值范围是(0,1答案：D 典例 已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，则x的取值范围为_4.研究函数的单调性易忽视定义域解析 由题意，得1x21，11x1，解得1x2.因为f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，所以x21x，解得x32.由得1x32.答案 1，32类题通法1上题易忽
8、视函数的定义域为1,1，直接利用单调性得到不等式x21x，从而得出x32的错误答案2解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式若函数yf(x)在区间D上是增函数，则对任意x1，x2D，且f(x1)f(x2)，有x1x2；若函数yf(x)在区间D上是减函数，则对任意x1，x2D，且f(x1)x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域成功破障函数 y x1的单调递增区间为_解析：x10，x1，函数y x1的单调递增区间为1，)答案：1，)随堂即时演练1下列函数中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有fx1fx2x1x20”的是()Af(x)2x Bf(x)3x1Cf
9、(x)x24x3 Df(x)x1x解析：fx1fx2x1x20f(x)在(0，)上为增函数，而f(x)2x 及f(x)3x1在(0，)上均为减函数，故A，B错误；f(x)x 1x 在(0,1)上递减，在1，)上递增，故D错误；f(x)x24x3x24x41(x2)21，所以f(x)在2，)上递增，故只有C正确答案：C 2函数f(x)|x|，g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1 B(，0，(1，)C0，)，(，1D0，)，1，)解析：分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)得：f(x)在0，)上递增，g(x)在(，1上递增，选C.答案：C 3已知函数f(x)是(0，)上的减函数
10、，则f(a2a1)与f 34 的大小关系是_解析：a2a1a12234340，又f(x)是(0，)上的减函数，f(a2a1)f34.答案：f(a2a1)f344已知函数f(x)x22(1a)x2在(，4上是减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的单调递减区间是(，1a又函数f(x)在(，4上是减函数，1a4，即a3.所求实数a的取值范围是(，3答案：(，35求证：函数y 1x1在区间(1，)上为单调减函数证明：任取x1，x2(1，)，且x1x11，x110，x210，x2x10，x2x1x11x210，y1y2，函数y 1x1在区间(1，)上为单调减函数课时跟踪检测见课时达标检测(九)
