1、第1讲坐标系1坐标系(1)坐标变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点(x，y)，称为坐标系中的伸缩变换(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为，有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取
2、相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.3直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：cos_a；(3)直线过M(b，)且平行于极轴：sin_b4圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则该圆的方程为：220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：2acos_；(3)当圆心位于M(a，)，半径为a：2a
3、sin_平面直角坐标系中的伸缩变换_求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标解设曲线C上任意一点P(x，y)，由上述可知，将代入x21，得1，化简得1，即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(5，0)，F2(5，0)为所求规律方法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程1.在同一平面直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，求满足图象变换的伸缩变换解：设变换为代入第二个方程，得2xy4，与x2y2比较系数得1，4，即因此，经过变换后，直线x2y2变成直线2xy4._极坐标与直角坐标的互化
4、_(2014高考天津卷改编)在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点若AOB是等边三角形，求a的值解由4sin ，可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a，可得ya.设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为.又B在x2y24y0上，a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.规律方法极坐标与直角坐标互化的注意点：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要
5、注意变量的范围要注意转化的等价性2.(2015郑州市第二次质量预测)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(0，02)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标解：(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，故圆O的直角坐标方程为：x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求_曲线极坐标方程的应用_(2015辽宁五校协作体高三摸
6、底)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是(sin cos )3，射线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)圆C的普通方程是(x1)2y21，又xcos ，ysin ，所以圆C的极坐标方程是2cos .(2)设(1，1)为点P的极坐标，则有解得设(2，2)为点Q的极坐标，则有解得由于12，所以|PQ|12|2，所以线段PQ的长为2.规律方法在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化
7、为直角坐标方程解决3.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，求AOB(其中O为极点)的面积解：由题意知A，B的极坐标分别为、，则AOB的面积SAOBOAOBsinAOB34sin3.1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则，4x29y236，即1.曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0)2(2015江苏扬州质检)求经过极点O(0，0)，A，B三点的圆的极坐标方程解：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)
8、，(6，6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，将xcos ，ysin 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos.3(2014高考重庆卷改编)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0，00)PQ是抛物线的弦，若点P的极角为，则点Q的极角为，因此有|FP|，|FQ|.所以(常数)原命题得证1(2015唐山市统一考试)已知圆C：x2y24，直线l：xy2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单
9、位长度建立极坐标系(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程解：(1)将xcos ，ysin 代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：2，l：(cos sin )2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|OQ|OP|OR|2，得1.又22，1，所以4，故点Q轨迹的极坐标方程为2(cos sin )(0)2(2013高考课标全国卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐
10、标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0，0b0，为参数)，且曲线C1上的点M(2，)对应的参数.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D(，)(1)求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；(2)若A(1，)，B(2，)是曲线C1上的两点，求的值解：(1)将M(2，)及对应的参数代入(ab0，为参数)，得，解得，曲线C1的普通方程为1，设圆C2的半径为R，则圆C2的方程为2Rcos ，将点D(，)代入得2R，解得R1，圆C2的极坐标方程为2cos .(2)曲线C1的极坐标方程为1，将A(1，)，B(2，)代入得1，1，.