1、第 3 讲 函数的单调性与最值1增函数、减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI，如果对于任意 x1，x2D，当 x1x2 时，都有：(1)f(x)在区间 D 上是增函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M
2、结论M 为最大值M 为最小值做一做1(2014高考北京卷)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是()Ayex Byx3Cyln xDy|x|答案：B2函数 f(x)x22x(x2，4)的单调增区间为_；f(x)max_解析：函数 f(x)的对称轴 x1，单调增区间为1，4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1，4 81辨明两个易误点(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数 f(x)1x在(，0)、(0
3、，)上递减，而不能说在定义域上递减2判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性3函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)做一做3函数 y1 1x1()A在(1，)上单调递增B在(1，)上单调递减C在(1，)上单调递增D在(1，
4、)上单调递减答案：C4已知函数 yf(x)在 R 上是减函数，点 A(0，2)，B(3，2)在其图象上，则不等式2f(x)2 的解集为_答案：x|3x0)在 x(1，1)上的单调性.扫一扫 进入 91 导学网()证明函数的单调性解 设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221 ax1x22ax1ax2x21ax2（x211）（x221）a（x2x1）（x1x21）（x211）（x221）1x1x20，x1x210，(x211)(x221)0.又 a0，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在(1，1)上为减函数 规律方法 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定
5、义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增增得增”“减减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性.1.已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a)上是减函数，在 a，)上是增函数证明：设 x1，x2 是任意两个正数，且 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2 x1x2x1x2(x1x2a)当 0 x1
6、x2 a时，0 x1x2a，又 x1x20，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0，a上是减函数；当 ax1a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在 a，)上是增函数 考点二_求函数的单调区间_(1)函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A(1，1 B(0，1C1，)D(0，)(2)(2015山西太原模拟)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数 g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.0，12B.a，1C(，0)12，D.a，a1(3)(2015广东中山质检)yx22|x|3 的单调增区间为_解
7、析(1)由题意知，函数的定义域为(0，)令 yx1xx21x0，即 x21，即1x1.故当 x(0，1时，函数单调递减故选 B.(2)由题意得 0logax12，0a1，ax1.(3)由题意知 当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0 时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图 由图象可知，函数 yx22|x|3 在(，1，0，1上是增函数 答案(1)B(2)B(3)(，1，0，1 若将本例(2)中的“0a1”，则函数 g(x)的单调递减区间如何？解：由题意得 logax0 或 logax12，a1，00，则 x3.函数 ylog3(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又 ux
8、24x3 的图象的对称轴为 x2，且开口向上，ux24x3 在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数 而函数 ylog3u 在(0，)上是增函数 ylog3(x24x3)的单调递增区间为(3，)，单调递减区间为(，1)(2)由x22x30，得1x3，此时函数 yx22x3(x1)24；由x22x30，得 x3，此时函数 yx22x3(x1)24，即 y（x1）24（1x3），（x1）24（x3）.画出函数的图象如图所示，单调递增区间为1，1和3，)，单调递减区间为(，1和1，3 考点三_函数单调性的应用(高频考点)_函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的
9、增长点，常以选择、填空题的形式出现，高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)求参数的取值范围或值(1)(2015贵州贵阳质检)定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，且 f(x)在(，2)上是增函数，则()Af(1)f(3)Bf(0)f(3)Cf(1)f(3)Df(0)f(3)(2)函数 f(x)1x，x1x22，x1的最大值为_(3)(2015金华十校联考)已知函数 f(x)x24x，x04xx2，xf(a)，则实数 a 的取值范围是_(4)已知函数 f(x)x2ax(a0)在
10、(2，)上递增，则实数 a 的取值范围为_解析(1)依题意得 f(3)f(1)，且112，于是由函数 f(x)在(，2)上是增函数得f(1)f(1)f(3)(2)当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x1时，易知函数 f(x)x22 在 x0 处取得最大值，为 f(0)2.故函数 f(x)的最大值为 2.(3)由题意知 f(x)x24x（x2）24，x04xx2（x2）24，xf(a)，得 2a2a，解得2a1.即实数 a 的取值范围是(2，1)(4)任取 2x1x2，由已知条件，得 f(x1)f(x2)x21ax1 x22ax2(
11、x1x2)ax2x1x1x2(x1x2)x1x2ax1x2 0 恒成立，即当 2x1a 恒成立 又 x1x24，则 0a4.即实数 a 的取值范围是(0，4 答案(1)A(2)2(3)(2，1)(4)(0，4规律方法 应用函数单调性解题常用策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区
12、间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值 3.(1)已知函数 f(x)为 R 上的减函数，若 mn，则 f(m)_f(n)；若 f 1xf(n)；1x 1，即|x|1，且 x0.故1x(1，0)(0，1)(2)25,学生用书 P20)方法思想数形结合思想求函数最值 已 知 函 数 f1(x)|x 1|，f2(x)13 x 1，g(x)f1（x）f2（x）2|f1（x）f2（x）|2，若 a，b1，5，且当 x1，x2a，b时，g（x1）g（x2）x1x20 恒成立，则 ba 的最大值为()A2 B3C4 D5解
13、析 当 f1(x)f2(x)时，g(x)f1（x）f2（x）2f1（x）f2（x）2f1(x)；当 f1(x)f2(x)时，g(x)f1（x）f2（x）2f2（x）f1（x）2f2(x)综上，g(x)f1（x），f1（x）f2（x）f2（x），f1（x）0 时，f(1)|1a|，f(0)|a|a.由|1a|a，得 12aa2a2，解得 a12.所以当 0a12时，M(a)f(1)|1a|1a；当 a12时，M(a)f(0)|a|a.综上，得 M(a)1a，a12，a，a12.当 a11212，当 a12时，M(a)a12，所以 M(a)12.故选 C.图(1)图(2)2用 mina，b，c表示
14、 a，b，c 三个数中的最小值，则函数 f(x)min4x1，x4，x8的最大值是_解析：在同一坐标系中分别作出函数 y4x1，yx4，yx8 的图象后，取位于下方的部分得函数 f(x)min4x1，x4，x8的图象，如图所示，不难看出函数 f(x)在 x2 时取得最大值 6.故填 6.答案：61(2014高考陕西卷)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x12 Bf(x)x3Cf(x)12xDf(x)3x解析：选 D.f(x)x12，f(xy)(xy)12x12y12，不满足 f(xy)f(x)f(y)，A 不满足题意 f(x)x3，f(xy)(xy)3
15、x3y3，不满足 f(xy)f(x)f(y)，B 不满足题意 f(x)12x，f(xy)12xy 12x 12y，满足 f(xy)f(x)f(y)，但 f(x)12x不是增函数，C 不满足题意 f(x)3x，f(xy)3xy3x3y，满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)3x 是增函数，D 满足题意 2(2015安徽合肥检测)函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是()A(，0)B.0，12C0，)D.12，解析：选 B.(数形结合法)y|x|(1x)x（1x），x0 x（1x），x0 x2x，x0 x2x，x0 x12214，x0，x12214，x0.画出函数的
16、图象，如图 由图易知原函数在0，12 上单调递增故选 B.3若函数 f(x)x22xm 在3，)上的最小值为 1，则实数 m 的值为()A3 B2C1 D1解析：选 B.f(x)(x1)2m1 在3，)上为单调增函数，且 f(x)在3，)上的最小值为 1，f(3)1，即 22m11，m2.4已知函数 f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数 f(x)loga|x|为偶函数，所以 f(2)f(2)，所以 f(1)f(2)0 的解集的子集 函数在0，1上是减函
17、数，显然 0a1，2ax0，即a1，x1，2a1，1a0，0，x0，1，x1，0，x1，x2，x1.如图所示，其递减区间是0，1)答案：0，1)7已知定义在 R 上的函数 f(x)是增函数，则满足 f(x)f(2x3)的 x 的取值范围是_解析：依题意得，不等式 f(x)f(2x3)等价于 x2x3，由此解得 x3，即满足 f(x)f(2x3)的 x 的取值范围是(3，)答案：(3，)8(2015福建厦门质检)函数 f(x)13xlog2(x2)在区间1，1上的最大值为_解析：由于 y 13x在 R 上递减，ylog2(x2)在1，1上单调递增，所以 f(x)在1，1上单调递减，故 f(x)在
18、1，1上的最大值为 f(1)3.答案：39已知函数 f(x)2x1，x0，2，求函数的最大值和最小值解：设 x1，x2 是区间0，2上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)2x11(2x21)2（x21x11）（x11）（x21）2（x2x1）（x11）（x21）由 0 x10，(x11)(x21)0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围解：(1)证明：任设 x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)任设 1x10，x2x10，要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2
19、a)0 恒成立，a1.综上所述知 0a1.1已知函数 f(x)（a2）x，x2 12x1，x2，满足对任意的实数 x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20成立，则实数 a 的取值范围为()A(，2)B.，138C(，2D.138，2解析：选 B.函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有a20，（a2）2 1221，由此解得 a138，即实数 a 的取值范围是，138.2(2015长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果 x1x20 且 x1x20，则 f(x1)f(x2)的值()A可能为 0 B恒大于 0C恒小于 0 D可正可负解析
20、：选 C.由 x1x20 不妨设 x10.x1x20，x1x20.由 f(x)f(x)0 知 f(x)为奇函数 又由 f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)f(x2)f(x2)，所以 f(x1)f(x2)0，即 a1 时，由已知得函数 y 3ax在(0，4上单调递增，显然此时a1 矛盾 当 a10，即 a0.因为 3ax0在(0，4上恒成立，所以可得 a34.故 a(0，34 答案：(0，344函数 f(x)的定义域为 A，若 x1，x2A 且 f(x1)f(x2)时总有 x1x2，则称 f(x)为单函数例如：函数 f(x)2x1(xR)是单函数给出下列命题：函数 f(x)x2(xR)是单
21、函数；指数函数 f(x)2x(xR)是单函数；若 f(x)为单函数，x1，x2A 且 x1x2，则 f(x1)f(x2)；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题是真命题，是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题是真命题 答案：5已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满足 f x1x2 f(x1)f(x2)，且当 x1 时，f(x)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.(2)证明：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时
22、，f(x)0，所以 f x1x2 0，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)因为 f(x)在(0，)上是单调递减函数，所以 f(x)在2，9上的最小值为 f(9)由 f x1x2 f(x1)f(x2)得，f 93 f(9)f(3)，而 f(3)1，所以 f(9)2.即 f(x)在2，9上的最小值为2.6(选做题)已知函数 f(x)a2xb3x，其中常数 a，b 满足 ab0.(1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 ab0，求 f(x1)f(x)时 x 的取值范围解：(1)当 a0，b0 时，任意 x1，x2R，x1x2，则 f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x12x2，a0a(2x12 x2)0，3x13x2，b0b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在 R 上是增函数 同理，当 a0，b0 时，函数 f(x)在 R 上是减函数(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0，当 a0，b0 时，32x a2b，则 xlog1.5 a2b；当 a0，b0 时，32x a2b，则 xlog1.5 a2b.综上，当 a0，b0 时，xlog1.5 a2b；当 a0，b0 时，xlog1.5 a2b.
