1、第6讲空间向量及其运算1空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数，使得ab(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底2两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b通常规定0a，b若a，b，则称
2、向量a，b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(3)向量的数量积的性质：ae|a|cosa，e；abab0；|a|2aaa2；|ab|a|b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：(a)b(ab)；abba(交换律)；a(bc)abac(分配律)3空间向量的坐标运算(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，aba1b1a2b2a3b30，aba1b1，a2b2，a3b3(R)，cosa，b .(2)
3、设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)做一做1已知a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，则下列结论正确的是()Aac，bcBab，acCac，ab D以上都不对解析：选C.c(4，6，2)2a，ac.又ab0，故ab.2若向量a，b，c是空间的一个基底，向量mab，nab，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是()Aa BbCc D2a解析：选C.ab，ab分别与a，b，2a共面，它们分别与ab，ab均不能构成一组基底1辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别(2)共线向量定理中ab存在唯一的实数R，使ab易忽视b0.
4、(3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立2建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上3利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化做一做3在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABA
5、CAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：选C.不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(1，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，cos，60，异面直线BA1与AC1所成的角等于60.4已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和|分别是_解析：设P(x，y，z)是AB的中点，则()(3，2，1)(1，0，4)(2，1，)，dAB|.答案：(2，1，)，_空间向量的线性运算_如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是A
6、A1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3). 解(1)P是C1D1的中点， aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，a(acb)abc.又ca.(abc)(ac)abc.规律方法用已知向量表示某一向量的方法：用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来1. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点 (1)化简_(2)用，表示，则_解析：(1)().(2)()().答案：(1)(2)_共线、共面
7、向量定理的应用_已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接BG(图略)，则()，由共面向量定理的推论知，E，F，G，H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.规律方法在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近常见的向量处理方法见下表：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任意一点O，t对空间任意一点O，xy
8、对空间任意一点O，x(1x)对空间任意一点O，xy(1xy)2.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解：(1)由题知3，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内_空间向量的数量积与坐标运算(高频考点)通过近几年高考试题可以看出，试题以空间向量的运算为主，特别是数量积的运算及其应用，更是考查的热点高考中对空间向量的数量积的考查主要有以下三个命题角度：(1)空间向量的数量积的运算；(2)线与线垂直问题；(3)线段长度问题已知空间三点A(2，0，
9、2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，a，b，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos ，a和b的夹角的余弦值为.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100.解得k或k2.规律方法(1)空间向量数量积的计算方法：定义法：设向量a，b的夹角为，则ab|a|b|cos .坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y
10、2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.(2)数量积的应用：求夹角：设向量a，b所成的角为，则cos ，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)：运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题：利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题3. (1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则()Aa2B.a2C.a2 D.a2(2)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_(3)已知点A(1，2，1)，B(1，3，4)，D(1，1，1)，若
11、2，则|的值是_解析：(1)设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.又(ab)，c，故(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.(2)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos21sin2)(sin21cos2)0，(ab)(ab)，即向量ab与ab的夹角为90.(3)设P(x，y，z)，(x1，y2，z1)(1x，3y，4z)，由2，得点P坐标为(，3)，又D(1，1，1)|.答案：(1)C(2)90(3)1已知点A(3，0，4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于()A12B9C25 D10解析：选D.点A关于原点对称的点B的坐
12、标为(3，0，4)，故|AB|10.2(2014高考广东卷)已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0)C(0，1，1) D(1，0，1)解析：选B.对于选项B，设b(1，1，0)，则cos a，b.因为0a，b180，所以a，b60，正确3已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x，y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：选C. 如图，()，所以x，y.4在空间四边形ABCD中，()A1 B0C1 D不确定解析：选B.如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabb
13、abccbca0.5已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2，4 D4，15解析：选B.，0，即352z0，得z4.又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3，1，4)，则解得6在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为_解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，)答案：(0，)7在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是_2；0；0.解析：0，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面答案：8已知空间四边形OABC，点M
14、、N分别是OA、BC的中点，且a，b，c，用a、b、c表示向量_解析：如图所示，()()()(2)()(bca)答案：(bca)9(2015郑州模拟)已知a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc.求(1)a，b，c.(2)ac与bc所成角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，此时a(2，4，1)，b(2，4，1)，又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2，2)(2)ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，因此ac与bc所成角的余弦值为.故ac与bc所成角的余弦值为.10. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)；(2)EG的长解：设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，ca，a，bc.(1)(ca)(a)aca2.(2)()()abc，2(abc)2(a2b2c22ab2ac2bc)，|，即EG的长为.
