1、1. 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明： (1)AECD；(2)PD平面ABE.证明：AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0，0，1)(1)ABC60，ABBC，ABC为正三角形C(，0)，E(，)设D(0，y，0)，由ACCD，得0，即y，则D(0，0)，(，0)又(，)，0，即AECD.(2)P(0，0，1)，(0，1)又(1)0.，即PDAE.(1，0，0)，0.PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.2. (2015汕头模拟)如图所示的长方体ABCDA1B1C1
2、D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点 (1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D1(0，0，)(1，1，)又点B(2，2，0)，M(1，1，)，(1，1，)，.又OD1与BM不共线，OD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面D1AC.(2)连接OB1，点B1(2，2，)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，(1，1，)(1，1，)0，(1，1，)(2，2，0)0，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，D1O平面AB1C.3. 如图
3、，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明：如图，取BD的中点O，连接OP，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0，0)因为3，所以Q(x0，y0，)因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P(0，0，)，所以(x0，y0，0)又平面BCD的一个法向量为a(0，0，1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.4. 如图，已知AB平面ACD，DE平面
4、ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点 (1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.证明：(1)设ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)F为CD的中点，F.，(a，a，a)，(2a，0，a)()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)，(a，a，0)，(0，0，2a)，0，0，.又CDDED，平面CDE，即AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.1. 如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E、F分别是PC
5、、PD的中点，PAAB1，BC2. (1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明：(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，E，F.，(0，0，1)，(0，2，0)，(1，0，0)，(1，0，0)，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)(0，0，1)(1，0，0)0，(0，2，0)(1，0，0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.又DC平面PDC，平面PAD平面PDC.
6、2如图(1)所示，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图(2)所示(1)求证：A1C平面BCDE；(2)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)证明：ACBC，DEBC，DEAC，DEA1D，DECD，DE平面A1DC，DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(2)线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下：如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0，0，2)，D(0，2，0)，B(3，0，0)，E(2
7、，2，0)假设这样的点P存在，设其坐标为(p，0，0)，其中p0，3，设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又因为(3，0，2)，(1，2，0)，所以令y1，则x2，z，所以n(2，1，)设平面A1DP的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0.又因为(0，2，2)，(p，2，0)，所以令x12，则y1p，z1.所以m(2，p，)当且仅当mn0时，平面A1DP平面A1BE.mn0，即4pp0，解得p2，与p0，3矛盾所以线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直3. 如图，四棱锥SABCD中，ABCD为矩形，SDAD，且SDAB，ADa(a0)，AB2AD，
8、SDAD，E为CD上一点，且CE3DE. (1)求证：AE平面SBD；(2)M，N分别为线段SB，CD上的点，是否存在M，N，使MNCD且MNSB，若存在，确定M，N的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：四棱锥SABCD中，ABCD为矩形，SDAD，且SDAB，ADABA，SD平面ABCD.SDAE.BD就是SB在平面ABCD上的射影AB2AD，E为CD上一点，且CE3DE.tanDAE，tanDBA，DAEDBA，DAEBDA90.AEBD，又AE与BD交于一点，AE平面SBD.(2)假设存在点M，N满足MNCD且MNSB.建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，2a，0)，B(a，2a，0)，S(0，0，a)，设t(a，2a，0)t(a，2a，a)(ata，2a2ta，ta)(t0，1)，即M(ata，2a2ta，ta)，N(0，y，0)，y0，2a，(ata，2a2tay，ta)使MNCD且MNSB，则可得解得t0，1，ya0，2a故存在点M，N使MNCD且MNSB，M(a，a，a)，N(0，a，0)
