1、高考资源网（） 您身边的高考专家第20课 导数在研究函数中的应用（1）一、教学目标1、理解函数的单调性与导数的关系；会利用导数研究函数的单调性。2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。 3、理解函数在某点取得极值得条件；二、知识梳理1、给出下列命题：若在区间上是增函数，都有若在区间上可导，则必为上的单调函数若对任意，都有，则在上是增函数若可导函数在区间上有，则区间上有其中真命题的序号是 【教学建议】本题帮助学生复习函数的单调性与导数的关系。（1）判断命题，可借助于函数来进行辨析，让学生清楚：是函数在区间上单调递增的充分不必要条件，
2、同理可判断命题正确。（2）命题可举特殊函数来判断正误（3）导数的正负可以判断函数的单调性，但反过来未必正确，对这一问题不必深究。若学生学有余力，不妨简单说明：可导函数在上递增对任意的，有（在的任意子区间上不能恒等于零。 2、下列结论中正确的是 若，则是函数的极值若在内有极值，则在内不是单调函数函数的极小值一定小于它的极大值在定义域上最多只能有一个极大值和一个极小值【教学建议】本题先让学生进行充分的说理，给出判定正误的依据。教师结合学生的回答，再进行详细的解释，讲解过程中，多注意举例、画图等手段的运用。并且可以接着提出以下一些问题：（1）函数在处取得极值的充要条件是什么？（2）函数的极大值与极小
3、值之间有无确定的大小关系？（3）函数的最大值与最小值之间有无确定的大小关系？（4）极值与最值之间有何异同？3、求函数在最值的一般步骤为：（1） ；（2） ；（3） 。【教学建议】学生最习惯的就是解题，最怕的就是进行归纳整理。对于这种解题的常规套路，一定要有充足的时间，让学生说准确，说完整。三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前采取抽查批阅与提问相结合的方式，了解学生的思路及主要错误。点评时关注易错点，并提醒学生注意解题过程完整规范。题3可写出关键步骤。2、诊断练习点评题1：函数的单调减区间是_(0,1)_ 【分析与点评】利用导数求函数的
4、单调区间的问题最终转化为解不等式的问题，具体步骤：（1）确定函数的定义域，（2）求的导数，（3）由（或），解出相应的取值范围。 (2)可考虑若将本题减区间改为增区间，答案如何？强调如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能并起来，只能用“逗号”或“和”分开。题2函数有极 _值_答案：大 【分析与点评】利用导数求函数极值的具体步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数，（2）求方程的根，（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小区间（可列成表格），判断在方程根的左右两侧的符号，从而确定函数的极值。提醒学生一定要注意“在左右两侧导数值的符号”。另外，体会一下本题的
5、函数最大值。题3函数的最大值是_.【分析与点评】最值是函数的重要性质之一，运用导数研究函数的最值与极值有一定的相似之处，也可以说最值研究是对极值研究的深入。为更好的理解最值与极值的异同，不妨将区间改变，再求函数的最大、最小值。让学生体会两点：（1）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间端点不能成为极值点。（2）一个函数有最值未必有极值，极值可能成为最值。题4已知a,b是正实数,函数在0,1上的最大值为4,则f(x)在-1,0上的最小值为_.3、要点归纳（1）要熟悉求函数单调区间、求极值的一般步骤方法，如诊断练习题1、题2（2）分析原函数、导函数的图象，牢记“正增负减”四个字，即“导数的正负决定
6、原函数的增减”。遵循此规律，函数的增减性、极值情况一目了然。四、范例导析例1已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围.【引导分析与精讲建议】 (1)题目条件的转化： f(1)g(1)且f(1)g(1)；(2)可以列表观察h(x)在(，2上的变化情况，然后确定k的取值范围.注意：求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的
7、函数值，最后比较即得.另外可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.例2：设函数，已知是奇函数。（1）求、的值。 （2）求的单调区间与极值。【教学处理】教师先指出本题的目标是求未知数两个未知数，理论上需两个条件。带着问题，让学生先思考，讨论。指名学生板演，教师点评。 【引导分析与精讲建议】本题的关键是隐含条件的挖掘，所以先提出问题：如何表示导函数，再提出问题“”隐含哪些条件？要求学生熟悉求函数单调区间、求极值的一般步骤方法，以及规范答题。练习1、已知函数.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间.【教学处理】第（1）题教师在黑板上板演，板书时示范解题的规范。第（2）题让学生扮演，教师
8、点评。【引导分析与精讲建议】1、第（1）题教师在解题示范时，提醒学生注意考虑原函数的定义域。 2、教师在学生板演第（2）题的同时，教师巡视指导，并要检查学生求导公式的掌握情况。练习2 已知函数，求函数的单调区间。【点评】：考虑定义域，答案：增区间，减区间例3：已知函数,其中e是自然对数的底数.（1）证明:是R上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；答案：（1）函数的定义域为，关于原点对称；又因为，所以函数是上的偶函数；（2），即；令；因为，当且仅当时，等号成立；故，令，下只要求.；则当时，；则当时，；因此可知当时，；则. 综上可知，实数的取值范围为.注：分离参数后，也可利
9、用基本不等式去处理的范围。变式：已知函数（1）若函数在上是增函数，求的取值范围；（2）若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围。【教学处理】要求学生独立思考并解题，第（1）问指名学生板演，教师根据板演情况点评，第（2）问让学生先进行思考、讨论交流，最后教师板书解题过程。【引导分析与精讲建议】1、第（1）问中，由恒成立，解得。强调需验证时是否适合，防止出现在的子区间上恒等于零的情况。2、第（2）问的讲解，可提出下列问题问题1：要使恒成立，需求的最大值还是最小值？问题2：如何求区间上，函数的最值？问题3：在时取得极值，这句话隐含着什么条件？五、解题反思1、与初等方法相比，导数在研究函数性质时，具有一般性和有效性。运用导数知识，我们可以解决一些非整式型函数的单调区间、最值问题。牢记求导公式是根本，同时一定要熟练掌握求单调区间，求极值、最值的解题基本步骤。如例12、要注意函数在处取得极值的充要条件，体会是函数在区间上单调递增的充分不必要条件，注意端点处情况的讨论。如例3的第（1）问。3、求字母参数的取值范围问题，可考虑生成一个恒成立的不等式，最终转化为函数求最值问题。如诊断练习4，例3第（2）问。4、要会读图、识图。要搞清楚原函数图像与其导函数图像之间的相互关系，这对概念的理解、作三次函数的简图等都大有裨益。高考资源网版权所有，侵权必究！
