1、2015-2016学年天津市静海一中、宝坻一中等五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1已知集合U=R，集合A=x|x1，B=x|0x4，则（UA）B=（）Ax|x1或x4Bx|0x1Cx|1x4Dx|x42已知函数f（x）=，则f（f（1）的值为（）A1B0C1D23执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（）A1B2C4D74设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5下列四种说法正确的是（）函数f（x）的定义域是R，则“xR，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件命题“xR
2、，（）x0”的否定是“xR，（）x0”命题“若x=2，则x23x+2=0”的逆否命题是“若x23x+20，则x2”p：在ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数则pq为真命题ABCD6把函数y=sin（5x）的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）ABCD7已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且2，则不等式f（x）x1的解集是（）A（，2）B（2，+）C（0，2）D（，1）8已知函数f（x）=|mx|xn|（0n1+m），若关于x的不等式f（x）0的解集中的整数恰有3个，则实数m的
3、取值范围为（）A3m6B1m3C0m1D1m0二、填空题（每小题5分）9若复数z=（i为虚数单位），则|z|=_10已知tan=2，tan（+）=1，则tan=_11如图，P是O的直径AB延长线上一点，PC与O相切于点C，APC的角平分线交AC于点Q，则AQP的大小为_12定义在R上的函数f（x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x）满足，且x（2，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=_13不等式2x22axy+y20对任意x1，2及任意y1，4恒成立，则实数a取值范围是_14已知函数f（x）=2x3x2+ax+1在（0，+）有两个极值，则实数a的取值范围为_三、解答题.15在锐角
4、ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求ABC的面积16如图，ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且=，若PA=2PB=10（）求证：AC=2AB；（）求ADDE的值17命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2mx+2满足，且当x0，a时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围18已知函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+，xR，（）求函数f（x）的最小正周期T及在，上
5、的单调递减区间；（）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间0，上且只有一个实数解，求实数k的取值范围19已知函数f（x）=lnxax，（aR）（）若函数f（x）在点（1，f（1）处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；（）当a0时，求函数f（x）在1，2上的最小值；（）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围20已知函数f（x）=lnxax，（aR）（）若函数f（x）在点区间e，+处上为增函数，求a的取值范围；（）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且kZ时，不等式 k（x1）f（x）在x（1
6、，+）上恒成立，求k的最大值；（）nm4时，证明：（mnn）m（nmm）n2015-2016学年天津市静海一中、宝坻一中等五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1已知集合U=R，集合A=x|x1，B=x|0x4，则（UA）B=（）Ax|x1或x4Bx|0x1Cx|1x4Dx|x4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与交集的定义，进行运算即可【解答】解：集合U=R，集合A=x|x1，B=x|0x4，UA=x|x1（UA）B=x|0x1故选：B2已知函数f（x）=，则f（f（1）的值为（）A1B0C1D2【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质
7、先求f（1）的值，再求f（f（1）的值【解答】解：函数f（x）=，f（1）=3（1）=4，f（f（1）=f（4）=2故选：D3执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（）A1B2C4D7【考点】程序框图【分析】执行程序框图，依次写出s，i的值，第四次循环后：s=7，i=5；此时，in不成立输出s的值为7【解答】解：执行程序框图，有n=4，s=1，i=1第一次循环后：s=1，i=2；第二次循环后：s=2，i=3；第三次循环后：s=4，i=4；第四次循环后：s=7，i=5；此时，in不成立输出s的值为7故选：D4设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A（0，1）B（1，
8、2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数的零点；对数函数的图象与性质【分析】可先构造出函数f（x）=lnx+x4，带入可得f（2）0，f（3）0，据此解答【解答】解：设f（x）=lnx+x4，则f（2）=ln2+24=ln220，f（3）=ln3+34=ln310，所以x0属于区间（2，3）故选：C5下列四种说法正确的是（）函数f（x）的定义域是R，则“xR，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件命题“xR，（）x0”的否定是“xR，（）x0”命题“若x=2，则x23x+2=0”的逆否命题是“若x23x+20，则x2”p：在ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：
9、y=sinx在第一象限是增函数则pq为真命题ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，根据全称命题的否定是特称命题进行判断，根据逆否命题的定义进行判断，根据复合命题的真假关系进行判断【解答】解：若函数f（x）为增函数，则f（x+1）f（x）成立，必要性成立若xR，f（x+1）f（x）”，则函数f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=x，满足f（x+1）f（x），而f（x）不是增函数充分性不成立即“xR，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件，故错误，命题“xR，（）x0”的否定是“存在xR，（）x0”
10、，故错误，命题“若x=2，则x23x+2=0”的逆否命题是“若x23x+20，则x2”，故正确，p：在ABC中，因为0A，B，所以02A，2B2，故若cos2A=cos2B，则A=B为真，q：y=sinx在第一象限不具备单调性，故q是假命题，则pq为假命题故错误，故选：D6把函数y=sin（5x）的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数为y=sin5（
11、x）=sin（5x），再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数的图象，故选D7已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且2，则不等式f（x）x1的解集是（）A（，2）B（2，+）C（0，2）D（，1）【考点】函数奇偶性的性质【分析】确定f（2）=0，令g（x）=f（x）x，则g（x）=f（x）0，函数在R上单调递减，即可求出不等式f（x）x1的解集【解答】解：f（x+2）是奇函数，f（x）关于（2，0）对称，f（2）=02，0f（x）令g（x）=f（x）x，则g（x）=f（x）0，函数在R上单调递减，g（2）=f（2）1=1，不等式f（x）x1可化为g（x）g（
12、2），x2，故选：A8已知函数f（x）=|mx|xn|（0n1+m），若关于x的不等式f（x）0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A3m6B1m3C0m1D1m0【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据f（x）=|mx|xn|0，及题意得m1，从而，再根据解集中的整数的个数可知2（m1）n3（m1），解之即可【解答】解：f（x）=|mx|xn|0，即|mx|xn|，（mx）2（xn）20，即（m1）x+n（m+1）xn0，由题意：m+10，f（x）0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m10，即m1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，0n1+m，所以解集中的整数恰好有
13、3个当且仅当，即2（m1）n3（m1），又n1+m，所以2（m1）n1+m，即2（m1）1+m，解得m3，从而1m3，故选：B二、填空题（每小题5分）9若复数z=（i为虚数单位），则|z|=【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【解答】解：复数z=1+2i|z|=故答案为：10已知tan=2，tan（+）=1，则tan=3【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，将tan的值代入即可求出tan的值【解答】解：tan（+）=1，tan=2，=1，整理得：2+tan=1+2tan，解得：tan=3故答
14、案为：311如图，P是O的直径AB延长线上一点，PC与O相切于点C，APC的角平分线交AC于点Q，则AQP的大小为135【考点】圆的切线的判定定理的证明【分析】要求AQP的大小，可以先求其邻补角CQP的大小，即OAC+OPQ的大小，根据切线的性质，及已知条件，结合三角形内角和定理，我们不难分析出图中众多角之间的数量关系，最终求出答案【解答】解：连接OC，如下图所示：OA=OC，OAC=OCAPOC=OAC+OCA=2OAC又APC的角平分线为PQOPQ=CPQ在OCP中，POC+OPC+OCP=2（OAC+OPQ）+OCP=180又OCP=90OAC+OPQ=45CQP=OAC+OPQ=45A
15、QP=135故答案为：13512定义在R上的函数f（x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x）满足，且x（2，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=1【考点】函数的值【分析】242025，可得log220（4，5）由于定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x），可得f（x）=f（x），周期T=4利用奇偶性周期性经过变形即可得出【解答】解：242025，log220（4，5）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x），f（x）=f（x），周期T=4f（log220）=f（log2204）=f（4log220）=1故答案
16、为：113不等式2x22axy+y20对任意x1，2及任意y1，4恒成立，则实数a取值范围是（，【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】不等式等价变化为2a=+，由x1，2及y1，4，求得4，运用基本不等式求得+的最小值即可【解答】解：依题意，不等式2x22axy+y20等价为2a=+，设t=，x1，2及y1，4，1，即4，t4，则+=t+，t+2=2，当且仅当t=，即t=，4时取等号2a2，即a，故答案为：（，14已知函数f（x）=2x3x2+ax+1在（0，+）有两个极值，则实数a的取值范围为（0，+）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求导数得到f（x）=6x2ax+a，根据题意便
17、知方程6x2ax+a=0有两个不同的正实根，这样根据韦达定理便可得出关于a的不等式，从而得出a的取值范围【解答】解：f（x）=6x2ax+a；f（x）在（0，+）上有两个极值；方程6x2ax+a=0在（0，+）上有两个不同实数根；根据韦达定理；a0；实数a的取值范围为（0，+）故答案为：（0，+）三、解答题.15在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由
18、余弦定理a2=b2+c22bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得ABC的面积【解答】解：（1）ABC中，根据正弦定理，得，锐角ABC中，sinB0，等式两边约去sinB，得sinA=A是锐角ABC的内角，A=；（2）a=4，A=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得16=b2+c22bccos，化简得b2+c2bc=16，b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，两式相减，得3bc=48，可得bc=16因此，ABC的面积S=bcsinA=16sin=416如图，ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O
19、的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且=，若PA=2PB=10（）求证：AC=2AB；（）求ADDE的值【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【分析】（）通过证明ABPCAP，然后证明AC=2AB；（）利用切割线定理以及相交弦定理直接求ADDE的值【解答】（）证明：PA是圆O的切线，PAB=ACB又P是公共角ABPCAP，AC=2AB（）解：由切割线定理得：PA2=PBPCPC=20又PB=5，BC=15又CD=2DB，CD=10，DB=5又由相交弦定理得：ADDE=CDDB=5017命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，命题q：已知二次函数f（
20、x）=x2mx+2满足，且当x0，a时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】对于命题p：由关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，可得0，解得p的取值范围由已知得二次函数f（x）=x2mx+2的对称轴为，可得m，可得f（x）=x23x+2，当x0，a时，最大值是2，由对称性知a的取值范围由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假【解答】解：对于命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，=3a22a+10，解得，由已知得二次函数f（x）=x2mx+2的对称轴为，即，m=3，f（x）=x2
21、3x+2，当x0，a时，最大值是2，由对称性知q：0a3由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假当p真q假时，a1或a3，当p假q真时，综上可得，18已知函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+，xR，（）求函数f（x）的最小正周期T及在，上的单调递减区间；（）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间0，上且只有一个实数解，求实数k的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）由二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由f（x）的最小正周期T=，即可求得f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性，即可求得，上的单调递减区间；（）由，求得，则f（x）
22、+k=0在区间上有且只有一个实数解，由函数图象即可求得实数k的取值范围【解答】解：（）由已知，=，=又因为，当k=0时； 当k=1时，函数f（x）在，的单调递减区间为和（）由，所以，f（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，即函数与y=k2在区间上有且只有一个交点，由函数的图象可知k2=119已知函数f（x）=lnxax，（aR）（）若函数f（x）在点（1，f（1）处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；（）当a0时，求函数f（x）在1，2上的最小值；（）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数
23、的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，根据f（1）=3，求出a的值，根据f（1）=2求出b的值即可；（）求出函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（）问题转化为f（x1）maxg（x2）max，结合函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（）由f（x）=lnxax得，f（1）=31a=3a=2，则f（x）=lnx+2x，f（1）=2点（1，2）为切点，则2=3+bb=1，（）由f（x）=lnxax，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，当1，即a1时，函数f（x）在区间1，2上是减函数，f（x）的最小值是f（2）=ln22a；当2
24、，即时，函数f（x）在区间1，2上是增函数，f（x）的最小值是f（1）=a；当12，即a1时，函数f（x）在1，上是增函数，在，2是减函数又f（2）f（1）=ln2a，当aln2时，最小值是f（1）=a，当ln2a1时，最小值为f（2）=ln22a；综上可知，当0aln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=a；当aln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln22a，（）由条件得f（x1）maxg（x2）max，又g（x2）max=2，f（x1）max2若a0，则f（x）在（0，+）上单调递增，x+，f（x）+，不符题意；a0由可知，得：20已知函数f（x）=lnxax，（aR）（
25、）若函数f（x）在点区间e，+处上为增函数，求a的取值范围；（）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且kZ时，不等式 k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值；（）nm4时，证明：（mnn）m（nmm）n【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，得到a（1lnx）max=1lne=2，从而求出a的范围即可；（）求出函数的导数，求出a的值，得到对任意x1恒成立，令，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的最大值；（）当nm4，得到，整理即可【解答】解：（）f（x）=ax+xlnx，又函数f（
26、x）在区间e，+）上为增函数，当xe时，f（x）=a+1+lnx0恒成立，a（1lnx）max=1lne=2，即a的取值范围为2，+）；（）因为f（x）=ax+xlnx（aR），所以f（x）=a+lnx+1f（x）在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，f（e）=3，即a+lne+1=3，a=1当x1时，x10，故不等式，即对任意x1恒成立，令则令h（x）=xlnx2（x1），则在（1，+）上单增，h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，存在x0（3，4）使h（x0）=0，即当1xx0时，h（x）0，即g（x）0，当xx0时，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+）上单增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02，kg（x）min=x0且kZ，即kmax=3证明：（）由（）知，是4，+）上的增函数，所以当nm4， 整理，得mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn+nm因为nm，mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn即lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln（nmnmm）ln（mmnnn），nmnmmmmnnn，（mnn）m（nmm）n2016年9月19日
