1、静海一中2019-2020第二学期高三数学（3月）学生学业能力调研考试试卷一、选择题: （每小题6分，共48分，每小题只有一个正确选项）1.设集合，集合，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先通过解不等式得出集合，然后再求.【详解】由得，即.由得，即.所以故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.在中，角的对边分别为，且，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，得到，利用余弦定理，得到关于的方程，从而得到的值，得到的周长.【详解】在中，由正弦定理因为，所以因，所以由余弦定理得即，解得，所以所以的周
2、长为.故选C.【点睛】本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题.3.若，则“”是 “”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过
3、特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.4.设，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得【详解】，即故选：B.【点睛】本题考查对数和幂比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较5.已知数列满足：，则( )A. 16B. 25C. 28D. 33【答案】C【解析】【分析】依次递推求出得解.【详解】n=1时，n=2时，n=3时，n=4时，n=5时，.故选：C【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解
4、掌握水平.6.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，排除A，当时，排除C，故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。7.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程
5、为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得的周期为，当时，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数，满足任意，令，又，为周期为的偶函数，当
6、时，当，当，作出图像，如下图所示：函数至少有三个零点，则的图像和的图像至少有个交点，若，的图像和的图像只有1个交点，不合题意，所以，的图像和的图像至少有个交点，则有，即，.故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.二、填空题（每小题6分共24分）9.已知复数z满足(1i)z1i(i是虚数单位)，则|z|_.【答案】【解析】z，|z|.10.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于个的天数为_.【答案】【解析】【分析】根据频率分
7、布直方图计算出日销售量不少于个的频率，然后乘以即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于个的频率为，因此，这家面包店一个月内日销售量不少于个的天数为.故答案为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.11.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有_种【答案】81【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，由分步计数原理分析剩下的3人分配方案数目，由
8、乘法原理计算可得答案【详解】根据题意，分2步进行分析：在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有种情况，对于剩下的三人，每人都可以安排在、三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有种不同的选法，则有种不同的分配方法；故答案为：81【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意“可以有乡镇中学不分配到名优教师”的条件，属于基础题12.九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】利用棱锥的体积公式结合已知可以求出的
9、值，这样可以求出三棱柱的外接球的直径，最后利用球表面积公式求解即可.【详解】此时“塹堵”即三棱柱的外接球的直径为，表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了多面体外接球问题，考查了球的表面积公式，考查了棱锥的体积公式，考查了数学运算能力.13.已知a，b均为正数，且，的最小值为_.【答案】【解析】【分析】本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.14.已知中，为边上一点，则的值为_.【答案】【解析
10、】【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，记，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可【详解】解：以原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则，记，则，又为边上一点，则，即，又，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题三、解答题（46分）15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.【解析】分析：（）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=（）在ABC中，由余弦定理可得b=结合二倍角公式和两角差
11、的正弦公式可得详解：（）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为ac，故因此， 所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围16.正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式； (2)令，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn .【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】（1）因为数列的前项和
12、满足：，所以当时，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.17.如图所示,直角梯形中,四边形为矩形,.（1）求证:平面平面;（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，长【解析】【分析】（1）先证面,又因为面,所以平面平面.（2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设,则可得出向量,求出平面的法向量为,利用直线与平面
13、所成角的正弦公式列方程求出或,从而求出线段的长.【详解】解:（1）证明:因为四边形为矩形,.面面又面平面平面（2）取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系.如图所示:则,设,;,设平面的法向量为,不防设.,化简得,解得或;当时,;当时,;综上存在这样的点,线段的长.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.18.已知函数（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数求导得，从而有，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.【详解】解：（1）由，则，当时，则，故上单调递减；当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2），,由得，解得.设，则,上单调递减；当时，.，即所求的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.
