1、3.2.2 函数模型的应用实例 第1课时 一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例【知识提炼】1.一次函数模型 形如_的函数为一次函数模型,其中_.y=kx+b k0 2.二次函数模型(1)一般式:_.(2)顶点式:.(3)两点式:_.3.幂函数模型(1)解析式:y=ax+b(a,b,为常数,a0,1)(2)单调性:其增长情况由x 中的_的取值而定.y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)22b4ac bya(x)(a0)2a4a【即时小测】1.回答下列问题:(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的?提示:k0时直线必经过一、三象限,y随x的增大而增大;k0
2、,0时,函数的图象在第一象限内是上升的,在(0,+)上为增函数;当a0,0.答案:C=2 ,S0 SSSS5.某人从A地出发,开车以每小时80千米的速度经2小时到达B地,在B地停留3小时,则汽车离开A地的距离y(单位:千米)是时间t(单位:小时)的函数,则该函数的解析式为 .【解析】当0t2时,y=80t,当20时,在x=-时,有最小值 为 ,经常需用配方法来求最值.(2)在实际中普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大,风险决 策,最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含 的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型.2b 4acb()2a4a，b2a24acb4a(3)在解决实
3、际应用问题时,需要列出二次函数的解析式,常用的方法有待定系数法和方程法.4.分段函数模型 有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.【题型探究】类型一 一次函数模型【典例】1.(2015崇明高一检测)据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费用是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元.若普通车存车次数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数解析式是()A.y=0.3x+8
4、00(0 x2000)B.y=0.3x+1600(0 x2000)C.y=-0.3x+800(0 x2000)D.y=-0.3x+1600(0 x2000)2.(2015塘沽高一检测)某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.(1)设甲地调运x台至B地,该公司运往A,B两地的总运费为y元,求y关于x的函数解析式.(2)若总运费不超过1000元,问能有几
5、种调运方案?(3)求总运费最低的调运方案及最低运费.【解题探究】1.典例1中普通车存车次数为x辆次,变速车存车次数应为多少?提示:因为存车量为2000辆次,故变速车存车次数应为2000-x.2.典例2(1)中从甲、乙两地分别运往A,B两地的台数如何表示?提示:设甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0 x6,xN).【解析】1.选D.由题意可知总收入y(元)关于x(辆次)的函数解析式为y=0.5x+(2000-x)0.8=-0.3x+1600(0 x2000).2.(1)甲地调运x台到B地,则剩下(6
6、-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0 x6,xN),则总运费y=30 x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20 x+960,所以y=20 x+960(xN,且0 x6).(2)若使y1000,即20 x+9601000,得x2.又0 x6,xN,所以0 x2,xN.所以x=0,1,2,即有3种调运方案.(3)因为y=20 x+960是R上的增函数,又0 x6且xN,所以当x=0时,y有最小值为960.所以总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地,从乙地应调运8台电脑至B地,运4台到A地,运费最低为960元.【
7、方法技巧】用一次函数模型解决实际问题的策略 用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的应用题可先结 合图象利用待定系数法求出解析式.对于一次函数y=ax+b(a0),当 a0时为增函数,当a0时是减函数.另外,要结合题目理解(0,b)或 这些特殊点的意义.b(0)a，【变式训练】(2015集宁高一检测)大气中的温度随着高度的上升而降低,温度的降低大体上与升高的距离成正比,根据实测的结果:上升12km为止,在12km以上温度不变,保持在-55.(1)当地球表面大气的温度是a时,设xkm上空的温度为y,求0 x12时,y随x变化的函数解析式.(2)当地球表面大气的温度是29时,3km上空的温度是
8、多少?【解题指南】(1)列出函数解析式的关键是弄明白“温度的降低大 体上与升高的距离成正比”的意思.(2)求a=29,x=3时相应y的值.【解析】(1)由题意知y-a=kx(0 x12,k0).(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域.(2)求羊群年增长量的最大值.(3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.【解题探究】本例中空闲率如何表示?如何求得最大值?提示:由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则畜养率为 ,故空 闲率为1-.建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最 大值.xmxm【解析】(1)据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则畜养率为 ,
9、故空闲率为1-,由此可得 y=kx (0 xm).(2)对原二次函数配方,得y=-(x2-mx)即当x=时,y取得最大值 .xmxmx(1)mkm2kmkm(x).m24 m2km4(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长 量的和小于最大蓄养量,即0 x+ym.因为当x=时,ymax=,所以0 +m,解得-2k0,所以0k2.m2km4m2km4【延伸探究】1.(变换条件)若将本题“与空闲率的乘积成正比,”改为“与空闲率的乘积成反比,”又如何表示出y关于x的函数解析式?【解析】据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则畜养率 为 ,故空闲率为1-,因为羊群的年增
10、长量y只和实际蓄养量x只 与空闲率的乘积成反比,由此可得y=(0 xm).xmxmkxx(1)m2.(变换条件、改变问法)若本例牧场中羊群的最大蓄养量为10000只,实际蓄养量为8000只,比例系数为k=1,则此时的年增长量为多少?【解析】由题意,可知y=kx (0 x0).由r=3,R=400,可得k=则流量速率R的解析式为R=r4.答案:R=r4 4R400r81，40081400812.(1)f(x)=(2)当0 x400时,f(x)=-(x-300)2+25000,所以当x=300时,f(x)有最大值25000;当x400时,f(x)=60000-100 x是减函数,f(x)60000
11、-100400=2000025000.所以当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润为25000元.21 x30025 000,0 x400,260 000 100 x,x400.12【延伸探究】(改变条件)在典例1中的条件下,气体通过的管道半径若改为5cm,计算该气体的流量速率(精确到0.1cm3/s).【解析】当r=5时,故该气体的流量速率为3086.4cm3/s.4400250 000R53 086.4.8181【方法技巧】1.处理幂函数模型的步骤(1)阅读理解、认真审题.(2)用数学符号表示相关量,列出函数解析式.(3)根据幂函数的性质推导运算,求得结果.(4)转译成具体问题,给
12、出解答.2.应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.【变式训练】(2015常州高一检测)某公司试制一种仅由金属A和金属B组成的合金,现已试制出这种合金400克,它的体积为50立方厘米,已知金属A的密度d(单位:克/立方厘米)小于9克/立方厘米,大于8.8克/立方厘米;金属B的密度约为7.2克/立方厘米.(1)试用d分别表示出此400克合金中金属A、金属B克数x,y的函数解析式.(2)求x,y的取值范围.【解题指南】(1)依据题意列出相应的方
13、程组,解得x,y即可.(2)利用函数的性质进行求解.【解析】(1)此400克合金中含金属A x克,金属B y克,则 (2)因为 在(8.8,9)上是减函数,所以200 x220.又 在(8.8,9)上是增函数,所以180y200.40dxxy400d7.28.8d9.xy360 d 850yd7.2d7.2 ，解得，40d7.2x40(1)d7.2d7.2360 d 80.8y360(1)d7.2d7.2【补偿训练】如图,在边长为4的正方形ABCD的边上有动点P,从B点开始,沿折线BCDA向A点运动,设点P移动的路程为x,ABP面积为S.(1)求函数S=f(x)的解析式、定义域和值域.(2)求
14、f(f(3)的值.【解析】(1)SABP=4x=2x,0 x4;SABP=44=8,4x8;SABP=4(12-x)=24-2x,8x12.所以S=f(x)=定义域为(0,12),值域为(0,88(0,8)=(0,8.(2)f(f(3)=f(6)=8.1212122x0 x484x8242x8x 12.，易错案例 分段函数模型在实际中的应用【典例】(2015滁州高一检测)某电子厂生产一种电子玩具产品,每件 出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100 件时,每多订购一件,订购的全部电子产品的出厂单价就会降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件,设一
15、次订购量为x件,电子产品实际出厂单价为P元,则函数P=f(x)=.【失误案例】【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是忽视自变量xN的限制,从而取值范围错误,导致函数的解析式不全致误.【自我矫正】当0 x100时,P=60;当100 x500时,P=60-0.02(x-100)=62-所以P=f(x)=答案:x.5060,0 x100 xN,x62,100 x500 xN.50且且60,0 x100 xN,x62,100 x500 xN50且且【防范措施】1.准确把握题目已知信息 在解决实际问题时,一定先理解好题目的关键信息,尤其是含有条件性的数值时更要弄清各个量之间的因果关系和变量的取值范围及相应的限制条件.如本例订购量x和单价P的关系要准确把握且xN.2.选择恰当的函数解析式 在明确了函数解析式后,应根据题目中的条件,选择恰当的函数解析式,特别是有条件限制的前提下,要进行分类讨论或按照要求合理地划分变量的范围,例如本例是分段函数.
