1、昆明市2018-2019学年高二期末质量检测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C
2、【解析】【分析】根据交集的定义，即可求出结果。【详解】，故选C。【点睛】本题主要考查交集的运算。2.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法可得计算结果.【详解】，故选B.【点睛】本题考查复数除法，属于基础题.3.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出.【详解】 由得， 解得，故选A。【点睛】本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示。4.已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质，即可求出。【详解】令，即有双曲线的
3、渐近线方程为，故选C。【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。5.展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由二项式定理展开式的通项公式，赋值即可求出。【详解】展开式的通项公式是 令，所以系数为，故选。【点睛】本题主要考查如何求二项式定理的展开式中某一项的系数。6.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少
4、需要移动次数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数.【详解】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为.要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次.把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以，故，故选B.【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.7.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据可得正确的
5、选项.【详解】设，A，C，D均是错误的，选B .【点睛】本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.8.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】A【解析】【分析】依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.【详解】直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，因，故，从而有，A正确.B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.综上，选A.【点睛】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.9.设随机变量，若，则（ ）A. B. C
6、. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，先求出，再依二项分布的期望公式求出结果【详解】， 即，所以，故选A。【点睛】本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键。10.设，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依据的单调性即可得出的大小关系。【详解】 而 ，所以最小。又 ，所以，即有，因此，故选B。【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较大小。11.在平行四边形中，点在边上，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与直线共面B. C. 可以是直角三角形D. 【答案】C【解析】【分析】（1）通过证明是否共面，来判断直
7、线与直线是否共面；（2）取特殊位置，证明是否成立；（3）寻找可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明能否成立。【详解】，如图，因为四点不共面，所以面，故直线与直线不共面；沿直线折起成，位置不定，当面面 ，此时；取中点，连接，则，若有，则面 即有，在中，明显不可能，故不符合；在中，,，而，所以当时，可以是直角三角形；【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力。12.已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数，下述四个结论：满足条件的取值有个为函数的一个对称中心在上单调递增在
8、上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依照题意找出的限制条件，确定，得到函数的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确。【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以 ，又在上为单调函数，即，所以或，即或所以总有，故正确；由或图像知，在上单调递增，故正确；当时，只有一个极大值点，不符合题意，故不正确；综上，所有正确结论的编号是。【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列中，则公差_【答案】2【解析】【分析】利用等差数列
9、的性质可得，从而【详解】因为，故，所以，填【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.14.函数的图象在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。【详解】，又 所以切线方程为，即。【点睛】本题主要考查函数图像在某点处的切线方程求法。15.已知是以为直径的半圆弧上的动点，为圆心，为中点，若，则_【答案】【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出，再用数量积的定义求出的值。【详解】，【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义。16.已知椭圆，斜率
10、为的直线与相交于两点，若直线平分线段，则的离心率等于_【答案】【解析】【分析】利用点差法求出的值后可得离心率的值【详解】设，则，故即，因为为中点，故即，所以即，故，填【点睛】圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组另外，与弦的中点有关的问题，可用点差法求解三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物
11、，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：），其中不大于（单位：）的植株高度茎叶图如图所示.(1)求植株高度频率分布直方图中的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.【答案】（1）；（2）1.60.【解析】【分析】（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算.（2）利用组中值可计算植株高度的平均值.【详解】（1）由茎叶图知，.由频率分布直方图知，所以. （2）这批栀子植株高度的平均值的估计值.【点睛】本题考查频率的计
12、算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18.的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，是上的点，平分，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于的方程，求出即可求出角（2）根据角平分线定义先求出，再依锐角三角函数的定义求出，最后依据三角形面积公式求出。【详解】（1）解：因为，所以，即.因为，所以，解得.所以或（舍去）,因此,.（2）因为，所以，因为，所以，又因为为的角平分线，所以，在中，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。19.已知等比数列的前项和，其中为常数.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【
13、答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用求出当时的通项，根据为等比数列得到的值后可得 .（2）利用分组求和法可求的前项和.【详解】（1）因为，当时，当时，所以，因为数列是等比数列，所以对也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因为，所以，所以，即.【点睛】（1）数列的通项与前项和 的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20.如图，在四棱锥中，
14、平面，底面是菱形，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）依据线面平行的判定定理，在面中寻找一条直线与平行，即可由线面平行的判定定理证出；(2)建系，分别求出平面，平面的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角的余弦值。【详解】（1）证明：如图，取中点为，连结，则，所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因为是中点，所以平面，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在菱形中，所以，在中，则，设平面的法向量为，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由图可知二面角为锐二面角，所以二
15、面角余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法。21.已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.（1）求；（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.【答案】（1）2；（2）16.【解析】【分析】（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得 .（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【详解】（1）解：设准线与轴交点为点，连结，因为是正三角形，且，在中，
16、所以.（2）设，直线，由知，联立方程：，消得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.【点睛】圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。【详解】（1）解：因为，当时，总有，所以在上单调递减.，无增区间；当时，令，解得.故时，所以在上单调递增.，同理时，有，所以在上单调递减.（2）由（1）知当时，若，则，此时，因为，所以，当时，取，有,所以故.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。
