1、第 14 讲 机械能守恒定律及其应用 核心填空 一、重力势能1定义：物体的重力势能等于它所受的_与所处位置的_的乘积，Ep_2标矢性：重力势能是_量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在零势能参考平面大还是小3系统性：重力势能是物体和地球所共有的4相对性：重力势能的大小与零势能参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取_关5重力做功的特点：重力做功与物体运动的_无关，只与重力及其初、末位置的高度差有关，WGmgh.6重力做功与重力势能变化的关系：重力做正功时，重力势能_；重力做负功时，重力势能_；重力做多少正功(或负功)，重力势能就_(或_)多少，即 WGEp.二、弹性势能1定
2、义：物体由于发生_而具有的能2大小：以弹簧为例，弹性势能的大小与_及弹簧的_有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，则弹簧的弹性势能_3弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能_；弹力做负功，弹性势能_三、机械能守恒定律1内容：在只有_或_做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变2表达式：角度表达式意义守恒角度E1E2 机械能时刻相等转化角度EkEp 系统动能的增加量(或减少量)等于势能的减少量(或增加量)转移角度EAEB A 物体机械能的增加量(或减少量)等于 B 物体机械能的减少量(或增加量)3.条件：只有重力或系统内弹簧弹力做功 易错判断(1)重力势能的大小
3、及变化与零势能面的选取有关()(2)重力做的功与路径有关()(3)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒()(4)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒()(5)做曲线运动的物体机械能可能守恒()考点一 机械能守恒的判断题组1.关于机械能是否守恒，下列说法正确的是()A做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C做变速运动的物体机械能可能守恒D合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒2(多选)如图 14-1 所示，一质量为 m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于 O 点处，将小球拉至 A 处，弹簧恰好无形变现由静止释放小球，它运动到 O 点正下方 B 点
4、时速度大小为 v，A、B 间的竖直高度差为 h.则()图 14-1A小球由 A 运动到 B 重力势能减小 mghB小球由 A 运动到 B 过程中，小球的机械能守恒C小球和弹簧系统的机械能守恒，小球由 A 运动到 B 克服弹力做功为 mgh12mv2D小球到达位置 B 时弹簧的弹性势能为 mgh12mv23(多选)如图 14-2 所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板 P 连接，另一端与物体 A 相连，物体 A 置于光滑水平桌面上，A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体 B 相连开始时托住 B，让 A 处于静止且细线恰好伸直，然且由静止释放 B，直至 B 获得最大速度下列有关该过程的分析正确
5、的是()图 14-2AA 物体与 B 物体组成的系统机械能守恒BA 物体与 B 物体组成的系统机械能不守恒CB 物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量D当弹簧的拉力等于 B 物体的重力时，A 物体的动能最大 规律总结机械能是否守恒的判断方法有：(1)利用机械能的定义判断：如果物体动能、势能之和不变，则机械能守恒；(2)利用机械能守恒条件判断：只有重力对单一物体做功则机械能守恒；只有重力和(弹簧、橡皮筋)弹力对系统做功，或重力和弹力以外的其他力对系统做的总功为零，则系统的机械能守恒；(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，或系统内没有机械能与其他形式能的转化，则系统机械能守恒，
6、注意弹簧弹力对物体做功时，弹簧和物体系统的机械能守恒，物体的机械能并不守恒 考点二 单物体机械能守恒的应用1 如图 14-3 所示，斜面轨道 AB 与水平面之间的夹角53，BD 为半径 R4 m的圆弧形轨道，且 B 点与 D 点在同一水平面上，在 B 点，斜面轨道 AB 与圆弧形轨道 BD 相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在 A 点处有一质量 m1 kg 的小球由静止滑下，经过 B、C 两点后从 D 点斜抛出去，最后落在地面上的 S 点时的速度大小 vS8 m/s，已知 A点距地面的高度 H10 m，B 点距地面的高度 h5 m，设以 MDN 为分界线，其左侧为一阻力场区域，右侧为无阻
7、力区域，g 取 10 m/s2，cos 530.6.求：(1)小球经过 B 点时的速度的大小；(2)小球经过圆弧轨道最低处 C 点时对轨道的压力的大小；(3)小球从 D 点到 S 点的过程中阻力所做的功图 14-3式题 1(抛体运动)2014新课标全国卷 取水平地面为重力势能零点一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等不计空气阻力该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为()A.6B.4C.3D.512式题 2(竖直平面内物体的圆周运动)光滑水平面与一半径为 R2.5 m 的竖直光滑圆轨道平滑连接，如图 14-4 所示，物体可以由圆轨道底端阀门(图中未画出)进入圆轨道，水平轨道
8、上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为 m0.5 kg 的小球 A 接触但不相连，今向左推小球 A 压缩弹簧至某一位置后，由静止释放小球 A，测得小球 A 到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小为 FN10 N，g 取 10 m/s2.(1)求释放小球 A 时弹簧的弹性势能 Ep；(2)若释放小球 A 时弹簧的弹性势能 Ep25 J，小球进入圆轨道后阀门关闭，通过计算说明小球会不会脱离圆轨道图 14-4 规律总结机械能守恒定律是解答能量问题的基本方法之一，分析运动过程物体的机械能是否守恒是解题的关键，在解决物体的运动问题时应优先考虑用能量方法，如曲线运动、含弹簧类运动问题等应用时首先要对
9、研究对象进行受力分析和运动分析，以确定在所研究的过程中机械能是否守恒，再选合适的表达式求解应用机械能守恒定律求解多过程问题时可对全过程应用机械能守恒定律列式求解 考点三 多物体的机械能守恒问题物理题根2(多选)2015全国卷 如图 14-5 所示，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上，a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g.则()图 14-5Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功Ba 落地时速度大小为 2ghCa 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gDa 落地前，当 a 的机械能最小
10、时，b 对地面的压力大小为 mg 题根分析系统机械能守恒时，内部的相互作用力分为两类：(1)刚体产生的弹力：如轻绳产生的弹力，斜面产生的弹力，轻杆产生的弹力等(2)弹簧产生的弹力：系统中有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换在前两种情况中，轻绳的拉力、斜面的弹力、轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能守恒虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒对系统应用机械能守恒定律列方程的角度：(1)系统初态的机械能等于末态的机械能；(2)系统中某些物体减少的机械能等于其他物体增加的机械能 变式网络图 14-6式题 1(多选)(轻绳连
11、接模型)2015南昌十校二模 如图 14-7 所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为 d，杆上的 A 点与定滑轮等高，杆上的 B 点在 A 点下方距离为 d 处现将环从 A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是()图 14-7A环到达 B 处时，重物上升的高度 Hd2B环到达 B 处时，环与重物的速度大小相等C环从 A 到 B，环减少的机械能等于重物增加的机械能D环能下降的最大高度为43d式题 2(轻弹簧连接)2015辽宁五校协作体联考 如图 14-8 所示，A、B 两小球由绕过轻质
12、定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上现用手控制住 A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行已知 A 的质量为 4m，B、C的质量均为 m，重力加速度为 g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态释放 A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时 C 恰好离开地面下列说法正确的是()图 14-8A斜面倾角 60BA 获得的最大速度为 2gm5kCC 刚离开地面时，B 的加速度最大D从释放 A 到 C 刚离开地面的过程中，A、B 两小球组成的系统机械能守恒第 14 讲
13、机械能守恒定律及其应用【教材知识梳理】核心填空一、1.重力 高度 mgh 2.标 4.无 5.路径6减少 增加 减少 增加二、1.弹性形变 2.劲度系数 形变量 越大3减少 增加三、1.重力(弹簧)弹力易错判断(1)()重力势能具有相对性，物体重力势能大小是相对于零势能位置而言的，但运动过程中物体重力势能的变化与零势能位置无关(2)()重力对物体做的功与路径无关，只与初、末位置高度差有关(3)()物体所受合力为零时，物体速度不变，动能不变，但机械能可能变化(4)()做匀速直线运动的物体，动能不变，但重力势能可能改变，物体机械能不一定守恒，如匀速上升的物体机械能不断增大(5)()做曲线运动的物体
14、，若只有重力做功，其机械能守恒【考点互动探究】考点一 机械能守恒的判断题组1C 解析 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体的重力势能可能变化，所以机械能可能不守恒，如物体在竖直平面内运动，选项 A、B 错误；物体做变速运动时，受到的合力不为零，但如果运动过程中只有重力做功，则机械能守恒，选项 C 正确；合外力做功不为零，物体的动能改变，但如果运动过程中只有重力做功，则物体的机械能守恒，选项 D 错误2ACD 解析 小球从 A 到 B 的过程中下降的高度为 h，重力做功为 mgh，则小球的重力势能减小 mgh，选项 A 正确；小球从 A 到 B 的过程中，重力做功，弹簧
15、弹力做功，所以小球和弹簧系统的机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故选项 B 错误，C 正确；根据机械能守恒定律，mghEp12mv2，所以小球到达 B 点时弹簧的弹性势能为 Epmgh12mv2，选项 D 正确3BD 解析 A 物体、弹簧与 B 物体组成的系统机械能守恒，但 A 物体与 B 物体组成的系统机械能不守恒，选项 A 错误，选项 B 正确；B 物体机械能的减少量等于 A 物体机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故 B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，选项 C 错误；当弹簧的拉力等于 B 物体的重力时，B 物体速度最大，A 物体的动能最大，选项 D 正确考点二 单物体
16、机械能守恒的应用例 1(1)10 m/s(2)43 N(3)68 J解析(1)设小球经过 B 点时的速度大小为 vB由机械能守恒定律得mg(Hh)12mv2B解得 vB10 m/s.(2)设小球经过 C 点时的速度为 vC，轨道对小球的支持力为 FN根据牛顿第二定律得：FNmgmv2CR由机械能守恒定律得mgR(1cos 53)12mv2B12mv2C解得 FN43 N根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力 FNFN43 N.(3)小球由 B 点到 D 点过程，由机械能守恒定律知vDvB设小球从 D 到 S 的过程中阻力所做的功为 W由动能定理得mghW12mv2S12mv2D解得 W68 J.
17、变式题 1 B 解析 由题意可知，mgh12mv20，又由动能定理得 mgh12mv212mv20，根据平抛运动可知 v0 是 v 的水平分速度，那么 cos v0v 22，其中 为物块落地时速度方向与水平方向的夹角，解得 45，B 正确变式题 2(1)43.75 J(2)会解析(1)小球到达最高点，由牛顿第二定律得FNmgmv2R由牛顿第三定律得，FNFN以弹簧和小球为系统，由机械能守恒定律得Ep12mv2mg2R联立解得 Ep43.75 J.(2)若小球恰能做完整圆周运动，在最高点由牛顿第二定律得mgmv21R由机械能守恒定律得Ep112mv21mg2R联立解得 Ep131.25 J若速度
18、较小，小球在圆心以下做往复运动不脱离轨道Ep2mgR12.5 J综上所述，小球不脱离圆轨道的条件是：Ep31.25 J 或 0Ep12.5 J故 Ep25 J 时，小球一定脱离圆轨道考点三 多物体的机械能守恒问题例 2 BD 解析 首先，把 a、b 看成一个系统，运动中机械能守恒，b 先加速后减速，a 到达地面时 b 速度为 0，故杆对 b 先做正功后做负功，A 错误；根据系统机械能守恒，a的重力势能的减少量等于 a 动能的增加量，即 mgh12mv2，得 v 2gh，B 正确；a 下落时，后来受杆的沿杆向下的拉力，故 a 的加速度大于 g，C 错误；a 刚开始的一段下落过程中杆对 a 做负功
19、，a 的机械能减少，a 的机械能最小时杆对 a 的作用力为 0，此时杆对 b 也没有力的作用，故 b 对地面的压力大小为 mg，D 正确变式题 1 CD 解析 环到达 B 处时，重物上升的高度 H(21)d，选项 A 错误；将环 B 的速度 vB 沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，环沿绳子方向上的分速度等于重物的速度 v，有 vBcos 45v，选项 B 错误；环和重物组成的系统在运动过程中，只有重力做功，所以系统机械能守恒，环减少的机械能等于重物增加的机械能，选项 C 正确；设环下降的最大高度为 h，则此时环和重物的速度均为零，重物上升的高度为 h h2d2d，由机械能守恒定律得，mgh2mg
20、h0，解得 h43d，选项 D 正确点评 解答本题的关键是根据运动分解确定重物与环的速度关系，环在 B 点时 vBcos 45v，环在 A 点时环和重物的速度均为零变式题 2 B 解析 释放 A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，拉力等于 A 的重力沿斜面的分力 4mgsin，C 恰好离开地面，轻质弹簧弹力等于 C 球重力，kxmg.对 B，由平衡条件，4mgsin 2mg，解得斜面倾角 30，A 项错误；初状态，弹簧压缩，kxmg，末状态，弹簧拉伸，kxmg，初、末状态弹簧弹性势能相等，由机械能守恒定律，4mg2xsin mg2x12(m4m)v2，解得 v2gm5k，B 项正确；C 刚离开地
21、面时，B 的加速度为零，C 项错误；从释放 A 到 C 刚离开地面的过程中，A、B、C 和弹簧组成的系统机械能守恒，D 项错误【教师备用习题】1如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 F 作用下物体处于静止状态，当撤去力 F 后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是()A弹簧的弹性势能逐渐减少B物体的机械能不变C弹簧的弹性势能先增加后减少D弹簧的弹性势能先减少后增加解析 D 撤去力 F 后物体向右运动的过程中，物体和弹簧系统的机械能守恒，弹簧的压缩量减小，达到弹簧原长后被拉伸，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，物体的机械能先增大
22、后减小，选项 D 正确2如图所示，将一质量为 m 的小球从 A 点以初速度 v 斜向上抛出，先后经过 B、C 两点已知 B、C 之间的竖直高度和 C、A 之间的竖直高度都为 h，重力加速度为 g，取 A 点所在的平面为参考平面，不考虑空气阻力则()A小球在 B 点的机械能是 C 点机械能的两倍B小球在 B 点的动能是 C 点动能的两倍C小球在 B 点的动能为12mv22mghD小球在 C 点的动能为12mv2mgh解析 D 不计空气阻力，小球在斜上抛运动过程中只受重力作用，运动过程中小球的机械能守恒，则小球在 B 点的机械能等于 C 点机械能，选项 A 错误；小球在 B 点的重力势能大于 C
23、点重力势能，根据机械能守恒定律知，小球在 B 点的动能小于 C 点动能，选项 B错误；小球由 A 到 B 过程中，根据机械能守恒定律有 mg2hEkB12mv2，解得小球在 B 点的动能为 EkB12mv22mgh，选项 C 错误；小球由 B 到 C 过程中，根据机械能守恒定律有mghEkBEkC，解得小球在 C 点的动能为 EkCEkBmgh12mv2mgh，选项 D 正确3如图所示，物体 A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体 A、B 的质量都为 m.现用手托着物体 A 使弹簧处于原长，细绳刚好竖直伸直，A 与地面的距离为 h，物体 B静止在地面上放手后物体 A 下落，与地面即将
24、接触时速度大小为 v，此时物体 B 对地面恰好无压力若物体 A 落地后不反弹，则下列说法中正确的是()A弹簧的劲度系数为mghBA 落地时，弹簧的弹性势能等于 mgh12mv2C与地面即将接触时 A 的加速度大小为 g，方向竖直向上D物体 A 落地后 B 能上升到的最大高度为 h解析 A 由题意可知，A 与地面即将接触时弹簧所受的拉力等于 B 的重力，即 Fmg，弹簧伸长的长度为 xh，由 Fkx 得 kmgh，故 A 正确A 与弹簧组成的系统机械能守恒，则有 mgh12mv2Ep，则弹簧的弹性势能 Epmgh12mv2，故 B 错误根据牛顿第二定律，对 A 有 Fmgma，得 a0，故 C
25、错误物体 A 落地后，物体 B 对地面恰好无压力，此时 B 的速度恰好为零，即 B 静止不动，故 D 错误4(多选)2015甘肃一诊内壁光滑的环形凹槽半径为 R，固定在竖直平面内，一根长度为 2R 的轻杆，一端固定有质量为 m 的小球甲，另一端固定有质量为 2m 的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示由静止释放后()A下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能C杆从左向右滑时，甲球无法下滑到凹槽的最低点D杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点解析 ACD 甲与乙两个小球构成的系统只有重力做功，机械能守恒，
26、所以甲减少的机械能一定等于乙增加的机械能，选项 A 正确；甲与乙两个小球系统机械能守恒，甲球减小的重力势能转化为乙的势能和动能以及甲的动能，选项 B 错误；设甲球沿凹槽下滑到槽的最低点，乙则到达与圆心等高处，但由于乙的质量比甲的大，则系统的机械能增加，不符合机械能守恒定律，说明甲球不可能到达凹槽的最低点，选项 C 正确；由于机械能守恒，故动能减为零时，势能应该不变，故杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，选项D 正确52013山东卷如图所示，楔形木块 abc 固定在水平面上，粗糙斜面 ab 和光滑斜面bc 与水平面的夹角相同，顶角 b 处安装一定滑轮质量分别为 M、m(Mm)的滑块，通
27、过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A两滑块组成系统的机械能守恒B重力对 M 做的功等于 M 动能的增加C轻绳对 m 做的功等于 m 机械能的增加D两滑块组成系统的机械能损失等于 M 克服摩擦力做的功解析 CD 因为 Mm，斜面倾角相同，所以 M 沿斜面下降，m 沿斜面上升斜面 ab粗糙，所以对 M 有沿斜面向上的摩擦力，两滑块组成的系统机械能不守恒，A 错误；对于M，重力、摩擦力、绳子的拉力做的总功等于其动能的增加，B 错误；对于 m，绳子拉力做的功是除了重力以外其他力的功，故等于其机械能的
28、增加，C 正确；对于两滑块组成的系统，M 受到的沿斜面向上的摩擦力做的功是除了重力和弹力以外其他力的功，等于系统机械能的减少量，D 正确6质量分别为 m 和 2m 的两个小球 P 和 Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为 L，在离P 球L3处有一个光滑固定轴 O，如图所示现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：(1)小球 P 的速度大小；(2)在此过程中，杆对小球 P 做的功答案(1)2gL3(2)49mgL解析(1)设小球 Q 摆到最低位置时 P 球的速度为 v，由于 P、Q 两球的角速度相等，Q球运动半径是 P 球运动半径的两倍，故 Q 球的速度为 2v两球和杆组成的系统机械能守恒2mg23Lmg13L12mv2122m(2v)2解得 v 2gL3.(2)杆对 P 球做的功等于小球 P 机械能的增加量E，则Emg13L12mv249mgL.
